湖南省長沙市岳麓實驗中學2024-2025學年高二下學期6月月考數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設函數(shù)，則“”是“是偶函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知全集，則（

）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．如圖所示，D，E為邊BC上的三等分點，且則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，命題若是上的減函數(shù)，命題對于任意的正整數(shù)，，都有，則命題是命題的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知平面向量，不共線，，，，則（）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線7．如圖，“六芒星”是由兩個邊長為正三角形組成，中心重合于點且三組對邊分別平行，點，是“六芒星”（如圖）的兩個頂點，動點在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有6個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B．(C． D．二、多選題9．關(guān)于同一平面內(nèi)的任意三個向量，下列四種說法錯誤的有（

）A．若，且，則 B．C．若，則或 D．10．已知函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．極大值點僅有一個C．無最大值，有最小值D．當時，關(guān)于的方程共有3個實根11．已知正四棱柱的底面邊為1，側(cè)棱長為，是的中點，則（

）A．任意，B．存在，直線與直線相交C．平面與底面交線長為定值D．當時，三棱錐外接球表面積為三、填空題12．已知，則．13．2023年杭州亞運會的吉祥物包括三種機器人造型，分別名叫“蓮蓮”，“琮琮”“宸宸”，小輝同學將三種吉祥物各購買了兩個（同名的兩個吉祥物完全相同），送給三位好朋友，每人兩個，則每個好朋友都收到不同名的吉祥物的分配方案共有種．（用數(shù)字作答）14．已知偶函數(shù)定義域為，其導函數(shù)是.當時，有，則關(guān)于的不等式的解集為.四、解答題15．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．(1)求證：；(2)求的最大值．16．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.(1)求的值；(2)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(3)記，求數(shù)列的前n項和為.17．已知函數(shù)，，．(1)當，時，求證：；(2)若恒成立，求的最大值．18．概率統(tǒng)計在生產(chǎn)實踐和科學實驗中應用廣泛.請解決下列兩個問題.(1)隨著中小學“雙減”政策的深入人心，體育教學和各項體育鍛煉迎來時間充沛的春天.某初中學校學生籃球隊從開學第二周開始每周進行訓練，第一次訓練前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）.每次訓練，都是從中不放回任意取出2個籃球，訓練結(jié)束后放回原處.設第一次訓練時取到的新球個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布和期望.(2)由于手機用微波頻率信號傳遞信息，那么長時間使用手機是否會增加得腦瘤的概率？研究者針對這個問題，對腦瘤病人進行問卷調(diào)查，詢問他們是否總是習慣在固定的一側(cè)接聽電話？如果是，是哪邊？結(jié)果有88人喜歡用固定的一側(cè)接電話.其中腦瘤部位在左側(cè)的病人習慣固定在左側(cè)接聽電話的有14人，習慣固定在右側(cè)接聽電話的有28人；腦瘤部位在右側(cè)的病人習慣固定在左側(cè)接聽電話的有19人，習慣固定在右側(cè)接聽電話的有27人.根據(jù)上述信息寫出下面這張列聯(lián)表中字母所表示的數(shù)據(jù)，并對患腦瘤在左右側(cè)的部位是否與習慣在該側(cè)接聽手機電話相關(guān)進行獨立性檢驗.（顯著性水平習慣固定在左側(cè)接聽電話習慣固定在右側(cè)接聽電話總計腦瘤部位在左側(cè)的病人ab42腦瘤部位在右側(cè)的病人cd46總計a+cb+d88參考公式及數(shù)據(jù)：，其中，19．在空間立體幾何中，球面往往是重要的研究對象，同時，它與平面幾何中的圓息息相關(guān).而對于幾何體的研究中，幾何重心的選取顯得尤為重要.古希臘著名數(shù)學家巴普斯（Pappus）在研究過程中發(fā)現(xiàn)了一個性質(zhì)：平面內(nèi)任一面積為的區(qū)域沿著垂直于該區(qū)域的平面運動得到體積為的立體，若記為此區(qū)域的幾何重心運動的軌跡長度，則有.

(1)已知半圓面的幾何重心在其對稱軸上，求半徑為3的半圓面的幾何重心到圓心的距離（試著考慮繞直徑旋轉(zhuǎn)一周得到球體）；(2)建立空間直角坐標系，取球心為，且半徑為1的球體，點為其表面上一點.若、，，球體在點處的切面截坐標系的三軸組成平面三角形，求面積的最小值.提示：①球面方程：，其中點為球心坐標，為球的半徑；②平面方程的點法式：，其中平面過點，其法向量.

湖南省長沙市岳麓實驗中學2024-2025學年高二下學期6月月考數(shù)學試題參考答案題號12345678910答案CDDDADBAACDBC題號11答案AC1．C【詳解】當時，，，為偶函數(shù)，當是偶函數(shù)時，由，即恒成立，可得：恒成立，即，所以“”是“是偶函數(shù)”的充要條件，故選：C.2．D【詳解】已知全集，,集合中沒有，若，則，則，與條件矛盾，故，同理可得，則.故選：D.3．D【詳解】對A，的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，則為奇函數(shù)，故A錯誤；對B，，其定義域為，關(guān)于原點對稱，，而，則，則不是偶函數(shù)，故B錯誤；對C，，定義域為，關(guān)于原點對稱，且，而，則，則其不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，則為偶函數(shù)，故D正確.故選：D.4．D【詳解】D，E為邊上的三等分點，所以，所以D選項正確；若，則不成立，C選項錯誤；方向不同不能相等，A選項錯誤；方向相反不能相等，B選項錯誤.故選：D.5．A【詳解】命題若是上的減函數(shù)，得，解得，命題對于任意的正整數(shù)，，都有，不妨令，可得，有，由題，知，解得，所以命題是命題的充分不必要條件.故選：A6．D【詳解】對于A，，與不共線，A不正確；對于B，，，則與不共線，B不正確；對于C，，，則與不共線，C不正確；對于D，，即，又線段AC與CD有公共點C，所以三點共線，D正確．故選：D．7．B【詳解】由對稱性可得，連接，與的交點為，則為的中點，為的中點，故，，，，過點作直線的垂線，垂足記為，則向量在向量上的投影向量為，所以，如圖過點作，，垂足分別為，所以，，觀察圖象可得，其中與同向，與反向，所以當點位于點的位置時，取最大值，最大值為，當點位于點的位置時，取最小值，最小值為，所以的取值范圍是.故選：B.8．A【詳解】根據(jù)，作出的大致圖象如下：由圖可知：當時，此時由兩個根，分別為，當時，此時有4個交點，當時，此時有3個交點，當時，此時有2個交點，故要使得由6個不同的零點，則令，有6個不同的實數(shù)根，顯然不是的根，設的兩個零點分別為，且，故當時，此時有4個交點，有2個交點，滿足題意，故需要滿足，解得，當時，此時有3個交點，有3個交點，滿足題意，故需要滿足，解得，綜上可得或故選：A

9．ACD【詳解】對于A中，若向量時，此時且，但不一定成立，所以A錯誤；對于B中，由，所以B正確；對于C中，若，但向量與不一定是共線同向或反向，所以C錯誤；對于D中，由向量的數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律，所以D錯誤.故選：ACD.10．BC【詳解】對于A選項，當時，，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B選項，由A選項知，函數(shù)在上有一個極大值點，當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)有極小值點，無極大值點，綜上所述，函數(shù)僅有1個極大值點，故B正確；對于C選項，當時，，當時，，所以，函數(shù)的最小值為，函數(shù)無最大值，故C正確；對于D選項，如下圖所示：

由圖可知，當時，關(guān)于的方程共有4個實根，故D錯誤.故選：BC.11．AC【詳解】解：對于A，，，，，平面，平面，平面，，故正確；對于B，因為平面，平面，所以平面，與異面，故不相交，故錯誤；對于C，延長，交于點，連接交于，為中點，，所以,所以,所以，平面平面，平面與底面交線為，其中為中點，所以，故正確對；對于D，，是直角三角形，外接圓是以為直徑的圓，圓心設為，半徑，取中點，則平面，，所以，所以，，故錯誤.故選：．12．【詳解】由，故答案為：13．6【詳解】根據(jù)題意，設“蓮蓮”，“琮琮”“宸宸”為,則可得其組合形式為,故第一個好友具有種，第二個好友具有種，第三個好友只有種，即每個好朋友都收到不同命的吉祥物的分配方案為：種.故答案為：14．【詳解】解：根據(jù)題意，設，其導數(shù)為，又由時，有，則有，則函數(shù)在上為減函數(shù)，又由為定義域為的偶函數(shù)，則，則函數(shù)為偶函數(shù)，，，又由為偶函數(shù)且在上為減函數(shù)，且定義域為，則有，解可得：或即不等式的解集為，故答案為：15．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題，由正弦定理：，所以，整理，所以，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)，或（舍）,.（2）由，則由（1）問，得：，所以，且又，令，則，所以因為,當時，所求的最大值為.16．(1)9，6(2)證明見解析(3)【詳解】（1）因為成等差數(shù)列，所以，當時，，即，所以，因為成等比數(shù)列，所以，當時，，即，所以（2）由條件可得，且，又，故，代入中，得時，有，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列（3）由（1）（2）知數(shù)列為等差數(shù)列且，所以數(shù)列是首項為2，公差1為的等差數(shù)列，得，即，故，即，所以時，，且也符合上式，故，則，數(shù)列的前n項和為，17．(1)證明見解析；(2)．【詳解】(1)證明：當，時，，，所以，，所以當時，；當時，，在上遞減，在上遞增，所以當且僅當時，有最小值，因為，所以；(2)依題意：，令，則有恒成立，當時，對任意的實數(shù)，當且時，即，，矛盾；所以，，而，當時，，當時，，從而在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在時有最大值，因此，所以，設，則，時，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時，取最大值，當且僅當，即時取“=”，故的最大值為．18．(1)分布列見解析，1(2)表格見解析，長時間使用手機與是否得腦瘤沒有顯著關(guān)系【詳解】（1）第一次訓練時所取的球是從6個球（3新，3舊）中不放回取出2個球，所以可取的值為0，1，2..則分布列如下012則期望為；（2）由題目條件可得列聯(lián)表如下：習慣固定在左側(cè)接聽電話習慣固定在右側(cè)接聽電話總計腦瘤部位在左側(cè)的病人142842腦瘤部位