2025屆高三數(shù)學(xué)“8+3+3”小題期末專項練（16）橢圓方程及其性質(zhì)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.不選、多選、錯選均不得分.1．已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦點在軸上B.的焦距為4C.的離心率D.的長軸長是短軸長的倍2．設(shè)為實數(shù)，若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C． D．3．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．114．如圖所示，用一個與圓柱底面成的平面截圓柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為，，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的長軸長等于2B.橢圓的離心率為C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是D.橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為5．已知橢圓，為橢圓上任意一點，過點分別作與直線和平行的直線，分別交、交于、兩點，則的最小值為（）A. B. C. D.6．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，若C上存在一點P，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.7．已知橢圓，過原點斜率不為0的直線交E于A，B兩點，過A作x軸的垂線，垂足為M，直線BM交橢圓E于另一點D，記直線AB，AD的斜率分別為，，若，則E的離心率為（）A. B. C. D.8．已知，，，動點滿足與的斜率之積為，動點的軌跡記為，過點的直線交于，兩點，且，的中點為，則下列說法不正確的是（）A．的軌跡方程為B．的最小值為1C．若為坐標(biāo)原點，則面積的最大值為D．若線段的垂直平分線交軸于點，則點的橫坐標(biāo)是點的橫坐標(biāo)的倍二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P為橢圓C上一動點，則下列說法正確的是（）A.橢圓C的離心率為 B.的最大值為6C.的周長為10 D.存在點P，使得為等邊三角形10．已知橢圓的離心率為，上下焦點分別為，，M為橢圓上一點（不與橢圓的頂點重合），下列說法正確的是（）A.B.C.若為直角三角形，則D.若，則的面積為11．若矩形的所有頂點都在橢圓上，且，，點是上與不重合的動點，則（）A．的長軸長為4 B．存在點，使得C．直線的斜率之積恒為 D．直線的斜率之積恒為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知，是圓上一動點，線段的垂直平分線交于點，則動點的軌跡方程為.13.定義離心率的橢圓為“西瓜橢圓”.已知橢圓是“西瓜橢圓”，則.若“西瓜橢圓”的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓過點，則．14.已知橢圓的右焦點為，過坐標(biāo)原點的直線與橢圓交于，兩點．在中，，且滿足，則橢圓的離心率為．2025屆高三數(shù)學(xué)“8+3+3”小題期末專項練（16）橢圓方程及其性質(zhì)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.不選、多選、錯選均不得分.1．已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦點在軸上B.的焦距為4C.的離心率D.的長軸長是短軸長的倍【答案】C【解析】在橢圓中，，，，對于A選項，橢圓的焦點在軸上，A錯誤；對于B選項，橢圓的焦距，B錯誤；對于C選項，橢圓的離心率為，C正確；對于D選項，橢圓的長軸長為，橢圓的短軸長為，的長軸長是短軸長的倍，D錯誤.故選：C.2．設(shè)為實數(shù)，若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C． D．【答案】D【解析】表示焦點在軸上的橢圓，可得，解得.故選：D3．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，A是C上一點，，則的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【解析】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，如圖，連接，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時等號成立，故的最大值為.故選：A.4．如圖所示，用一個與圓柱底面成的平面截圓柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為，，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的長軸長等于2B.橢圓的離心率為C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是D.橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為【答案】C【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，短半軸長為，半焦距為，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面所成銳二面角得，解得，故A不正確；顯然，則，離心率，故B不正確；當(dāng)以橢圓長軸所在直線為軸，短軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，故D不正確.故選：C5．已知橢圓，為橢圓上任意一點，過點分別作與直線和平行的直線，分別交、交于、兩點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)過點分別與直線、平行的直線為、，如圖：設(shè)、、Px0,y0，則，顯然四邊形為平行四邊形，故的中點與的中點重合，則，即，又因為橢圓上任意一點，所以，即，即，而，所以當(dāng)時，.故選：A.6．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，若C上存在一點P，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)橢圓定義可得，又，故，因此，故，故，故選：D7．已知橢圓，過原點斜率不為0的直線交E于A，B兩點，過A作x軸的垂線，垂足為M，直線BM交橢圓E于另一點D，記直線AB，AD的斜率分別為，，若，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，所以，又，所以，又點在上，所以，所以，即，由，故選:D．8．已知，，，動點滿足與的斜率之積為，動點的軌跡記為，過點的直線交于，兩點，且，的中點為，則下列說法不正確的是（）A．的軌跡方程為B．的最小值為1C．若為坐標(biāo)原點，則面積的最大值為D．若線段的垂直平分線交軸于點，則點的橫坐標(biāo)是點的橫坐標(biāo)的倍【答案】A【解析】對于選項A，設(shè)Mx,y，因為A?2,0，，所以，化簡得，故A錯誤；對于選項B，因為，則，，則，所以為橢圓的右焦點，則，故B正確；對于選項C，設(shè)的方程，代入橢圓方程，得，設(shè)，則，，所以，令，則，令，則，在為增函數(shù)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時即等號成立，故C正確；對于選項D，因為，，，所以，則，設(shè)，則，則，所以，則點的橫坐標(biāo)是點的橫坐標(biāo)的倍，故D正確.故選：A二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P為橢圓C上一動點，則下列說法正確的是（）A.橢圓C的離心率為 B.的最大值為6C.的周長為10 D.存在點P，使得為等邊三角形【答案】ABD【解析】由橢圓C：，可得，，則，對于選項A，橢圓C的離心率，故A正確；對于選項B，當(dāng)點P為橢圓C的右頂點時，可得，故B正確；對于選項C，周長為，故C錯誤；對于選項D，當(dāng)點P為橢圓C的短軸的端點時，可得，，此時為等邊三角形，故D正確．故選：ABD10．已知橢圓的離心率為，上下焦點分別為，，M為橢圓上一點（不與橢圓的頂點重合），下列說法正確的是（）A.B.C.若為直角三角形，則D.若，則的面積為【答案】AC【解析】對于AB，橢圓半焦距，由離心率為，得，，A正確，B錯誤；對于C，由知，以線段為直徑的圓在橢圓內(nèi)，即不可能是直角，由為直角三角形，得或，由橢圓對稱性不妨令，直線，由，得，即，則，所以，C正確；對于D，由橢圓定義得，而，解得，而，則是邊長為2的正三角形，其面積為，D錯誤.故選：AC11．若矩形的所有頂點都在橢圓上，且，，點是上與不重合的動點，則（）A．的長軸長為4 B．存在點，使得C．直線的斜率之積恒為 D．直線的斜率之積恒為【答案】ABD【解析】因為矩形的頂點都在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性可得關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱，由，，可得，即橢圓焦點在軸上，如圖所示，又，，易得，，，.對于A，將點代入橢圓方程可得，解得，橢圓的方程為，所以橢圓的長軸長為4，故A正確；對于B，設(shè)點Px,y，且，，則，，所以，又，即當(dāng)時，，故B正確；對于C，當(dāng)點是左頂點時，，則，，所以，故C錯誤；對于D，設(shè)點Px,y，且，，則，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知，是圓上一動點，線段的垂直平分線交于點，則動點的軌跡方程為.【答案】【解析】由題意，可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為6．∵線段的垂直平分線交于點，如圖，∴，∴，∴點的軌跡是以，為焦點的橢圓，∴，，，∴其軌跡方程為．故答案為：．13.定義離心率的橢圓為“西瓜橢圓”.已知橢圓是“西瓜橢圓”，則.若“西瓜橢圓”的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓過點，則．【答案】36【解析】橢圓是"西