浙江省溫州十校聯合體2024-2025學年高一下學期4月期中聯考數學試題一、單選題1．已知平面向量，，若，則實數（

）A． B． C． D．2．在中，，，，則（

）A．2 B． C．3 D．43．下列選項是真命題的是（

）A． B．C． D．4．已知中，，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．5．在長方體中，若，，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．一艘漁船航行到處時看燈塔在的南偏東30°，距離為6海里，燈塔在的北偏東60°，距離為海里，該漁船由沿正東方向繼續航行到處時再看燈塔在其南偏西30°方向，則此時燈塔位于漁船的（

）A．北偏東60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏東30°方向7．已知三角形的重心為，內角A，，的對邊分別為，，若，則三角形的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形8．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.已知在鱉臑中，，平面，當該鱉臑的外接球的表面積為時，則它的內切球的半徑為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知為非零實數，復數，，則（

）A．的實部為 B．的最小值為C． D．當時，10．在底面是菱形的四棱錐中，，，，點在上，且，點是棱的動點，則下列說法正確的是（

）A．B．三棱錐的體積為C．當是棱的中點時，平面D．直線與平面所成的角的正切值最大為11．《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個問題，分為九類，每類九個問題，《數書九章》中記錄了秦九韶的許多創造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了：已知三角形三邊，，，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即：，現有滿足，且的面積，請運用上述公式判斷下列命題正確的是（

）A．周長為9B．若點為的外心，則C．內切圓的面積為D．的中線長為三、填空題12．已知復數，則的虛部為.13．已知正三角形的邊長為4，設點是以邊為直徑的圓上的動點，則的最大值為.14．如圖，已知正四面體中，側棱長為2，為中點，為中點，是上的動點，是平面上的動點，則最小值是.四、解答題15．已知復數不是純虛數，且滿足.(1)求(2)若復數是關于的方程（其中，為實數）的根，求.16．在中國傳統文化中，燈籠作為節日和慶典的象征，常常蘊含著豐富的美學與數學設計.燈籠不僅要考慮美觀，還要具備結構上的合理性和穩定性.現在有一盞獨特的節慶燈籠，它的外形結構包括多個幾何體，具體設計如下：頂部裝飾：燈籠的頂部是一個正六棱臺，上底邊長為，下底邊長為，高度為；中間結構：燈籠的中部是一個正六棱柱，底面邊長為，高度為；底部基座：燈籠的底部是一個倒置的正六棱臺，其形狀、大小均與頂部的正六棱臺相同.(1)求燈籠總體積.(2)燈籠所需紙張的總表面積.（備注：燈籠上下底不糊紙.）17．如圖，設，是平面內相交成60°角的兩條數軸，，分別是與，軸正方向同向的單位向量.若則把有序數對叫做向量在坐標系中的坐標，記作，已知點，分別在，軸，，，，為非零實數，點滿足.(1)求向量在坐標系中的坐標；(2)若，，求向量在坐標系中的坐標；(3)求的最小值.18．如圖，多面體中，四邊形為矩形，，，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點到平面的距離.19．“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于120°時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于120°時，最大內角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知的內角，，所對的邊分別為，，，點為的費馬點，且滿足，.(1)求；(2)求的值；(3)求的取值范圍.

參考答案1．B【詳解】因為平面向量，，且，則，所以.故選：B.2．A【詳解】由題可得，，因，則，則.故選：A3．D【詳解】如圖，在正方體中，對于A，記平面為，平面為，平面為，則滿足，但不垂直，故A錯誤；對于B，記平面為，直線為，直線為，則滿足，但，故B錯誤；對于C，記平面為，平面為，直線為，直線為，則滿足，但，故C錯誤；對于D，由面面平行的性質定理可知，故D正確.故選：D4．C【詳解】根據題意可得，由勾股定理可知；則在上的投影向量為.故選：C5．B【詳解】連接、，由題可得，又，則四邊形為平行四邊形，則，即，所成角，即為與所成角或其補角，又由題可得，，則.因此，異面直線，所成角的余弦值為.故選：B.6．D【詳解】如圖，由題意，在中，，，，則為正三角形，則，在中，因為，，由余弦定理得，所以，故，此時燈塔C位于漁船的北偏東方向.故選：D.7．D【詳解】因，則.又，由平面向量基本定理可得：.則，，故三角形是等腰直角三角形.故選：D8．C【詳解】根據已知條件可以將三棱錐放在長方體中，如圖，三棱錐的外接球即為長方體的外接球，設三棱錐的外接球的半徑為，內切球的半徑為，三棱錐的外接球的表面積為，，，，，解得，，，，三棱錐的表面積為，又，，故選：C.9．BC【詳解】因為復數，，所以，所以的實部為，故A錯誤；，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故B正確；因為，所以，，所以，故C正確；當時，，則，又，根據兩虛數不能比較大小，故D錯誤.故選：BC.10．ACD【詳解】對于A選項，因為四邊形為菱形，則，因為，，，故為等邊三角形，所以，，則，故，同理可得，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以，因為，、平面，所以平面，因為平面，故，A對；對于B選項，易知為等邊三角形，，因為點在上，且，則，故，B錯；對于C選項，連接交于點，連接，取線段的中點，連接、，因為四邊形為菱形，，則為的中點，因為點在上，且，為的中點，則，所以為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為為的中點，為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，、平面，所以平面平面，因為平面，故平面，C對；對于D選項，如下圖所示：由A選項可知，平面，所以直線與平面所成角為，因為平面，所以，則，因為是邊長為的等邊三角形，故，因為平面，平面，所以，又因為，故為等腰直角三角形，則，當時，取最小值，且最小值為，此時，取最大值，且最大值為，D對.故選：ACD.11．BCD【詳解】對于A，因為，故設，，，所以，因為，所以，解得或（舍去），所以，，，所以的周長為，故A錯誤；對于B，因點為的外心，則，同理可得，，則，故B正確；對于C，記的內切圓半徑為，則，即，則，故內切圓面積為，故C正確；對于D，因，則，利用余弦定理可得，，即，解得，故D正確.故選：BCD12．/【詳解】因為，故復數的虛部為.故答案為：.13．12【詳解】如圖以中點為原點，為軸建立平面直角坐標系，因為正三角形的邊長為4，則，以邊為直徑的圓為，設，則，所以，因為，所以的最大值為12.故答案為：1214．/【詳解】由題可得，平面SCF，則平面SCF.取BC中點為G，連接EG與CF交于H，因，則平面SCF.設P關于平面SCF的對稱點為，由對稱性可知，，則.則當A，Q，三點共線時可得最小，此時，則當時，取最小值.在三角形中，由題可得則.綜上，.故答案為：15．(1)(2)【詳解】（1）由已知，設代入并整理得：，解得，所以，所以.（2）由（1）可得，由是方程的根，所以也是方程的根，由一元二次方程根與系數的關系得，得，解得，，則.16．(1)(2)【詳解】（1）....（2）作出正六棱臺的示意圖所示：由題意可得正方棱臺的截面也是等腰梯形，過作于，由題意可得，所以，所以，由側面是等腰梯形，且上底為，下底為，腰為，所以梯形的高為..17．(1)(2)(3).【詳解】（1）由可得.即.即向量在坐標系中的坐標為；（2）若，則.所以.因為，.即.解得，所以向量在坐標系中的坐標為；（3）因為，；所以；當，即時，取得最小值，最小值為.18．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）∵，，又，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）作于，因為平面，由（1）知平面，所以，又，、平面，所以平面，連結，∵，∴點到平面的距離等于點到平面的距離，設直線與平面所成角為，又，，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知平面，設點