3.2.3列代數式解決較復雜的實際問題第三章

代數式【2024新教材】冀教版數學

七年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********3.2.3列代數式解決較復雜的實際問題教案一、教學目標（一）知識與技能能準確分析較復雜實際問題中的數量關系，掌握多變量、分段計費等問題的代數式列寫方法。理解復雜問題中隱含的數量關系，能通過建立數學模型解決實際問題。熟練運用代數式表示實際問題中的未知量，解釋代數式在復雜情境中的具體含義。（二）過程與方法通過分析復雜問題中的數量關系，經歷從實際問題到數學模型的抽象過程，提升邏輯推理能力。在解決多變量、分段問題時，體會分類討論、方程思想在列代數式中的應用，培養數學思維的嚴謹性。（三）情感態度與價值觀案例分析：例5：比賽積分問題某知識競賽規則：答對一題得5分，答錯一題扣2分，不答得0分。若某隊答對x題，答錯y題，未答z題，且總題數為20題，求該隊總積分。隱含條件挖掘：總題數=答對題數+答錯題數+未答題數，即\(x+y+z=20\)；總積分=答對得分-答錯扣分=\(5x-2y\)分（z不影響積分，無需在代數式中體現）。易錯提醒：避免錯誤地將z納入積分計算，需明確問題核心數量關系。例6：幾何圖形問題如圖，大正方形邊長為a，小正方形邊長為b，陰影部分為大正方形減去小正方形后剩余部分的一半，求陰影面積。圖形分析：大正方形面積=\(a?2\)，小正方形面積=\(b?2\)；剩余部分面積=\(a?2-b?2\)；陰影面積=\(\frac{1}{2}(a?2-b?2)\)。（三）鞏固練習1.基礎練習分段計費：某停車場收費標準：1小時內免費，超過1小時但不超過3小時每小時收費5元，超過3小時每小時收費10元（不足1小時按1小時計算）。若停車t小時（t>0），用代數式表示停車費。（答案：當\(0<t\leq1\)時，0元；當\(1<t\leq3\)時，\(5(t-1)\)元；當\(t>3\)時，\(5??2+10(t-3)=(10t-20)\)元）多變量問題：某文具店批發筆記本和鋼筆，筆記本每本m元，鋼筆每支n元。若購進筆記本30本，鋼筆20支，運輸費50元，求總成本。（答案：\((30m+20n+50)\)元）2.拓展練習綜合問題：某商場對顧客實行優惠：一次性購物不超過200元不打折；超過200元但不超過500元打九折；超過500元，500元以內部分打九折，超過部分打八折。若購物金額為x元，求實際付款金額。（答案：當\(0\leqx\leq200\)時，x元；當\(200<x\leq500\)時，\(0.9x\)元；當\(x>500\)時，\(500??0.9+0.8(x-500)=(0.8x+50)\)元）創新應用：設計一個生活中的復雜問題，要求用代數式\(0.7a+10b\)表示結果，并解釋字母含義。（示例：a表示原價a元的商品打七折后的價格，b表示每件10元的包裝費，購買該商品及包裝的總費用為\(0.7a+10b\)元）（四）課堂小結分段問題：先確定分段節點，再分類列代數式，注意區間邊界；多變量問題：理清各變量關系，明確核心運算；隱含條件：挖掘題目中的隱藏等量關系，如總數、幾何公式等；檢驗要點：代數式是否符合實際意義，單位是否統一，邏輯是否嚴謹。（五）作業布置基礎作業：課本習題3.2.3第1、2題（分段計費問題）；提升作業：某工廠生產甲、乙兩種產品，甲產品每件利潤15元，乙產品每件利潤20元。生產甲產品x件，乙產品y件，且甲產品數量不超過乙產品的2倍，用代數式表示最大可能利潤（提示：需考慮約束條件，但利潤代數式為\(15x+20y\)）；拓展作業：調查家庭每月電費計費方式，列寫代數式表示電費，并分析不同用電量下的費用差異。五、板書設計3.2.3列代數式解決較復雜的實際問題分段計費：例1：階梯水費分三段列寫；關鍵：確定節點→分類討論→合并表達。多變量問題：例3：利潤=單利

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數量之和；例4：行程問題中的距離=總路程-已行路程。隱含條件：例5：總題數=x+y+z（z不影響積分）；例6：陰影面積=\(\frac{1}{2}(a?2-b?2)\)。六、教學反思成功之處：通過階梯水費、出租車計費等貼近生活的案例，幫助學生理解復雜問題的分析方法，分類討論思想的滲透較為到位；不足之處：部分學生在處理多變量與隱含條件結合的問題時，容易遺漏關鍵信息，如例5中未注意到z與積分無關；改進方向：下次教學可增加“錯誤案例分析”環節，展示學生常見的列寫錯誤，通過對比強化正確思路；對于復雜問題，可指導學生用表格梳理數量關系，提高分析的條理性。這份教案聚焦復雜實際問題的代數式列寫，通過分層案例和思維引導提升學生解題能力。你可以提出對教案的優化建議，如增加跨學科案例或調整練習難度梯度。互逆命題、互逆定理教案一、教學目標知識與技能目標理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標通過對命題、逆命題的分析，培養學生的邏輯思維能力和語言表達能力。經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數學思想。情感態度與價值觀目標培養學生積極參與數學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。讓學生感受數學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數學的應用價值。二、教學重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導學生分析這些命題的題設和結論。提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學生進一步理解互逆命題的概念。組織學生進行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流。互逆定理給出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結（5分鐘）與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業（5分鐘）課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業：收集生活中或數學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學反思在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解經過練習，小亮和大華的打字速度都有了提高，小亮的打字速度達到80個/分，大華比小亮每分鐘多打10個字.(1)小亮和大華amin分別能打多少個字?(2)bmin大華比小亮多打多少個字?(3)將同為c個字的兩篇文章分別交給小亮和大華打，如果要求他們同時完成任務，那么小亮比大華要提前多少分鐘開始打字?學生活動【用代數式表示和差關系的實際應用】涉及三個基本的量：打字速度、時間、打字的個數.

問題中涉及了幾個基本的量？這些量之間具有怎樣的關系？打字速度×時間=打字的個數解：(1)小亮amin打的字就等于80與a的積，即80a個字；大華amin打的字就等于(80+10)與a的積，即90a個字.(2)bmin大華