§5.3平面向量的平行與垂直及平面向量的應(yīng)用考綱解讀考點內(nèi)容解讀要求五年高考統(tǒng)計常考題型預(yù)測熱度201320142015201620171.平面向量的平行與垂直1.平面向量平行與垂直的判斷2.平面向量平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用B填空題解答題★★☆2.平面向量的綜合應(yīng)用1.與解三角形相結(jié)合2.與函數(shù)、不等式相結(jié)合B填空題解答題★★☆分析解讀平面向量的平行與垂直是平面向量中的重要內(nèi)容,一般與三角函數(shù)、解三角形等知識交匯考查.五年高考考點一平面向量的平行與垂直1.(2017課標(biāo)全國Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=.

答案72.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,2),且a∥b,則m=.

答案63.(2016山東,13,5分)已知向量a=(1,1),b=(6,4).若a⊥(ta+b),則實數(shù)t的值為.

答案54.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,13,5分)設(shè)向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=.

答案25.(2014湖北,11,5分)設(shè)向量a=(3,3),b=(1,1).若(a+λb)⊥(aλb),則實數(shù)λ=.

答案±3考點二平面向量的綜合應(yīng)用1.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|ab|的最小值是,最大值是.

答案4;252.(2015福建改編,9,5分)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且AP=AB|AB|+4AC|AC|答案133.(2013福建理改編,7,5分)在四邊形ABCD中,AC=(1,2),BD=(4,2),則該四邊形的面積為.

答案54.(2014陜西,18,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.(1)若PA+PB+PC=0,求|OP|;(2)設(shè)OP=mAB+nAC(m,n∈R),用x,y表示mn,并求mn的最大值.解析(1)解法一:∵PA+PB+PC=0,且PA+PB+PC=(1x,1y)+(2x,3y)+(3x,2y)=(63x,63y),∴6-3即OP=(2,2),故|OP|=22.解法二:∵PA+PB+PC=0,即(OAOP)+(OBOP)+(OCOP)=0,∴OP=13(OA+OB+OC∴|OP|=22.(2)∵OP=mAB+nAC,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴x兩式相減得,mn=yx,令yx=t,由圖知,當(dāng)直線y=x+t過點B(2,3)時,t取得最大值1,故mn的最大值為1.三年模擬A組2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組考點一平面向量的平行與垂直1.(2017江蘇南京學(xué)情檢測,6)設(shè)向量a=(1,4),b=(1,x),c=a+3b.若a∥c,則實數(shù)x的值是.

答案42.(2017江蘇徐州沛縣中學(xué)質(zhì)檢,11)已知向量a=(x1,2),b=(4,y),若a⊥b,則16x+4y的最小值為.

答案83.(2017江蘇無錫期末,7)已知向量a=(2,1),b=(1,1),若ab與ma+b垂直,則m的值為.

答案14.(2018江蘇淮安、宿遷高三(上)期中)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(a,3b),n=(sinB,cosA),且m⊥n.(1)求A的大小;(2)若|n|=64,求cosC的值解析(1)∵m⊥n,∴m·n=asinB3bcosA=0,∴sinAsinB3sinBcosA=0,又sinB≠0,∴tanA=3,∵A∈(0,π),∴A=π3(2)∵|n|=sin2B∴sin2B+122=解得sin2B=18∵B∈(0,π),∴sinB=24當(dāng)B為銳角時,cosB=1-sincosC=cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB=12×144+32×2當(dāng)B為鈍角時,cosB=144cosC=cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB=12×-144+32×2綜上,cosC的值為6-1485.(2018江蘇無錫高三期中)已知a=(3,1),b=(1,2),c=(1,1).(1)求a與b的夾角的大小;(2)若c∥(a+kb),求k的值.解析(1)設(shè)a與b的夾角為α,因為cosα=a·b|a|·|b|=-即a與b的夾角為3π(2)a+kb=(3+k,12k).因為c∥(a+kb),所以12k+3k=0,解得k=43考點二平面向量的綜合應(yīng)用6.(蘇教必4,二,5,變式)在△ABC中,有如下命題,其中正確的是.

①ABAC=BC;②AB+BC+CA=0;③若(AB+AC)·(ABAC)=0,則△ABC為等腰三角形;④若AB·BC>0,則△ABC為銳角三角形.答案②③7.(蘇教必4,二,5,變式)如圖,△ABC是邊長為23的等邊三角形,P是以C為圓心,1為半徑的圓上的任意一點,則(AP·BP)min=.

答案18.(蘇教必4,二,5,變式)如圖所示,點O為△ABC的外心,以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形,第四個頂點為D,再以O(shè)C、OD為鄰邊作平行四邊形,它的第四個頂點為H.(1)若OA=a,OB=b,OC=c,OH=h,用a、b、c表示h;(2)證明AH⊥CB;(3)若△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,外接圓的半徑為R,用R表示|h|.解析(1)由向量加法的平行四邊形法則可得OD=OA+OB=a+b,OH=OC+OD=c+a+b,∴h=a+b+c.(2)證明:∵點O是△ABC的外心,∴|OA|=|OB|=|OC|,即|a|=|b|=|c|.而AH=OHOA=ha=b+c,CB=OBOC=bc,∴AH·CB=(b+c)·(bc)=|b|2|c|2=0.∴AH⊥CB.(3)在△ABC中,O是外心,∠BAC=60°,∠ABC=45°,∴∠BOC=120°,∠AOC=90°.于是∠AOB=150°.|h|2=h·h=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=3R2+2|a||b|cos150°+2|a||c|cos90°+2|b||c|cos120°=3R23R2R2=(23)R2.∴|h|=6-29.(2017江蘇鎮(zhèn)江一模,15)已知向量m=(cosα,1),n=(2,sinα),其中α∈0,π2,且m(1)求cos2α的值;(2)若sin(αβ)=1010,且β∈0,π2,解析(1)由m⊥n得,2cosαsinα=0,sinα=2cosα,代入cos2α+sin2α=1,得5cos2α=1,因為α∈0,所以cosα=55則cos2α=2cos2α1=2×5521=(2)由(1)可得sinα=255,由α∈0,π2,β∈0,π因為sin(αβ)=1010,所以cos(αβ)=3所以sinβ=sin[α(αβ)]=sinαcos(αβ)cosαsin(αβ)=255×3101055因為β∈0,π2,所以B組2016—2018年模擬·提升題組(滿分:20分時間:10分鐘)一、填空題(每小題5分,共5分)1.(2017江蘇南京、鹽城二模,11)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=4.若點D在邊BC上,且BD=2DC,AD=273,則AC的長為答案3二、解答題(共15分)2.(2018江蘇臺東安豐高級中學(xué)月考)平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(2,3),且AD∥BC.(1)若M(1,1),N(y+1,2),y∈[0,2],求MN·BC的范圍;(2)若AC⊥BD,求四邊形ABCD的面積.解析(1)AD=AB+BC+CD=(x+4,y2),BC=(x,y),因為AD∥BC,所以(x+4)y(y2)x=0.即x+2y=0.MN·BC=(x+1)y=(2y+1)y=2y2+y=2y-142+所以MN·BC的取值范圍是-6(2)AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x2,y3),因為AC⊥BD,所以(x+6)(x2)+(y+1)(y3)=0,即x2+y2+4x2y15=0,由x解得x=2,當(dāng)x=2,y=-1時S四邊形ABCD=12當(dāng)x=-6,y=3時S四邊形ABCD=12綜上,四邊形ABCD的面積為16.C組2016—2018年模擬·方法題組方法平面向量與三角函數(shù)綜合問題的解決方法(2017江蘇南京模擬,16)已知向量a=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t),α∈0,(1)若ab=25,0,求(2)若t=1,且a·b=1,求tan2α+解析(1)因為向量a=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t),且ab=25,0,所以cosαsinα=15由cosαsinα=15得(cosαsinα)2=1即12sinαcosα=125,從而2sinαcosα=24