2022年北京大學強基計劃筆試數學試題備注：數學一共20道題目1.已知與均為完全平方數且不超過2022，則正整數的個數為___________.2.已知凸四邊形滿足，則符合題意且不相似的凸四邊形的個數為___________.3.已知正整數不超過2022且滿足100整除，則這樣的的個數為___________.4.已知表示不超過的整數，如.已知，則（）A.321 B.322 C.323 D.以上都不對5.已知六位數，滿足，則所有滿足條件的六位數之和為___________.不必為三位數）6.已知整數滿足，則的正整數取值個數為___________.7.已知凸四邊形滿足：，則其內切圓半徑取值范圍為___________.8.已知，當最小時，___________.9.已知復數，滿足與實部和虛部均屬于，則在復平面上形成軌跡的面積為___________.10.在中，，其外接圓半徑，且，則___________.11.在梯形中，在邊上，有，則取值范圍為___________.12.已知，則該方程所有實根個數與所有實根乘積比值為___________.13.若為十進制數，，記.已知，則各位數字的平方和___________200（橫線上填大于，小于或等于）.14.已知數列滿足，則最接近的整數為___________.15.已知是二次函數，，且，則___________.16.已知數列各項均為正整數，且中存在一項為3，可能數列的個數為___________.17.將不大于12正整數分為6個兩兩交集為空的二元集合，且每個集合中兩個元素互質，則不同的分法有___________種.18.已知為正整數，.其中的系數為10，則的系數的最大可能值與最小可能值之和為___________.19.若三邊長為等差數列，則的取值范圍是___________.20.內接于橢圓菱形周長的最大值和最小值之和是（）A. B. C. D.上述三個選項都不對2023年北京大學強基計劃測試數學試題考試時間2023年6月29日10：00-11：00，總共20道單選題，時間為1小時1.定義有理復數為實部和虛部均為有理數的復數，無理復數為實部和虛部為無理數的復數，半有理復數為實部和虛部一個是有理數一個是無理數的復數，已知在復平面內三角形的三個頂點對應的復數均為半有理復數，則三角形的重心對應的復數是（）A.只能是有理復數或半有理復數B.只能是無理復數或伴有理復數C.只能是半有理復數D.以上都不對2.方程在上解得個數為______.3.數列滿足：，則除以7的余數為（）A.1B.2C.4D.以上都不對4.集合，則的元素兩兩互素的三元子集個數為_______.5．函數在上最大值是_______.6.集合，則的互不相交各元素之和為17的倍數的二元子集最多有_____個.7.方程的實根個數為_____.8.十邊形內任意三條對角線都不會在其內部交于同一點，問這個十邊形所有對角線可以把這個十邊形劃分為______個區(qū)域.9.一個三角形的一條高長為2，另一條高長為4，則這個三角形內切圓半徑取值范圍是______.10.表示正整數除以的余數之和，則滿足的兩位數的個數為______.11.已知正整數數列嚴格遞增，，且，則這樣的數組的個數為______.12.已知點，延長至使，那么點到距離最大值和最小值之積為______.13.三個互不相等的正整數最大公約數為20，最小公倍數為20000，那么這樣的不同的正整數組的個數為______.14.由構成的集合元素的個數為______.15.已知集合，甲蟲第一天在原點,第天從第天位置出發(fā)沿向量移動，其中，用表示第天甲蟲可能在多少個不同的位置上，則______.16.方程解得個數為______.17.已知均為正整數，且均為正整數，則的最大值和最小值之和為______.18.已知，且是的一個排列，則得到的不同數的個數為______.19.已知正整數且，則在取得最大值的情況下，的最大值為______.20.由50個隊伍進行排球單循環(huán)比賽，勝一局積1分，負一局積0分，且任取27支隊伍能找到一個全部戰(zhàn)勝其余26支隊伍和一支全部負于其余26支隊伍的，問這50支隊伍總共最少有______種不同的積分.2023年北京大學強基計劃測試數學試題解析1.定義有理復數為實部和虛部均為有理數的復數，無理復數為實部和虛部為無理數的復數，半有理復數為實部和虛部一個是有理數一個是無理數的復數，已知在復平面內三角形的三個頂點對應的復數均為半有理復數，則三角形的重心對應的復數是（）A.只能是有理復數或半有理復數B.只能是無理復數或伴有理復數C.只能是半有理復數D.以上都不對解：D重心為有理復數的例子：重心為無理復數的例子：重心為半有理復數的例子：2.方程在上解得個數為______.解：0設，則方程為，考慮方程實根，設其共軛虛根為，得，所以沒有模長為1的根。3.數列滿足：，則除以7的余數為（）A.1B.2C.4D.以上都不對解：B設數列滿足：,則，進而，所以4.集合，則的元素兩兩互素的三元子集個數為_______.解：42三個奇數：兩個奇數一個偶數，按照選擇的偶數分類計算可得答案為5．函數在上最大值是_______.解：在上等號當且僅當取得。6.集合，則的互不相交各元素之和為17的倍數的二元子集最多有_____個.解：由，所以答案為7.方程的實根個數為_____.解：1設，則所以在上單調遞增，其次數為5，只有一個實根.8.十邊形內任意三條對角線都不會在其內部交于同一點，問這個十邊形所有對角線可以把這個十邊形劃分為______個區(qū)域.解：246設分成區(qū)域的個數為，其相當于某個具有個面的多面體的投在其中一個面所在面的投影，則,其中所以.9.一個三角形的一條高長為2，另一條高長為4，則這個三角形內切圓半徑取值范圍是______.解：設三角形的邊為，內切圓半徑為，則則，所以.10.表示正整數除