安徽省滁州市2024-2025學年高二下學期期中考試數學試題一、單選題1．一個商店銷售某種型號的電視機，其中本地的產品有6種，外地的產品有8種.要買1臺這種型號的電視機，則不同的選法有（

）A．6種 B．8種 C．14種 D．48種2．已知，則（

）A． B． C． D．3．在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在函數關系，則該運動員在時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．4．的展開式中二項式系數最大的項為（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項5．兩批同種規格的產品，第一批占，次品率為，第二批占，次品率為.將兩批產品混合，從混合產品中任取1件，則這件產品是次品的概率為（

）A．0.036 B．0.044 C．0.966 D．0.9566．學校要安排一場文藝晚會的10個節目的演出順序，除第1個節目和最后1個節目已確定外，3個音樂節目要求排在第2，5，7的位置，3個舞蹈節目要求排在第3，6，9的位置，2個曲藝節目要求排在第4，8的位置，不同的排法有（

）A．72種 B．144種 C．288種 D．576種7．《中國共產黨黨旗黨徽制作和使用的若干規定》指出，中國共產黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規格有五種.這五種規格黨旗的長，，，，（單位：）成等差數列，對應的寬為，，，，（單位：），且長與寬之比都相等，已知，，，則（

）A．64 B．96 C．108 D．1288．若直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則直線的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題9．函數的導函數的圖象如圖所示，則（

）A．是極大值點 B．是極大值點C．是極小值點 D．是極小值點10．已知無窮等差數列為遞增數列，為數列的前項和，則以下結論正確的是（

）A．B．數列不存在最大項C．數列為遞增數列D．存在正整數，當時，11．已知，則（

）A．曲線關于點對稱 B．1是函數的極大值點C．當時， D．不等式的解集為三、填空題12．.13．已知數列滿足，則數列的前2025項和.14．某校提供了3個興趣小組供學生選擇，現有5名學生選擇參加興趣小組，若這5名學生每人選擇一個興趣小組且每個興趣小組都有人選，則這5名學生不同的選擇方法有種.（用數字作答）四、解答題15．已知數列為等差數列，，，等比數列的公比為，，．(1)求數列和的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．16．已知函數.(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍.17．已知的二項展開式中，前三項的二項式系數和等于46.(1)求展開式中所有項的系數和；(2)求展開式中含的項.18．設函數(1)當時，求的單調區間；(2)若關于x的不等式在上有解，求實數a的取值范圍．19．若數列滿足，則稱數列具有性質．(1)若數列具有性質，且，求的值；(2)若，求證：數列具有性質；(3)設各項都為正數的數列的前項和為，且，數列具有性質，其中，若，求正整數的最小值．

題號12345678910答案CBCBBADABDBD題號11答案ACD1．C根據分類加法計數原理進行求解【詳解】由題意，購買本地產品的選法有6種，購買外地產品的選法有8種，所以購買1臺這種型號的電視機，共有種不同的選法.故選：C.2．B根據條件概率的公式求解，即可得出答案.【詳解】由條件概率公式可得，.故選：B.3．C利用導數來求瞬時速度即可求解.【詳解】因為，所以，令，得，即該運動員在時的瞬時速度為.故選：C.4．B利用二項式系數的性質求解最大項即可.【詳解】因為展開式中共有7項，所以展開式中間項的二項式系數最大，則第4項的二項式系數最大，故B正確.故選：B.5．B利用全概率公式即可求解.【詳解】設事件為“取到的產品是次品”，為“取到的產品來自第批”，則，，，，由全概率公式，可得.所以這件產品是次品的概率為.故選：B.6．A分別將音樂、舞蹈、曲藝全排列，再利用分步乘法計數原理即可.【詳解】第一步排音樂節目，有種排法；第二步排舞蹈節目，有種排法；第三步排曲藝節目，有種排法，所以共有種排法.故選：A.7．D利用等差數列公式可求出，再利用長與寬之比相等，可求.【詳解】由題意，五種規格黨旗的長，，，，（單位：）成等差數列，設公差為，因為，，可得，可得，又由長與寬之比都相等，且，可得，所以.故選：D.8．A設直線與，的切點分別為，，求導，寫出切線的斜率和切線方程，聯立即可求出切點坐標，進而得到切線方程.【詳解】已知直線是，的公切線，設切點分別為，．由，得，所以的斜率為，方程為，即，由，得，所以的斜率為，方程為，即，因為直線是的公切線，所以解得所以直線的斜率為，與的切點為，所以直線的方程為.故選：A．9．BD根據圖象可以得到，是函數的極值點，并得到函數單調性，判斷出是極大值點，是極小值點.【詳解】因為，處的導數都為零，且這兩點左右兩側的導數值異號，所以，是函數的極值點，又時，，時，，所以是極大值點；因為時，，時，，所以是極小值點.故選：BD.10．BD由等差數列的通項公式，前項和公式，遞增數列的概念逐項求解判斷即可.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，因為為遞增數列，所以，則.對于A，因為，又的符號無法確定，故A錯誤；對于B，因為，所以數列不存在最大項，故B正確；對于C，因為，所以，當時，此時存在的情形，故數列不一定單調，故C錯誤；對于D，因為為遞增數列，所以，若，則當比較大時，，即一定存在正整數，當時，，若，顯然存在正整數，當時，，故D正確.故選：BD.11．ACD是由奇函數的圖象向下平移1個單位長度而得，進而可得A正確；利用導數求的函數的最值即可得到B錯誤；由在上單調遞減，利用單調性即可判斷C選項；D選項，根據B選項得到，再得到函數的單調性，從而得到不等式，求出解集.【詳解】由題意得曲線是由奇函數的圖象向下平移1個單位長度而得，故曲線的對稱中心為，故A正確；，易得在和上單調遞增，在上單調遞減，所以為的極大值點，1為的極小值點，故B錯誤；因為在上單調遞減，當時，，所以，故C正確；由上知，易求，所以，所以，故D正確．故選：ACD．12．根據排列數、組合數公式計算可得.【詳解】.故答案為：13．利用倒序相加法求和即可.【詳解】因為，，所以，又，所以，所以，則.故答案為：14．150利用先分組再分配，均分組要消序，即可解決問題.【詳解】先將5名學生分成三組，每組人數有1，1，3或2，2，1兩種情況，則不同的分組方法有，再由這3組學生選取3個興趣小組，不同的選法有種，由分步乘法計數原理可知這5名學生不同的選擇方法有種.故答案為：.15．(1)，；(2).（1）根據給定條件，求出公差得數列的通項；利用等比數列性質求出得數列的通項.（2）由（1）的結論，利用分組求和法，結合公式法求得解.【詳解】（1）在等差數列中，，，公差，所以數列的通項公式為；在等比數列中，，由，得，解得，，而，因此，所以數列的通項公式是.（2）由（1）知，.16．(1)(2)（1）將代入函數，求切點和導數，進而利用導數求斜率即可到切線方程；（2）由題意得，在區間上恒成立，分離參數可得，令，利用導數求函數的最小值，從而可得實數的取值范圍.【詳解】（1）當時，，所以，由，得，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由，得，因為函數在區間上單調遞增，所以在區間上恒成立，即在區間上恒成立，令，則，令，得，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以函數的極小值為，也是最小值.所以，即實數的取值范圍是.17．(1)(2)（1）利用前三項的二項式系數和求出參數，再利用賦值法求出所有項的系數和即可.（2）利用二項式定理求出指定項的系數，再寫出指定項即可.【詳解】（1）因為前三項的二項式系數和等于46，所以，即，即，所以（舍）或.令，得，所以展開式中所有項的系數和為.（2）由（1）知二項式為，其二項展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中含的項為.18．(1)單調遞減區間為單調遞增區間為(2)（1）利用導數求出函數的單調區間即可；（2）分離參數后，轉化為在上有解，利用導數求出函數的最大值即可.【詳解】（1）當時，其定義域為當時，當時，所以的單調遞減區間為單調遞增區間為（2）不等式在上有解等價于在上有解，令則令易知在上單調遞減，且所以當時，即當時，即所以在上單調遞增，在上單調遞減．所以所以即實數的取值范圍為19．(1)(2)證明見解析(3)9（1）由，且數列具有性質，進而得出的值；（2）證明為常數，即可得出結論；（3）求出數列的通項公式，可得出，再求出數列的通