21.3實際問題與一元二次方程一、教學目標1.學生能夠準確識別實際問題中的等量關系，并據此列出一元二次方程。2.熟練掌握一元二次方程的解法，正確求解方程并檢驗答案的合理性。3.培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，增強數學應用意識。二、教學重難點1.重點：分析實際問題中的數量關系，建立一元二次方程模型并求解。2.難點：如何將實際問題轉化為數學問題，找到合適的等量關系列出方程。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合，引導學生自主思考與合作交流。四、教學過程（一）知識回顧提問：什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？（答案：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程；一般形式是ax2+bx+c=0（））一元二次方程有哪些解法？（答案：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）回顧解題步驟：以方程x2-5x+6=0為例，引導學生回顧用因式分解法求解的步驟：先將方程左邊因式分解為(x-2)(x-3)=0；再根據“若兩個數的乘積為0，則至少其中一個數為0”，得到x-2=0或x-3=0；最后解得x1=2，x2=3。（二）例題精講（20分鐘）例1：傳播問題問題：有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？分析：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人。第一輪傳染后，患病的人數為1+x；第二輪傳染是在第一輪的基礎上進行的，所以第二輪傳染后患病的人數為(1+x)+x(1+x)，即(1+x)2。由此可列出方程(1+x)2=121。求解：利用直接開平方法，1+x=；當1+x=11時，x=10；當1+x=-11時，x=-12（人數不能為負數，舍去）。答案：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人。例2：增長率問題問題：某工廠工業廢氣年排放量為450萬立方米，為改善大氣環境質量，決定分兩期投入治理，使廢氣的年排放量減少到288萬立方米，如果每期治理中廢氣減少的百分率相同，求每期減少的百分率是多少？分析：設每期減少的百分率為x，則第一期治理后廢氣年排放量為450(1-x)萬立方米，第二期治理后廢氣年排放量為450(1-x)2萬立方米，可列出方程450(1-x)2=288。求解：方程兩邊同時除以450，得到(1-x)2=0.64；利用直接開平方法，1-x=當1-x=0.8時，x=0.2=20%；當1-x=-0.8時，x=1.8（增長率不能大于1，舍去）。答案：每期減少的百分率是20%。例3：幾何圖形問題問題：如圖，在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分建成花園，要使花園的面積為540m^2，道路的寬應為多少？分析：設道路的寬為x米，將兩條道路平移到矩形的邊緣，此時花園的長為(32-x)米，寬為(20-x)米，根據矩形面積公式可列出方程(32-x)(20-x)=540。求解：展開方程得640-32x-20x+x2=540，整理為x2-52x+100=0；利用因式分解法，(x-2)(x-50)=0；解得x1=2，x2=50（50大于矩形的寬，不符合實際，舍去）。答案：道路的寬應為2米。（三）課堂檢測1.一個小組有若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共有（）人。A.12B.10C.9D.82.某商品經過連續兩次降價，銷售單價由原來的125元降到80元，則平均每次降價的百分率為（）A.10%B.15%C.20%D.25%3.用一條長40cm的繩子圍成一個面積為64cm^2的矩形。設矩形的一邊長為xcm，則可列方程為（）A.x(20+x)=64B.x(20-x)=64C.x(40+x)=64D.x(40-x)=644.為執行“兩免一補”政策，某地區2023年投入教育經費2500萬元，預計2025年投入3600萬元。設這兩年投入教育經費的年平均增長率為x，則下列方程正確的是（）A.2500x2=3600B.2500(1+x)2=3600C.2500(1+x%)2=3600D.2500(1+x)+2500(1+x)2=36005.參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行兩次比賽，共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？6.一個直角三角形的兩條直角邊的和是14cm，面積是24cm^2，求兩條直角邊的長。（四）課堂小結總結本節課學習的重點內容：如何從實際問題中找出等量關系，列出一元二次方程并求解，以及檢驗答案的合理性。強調解決實際問題的關鍵是理解題意，將實際問題轉化為數學問題。（五）布置作業課本習題21.3中相關練習題。思考：生活中還有哪些問題可以用一元二次方程來解決，并嘗試編一道題目。五、教學反思在教學過程中，關注學生對實際問題的理解和分析能力，及時發現學生在建立方程模型過程中遇到的困難并給予指導。通