湖南省婁底市部分學校2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若，，則（

）A． B．C． D．2．若（為虛數單位），則復數的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則（

）A． B．1 C．2 D．44．已知是公差為2的等差數列，且，，成等比數列，則等于（

）A．63 B．72 C．81 D．905．設為銳角，若，則（

）A． B． C． D．6．已知直線和圓，則直線與圓的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．相交或相切7．已知函數且，若在上為減函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知定義在上的函數滿足，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列命題中，正確的命題為（

）A．已知隨機變量服從二項分布，若，，則B．將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差可能會變C．設隨機變量服從正態分布，若，則D．對于回歸分析，相關系數的絕對值越大，說明擬合效果越好10．已知函數，則下列選項正確的有（

）A．不是的周期B．成立的充要條件是，C．的圖象可通過的圖象上所有點向左平移個單位長度得到D．在區間上單調遞減11．已知定義在上的函數滿足，若時，，則下列選項正確的有（

）A．的最小正周期B．的圖象關于對稱C．D．函數在區間上所有的零點之和為2三、填空題12．展開式中的常數項為．13．如圖，在中，，，為的中點，沿將翻折至的位置，使得平面平面，則三棱錐外接球的表面積為．14．甲、乙、丙3臺機床加工統一型號的零件，它們加工的零件依次占總數的，，，已知甲機床加工的次品率為0.05，乙機床加工的次品率為0.15，丙機床加工的次品率為0.15，加工出來的零件混放在一起，現從中任取一個零件為次品的概率為，該次品來自乙機床的概率為．四、解答題15．在中，角，，對應的邊分別為，，，滿足．(1)求；(2)若，求的取值范圍．16．已知橢圓，為的左焦點，右頂點到的距離為，且離心率為，直線過點．(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點（、異于左、右頂點），求直線與的斜率之積．17．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側面為等腰直角三角形，平面平面，且，．

(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值．18．慢跑是一項簡單且高效的有氧運動，長期堅持能顯著提升身體健康水平，它通過增強心肺功能、促進代謝、改善情緒等多方面作用，成為大眾健身的首選方式之一．某志愿者協會隨機對全市100位居民的跑步時間進行了問卷調查，并將問卷中的這100人根據其跑步時長分組統計如圖所示．(1)求的取值以及這組數據的中位數（結果精確到）；(2)已知跑步時長在分鐘內的男生數與女生數之比為，若在該區間的人中隨機抽取2人進行采訪，求2人均為男生的概率；(3)用樣本估計總體，在全市慢跑居民中隨機抽取3人，記抽取的3人中時長在區間中的人數為，求的分布列及期望．19．已知函數．（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，求證：總存在唯一的極小值點，且．

湖南省婁底市部分學校2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試題參考答案題號12345678910答案BADCCDABADBCD題號11答案BC1．B【詳解】，解得，，又，.故選：B.2．A【詳解】由已知得，化簡得.故選：A.3．D【詳解】由已知得：，，所以，解得.故選：D4．C【詳解】由是公差為2的等差數列，且，，成等比數列，可得，即，解得，代入，故.故選：C.5．C【詳解】.故選：C6．D【詳解】由題意，直線可化為：，直線過定點，代入圓中，易知該點為圓上一點，所以直線1與圓相交或相切.故選：D.7．A【詳解】當時，單調遞減，此時，若當時，單調遞減，則，此時，因為在上單調遞減，所以，解得，又，所以.故選：A.8．B【詳解】設，則，因為，所以，又，所以恒成立，所以在定義域上單調遞增．故原不等式可轉化為，又，所以，所以，所以，故不等式的解集為．故選：B9．AD【詳解】A選項：，，，正確；B選項：將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變，錯誤；C選項：隨機變量服從正態分布，則，若，則，則，錯誤；D選項：對于回歸分析，相關系數的絕對值越大，說明擬合效果越好，正確.故選：AD10．BCD【詳解】A：是的最小正周期，故是的周期，錯．B：當時，，，則，，正確．C：把的圖象上所有點向左平移個單位長度得到，正確．D：，則，在區間上單調遞減，正確．故選：BCD11．BC【詳解】因為，所以是奇函數；因為，所以的圖象關于對稱，所以，則，因而，所以的最小正周期，故A錯誤；由，則的一個對稱中心為，故B正確；，故C正確；當時，單調遞增且值域為，因為的圖象關于對稱，所以在單調遞減且值域為，又因為是奇函數，所以在的圖象關于對稱且值域為，所以函數在區間上有兩個零點，且所有零點之和為-2，故D錯誤.故選：BC.12．【詳解】二項式展開式的通項為（且），令，解得，所以，即展開式中的常數項為.故答案為：13．【詳解】在中，，，為的中點，則，平面平面，平面平面，平面，且，平面，又，取的中點，連接，則，過作，則平面，設三棱錐的外接球球心為，則球心必位于上，如圖：設其半徑為，則，，，解得，三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：14．0.1/0.3/【詳解】記為事件“零件為第臺車床加工”，則，，，B為事件“任取一個零件為次品”，由全概率公式得：，由貝葉斯公式得：.故答案為：0.1；0.3.15．(1)(2)【詳解】（1），，在中，由正弦定理得，因為，則,，則．因為，所以．（2）由（1）知，又，則由正弦定理，，，，又在中，,則，，，，故.16．(1)(2)【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，由已知點、，依題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意可得直線的斜率存在且不為，設直線的方程為，設點、，由得，，可得，由韋達定理可得，?，已知，則，同理可得，所以.17．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）底面為直角梯形，，為直角，，，，，得，所以，又平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，，又側面為等腰直角三角形，，，又，平面，又平面，所以，．（2）平面平面，平面平面，可過點作垂足為，由題意知為等腰直角三角形，故點為線段的中點，且，分別以過點與直線，平行的直線為軸，軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，

所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，，所以，設平面的一個法向量為，則，即，取，，，則，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．(1)，56.7(2)(3)分布列見解析，【詳解】（1）根據題意可得，解得；因為前3組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，，所以中位數在50和60之間，設中位數為，則，解得，所以該市群眾每天慢跑時長的中位數約為56.7.（2）慢跑時長在分鐘內有人，因為男生數與女生數之比為，所以其中男生6人，女生4人，記“隨機抽取2人進行采訪，2人均為男生”為事件，所以.（3）因為用樣本估計總體，所以任取1人時長在的概率為，隨機變量服從二項分布，即，的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列如下表：X0123P.19．（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）證明見解析．【詳解】（1）函數的定義域為．當時，，所以