高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省上饒市2025屆高三第二次高考模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以；由，所以.所以.故選：D2.已知復數，若為實數，則（）A2 B.5 C.4 D.1【答案】C【解析】由復數為實數，得，即，則，所以.故選：C3.命題“”的否定為（）A.“” B.“”C.“” D.“”【答案】D【解析】因為，是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，故選：D.4.已知向量，若，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】由，得，而，所以.故選：C5.已知為等差數列，，則（）A.12 B. C. D.【答案】A【解析】因為為等差數列，設公差為.則，，所以.所以.故選：A6.若函數在上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數在上存在單調遞增區間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因為，所以，所以當，即時，，所以，故選：D．7.下列選項中，曲線與在上的交點個數不一樣的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，，曲線與的交點個數，即方程解的個數，對于A，，由，得或，當時，由，得，方程有4個解，共7個；對于B，，由，得或，當時，，共5個；對于C，，由，得或，當時，方程有3個解，方程有4個解，共7個；對于D，，由，得或，當時，方程有3個解，方程有4個解，共7個，所以交點個數不一樣的是.故選：B8.若不等式恒成立，則的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，則，.原不等式可化為：.因為，所以，.當時，，所以在恒成立，所以；當時，，所以成立；當時，，所以在上恒成立，所以.綜上可得：.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若正實數滿足，則（）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最大值是 D.的最小值是【答案】ABC【解析】對于A，，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，當且僅當時取等號，B正確；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，則，當且僅當時取等號，D錯誤.故選：ABC10.若，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A，令，得；令，得，因此，A錯誤；對于B，，因此，B正確；對于C，令，即，得，C錯誤；對于D，原等式兩邊求導得，令，得，D正確.故選：BD11.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.直線與曲線沒有交點B.已知點，則曲線上存在點，使得C.若過點的直線與曲線有三個不同的交點，則直線的斜率的取值范圍是D.點是曲線上在第四象限內的一點，過點向直線與直線作垂線，垂足分別為，則【答案】BCD【解析】曲線，當時，曲線，表示焦點在軸上的橢圓的一部分，當時，曲線，表示焦點在軸上的雙曲線在第四象限的部分，其漸近線方程為，焦點為，，當時，曲線，表示焦點在軸上雙曲線第二象限的部分，其漸近線方程為，當時，曲線，不表示任何圖形，對于A，由，解得，直線與曲線交于點，A錯誤；對于B，當曲線上的點的坐標滿足時，，B正確；對于C，觀察圖形知，直線與曲線有三個不同的交點，直線的斜率，其方程為，由消去得，由，得，而此時，直線過點時，，因此當時，直線與（）交于2點，而曲線（）的漸近線為，直線與直線相交，則直線與曲線（）必有1個交點；由消去得，由，得，而此時，因此當時，直線與曲線（）交于2點，與曲線（）必有1個交點，從而過點直線與曲線有三個不同的交點，則直線的斜率的取值范圍是，C正確；對于D，設，則，則，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數列滿足，則數列的前4項的和為________．【答案】【解析】數列中，由，得，而，則，所以.故答案為：13.已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數b的取值范圍是______.【答案】【解析】曲線即，表示以為圓心，以1為半徑的一個半圓，直線表示斜率為1的一組平行線，當直線過時，，當直線和半圓相切時，由，解得或（舍去），要使曲線與直線有兩個相異的交點，則b滿足，故答案為：.14.如圖，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉體，球缺的體積公式是．已知正方體棱長為1，則該正方體與以為球心，為半徑的球的公共部分的體積為________．【答案】【解析】依題意，正方體與以為球心，為半徑的球的公共部分是球體的，去掉3個不含點的正方體的面所在平面截球所得球缺的，球的體積，高為的球缺體積，所以所求公共部分的體積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內角所對的邊分別為．（1）求角；（2）若，，且，求的面積．解：（1）由正弦定理：，所以，所以，得.因為為三角形內角，所以，所以.又，所以.（2）如圖：因為，所以為的重心.延長交與點，則為中點.因為，所以.因為，所以，即①在中，由余弦定理得：②由①②得：.所以.16.如圖（1），四邊形ABCD中，，分別為的中點，現以AC為折痕把折起，使點到達點的位置（如圖（2）），且．（1）證明：平面平面ACD；（2）若為PD上的一點，平面ACM與平面ACD的夾角為，求點到平面ACM的距離．（1）證明：在中，由，得，在中，，而，由余弦定理，得，則，即，由，得，則，又平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）解：連接，由分別為的中點，得，由（1）得平面，由，得，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，由點在PD上，令，設平面的法向量，則，取，得，而平面的法向量，則，解得，于是，而，則點到平面的距離，所以點到平面的距離為.17.已知函數（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時成立．（1）解：函數，求導得，則，而，所以所求切線方程為.（2）證明：函數的定義域為，不等式，當時，，則，令函數，當時，，令函數，求導得，函數在上單調遞減，，；當時，，令，求導得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，而，則存在，使得，當或時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，，則當時，；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，則；當時，，函數在上單調遞增，，因此，，則，所以當時，成立.18.已知雙曲線過點，其右焦點到漸近線的距離為1，過作與坐標軸都不垂直的直線交的右支于兩點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）為雙曲線C上一動點，過點分別作兩條漸近線平行線交漸近線于，四邊形OEPG的面積是否為定值？若是求出該定值，若不是請說明理由；（3）在軸上是否存在定點，使恒成立，若存在求出定點的坐標，若不存在請說明理由．解：（1）設雙曲線的標準方程為，右焦點，雙曲線的漸近線，點到漸近線的距離，又，解得，所以雙曲線的標準方程為.（2）雙曲線：的漸近線為，由在雙曲線上，得，即，過點與直線平行的直線方程為，由，解得，得交點，依題意，四邊形是平行四邊形，，點到直線的距離，所以四邊形的面積為定值.（3）假設存在點，由（1）知，，由直線不垂直于坐標軸，設直線的方程為，由消去得，設，，解得或，由，得，而，于是，則平分，因此直線的斜率互為相反數，即，，解得，所以在軸上存在定點，使恒成立.19.“三門問題”亦稱為蒙提霍爾問題，問題名字來自1970年美國的一個電視游戲節目主持人蒙提·霍爾.游戲中，參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇門后面有一輛跑車，另外兩扇門后面則各藏有一只山羊，選中后面有車的那扇門可獲獎贏得該跑車，主持人知道跑車在哪一扇門.當參賽者選定了一扇門但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出一只山羊.主持人隨后會問參賽者要不要換另一扇仍然關閉的門.當時大部分的觀眾和參與者都支持不換門，認為換不換門獲獎概率是一樣的.然而當時智商最高的瑪麗蓮·沃斯·莎凡特給出了正確答案：應該換門.（1）請用所學概率知識解釋瑪麗蓮·沃斯·莎凡特給出的答案；（2）證明：當跑車門數不變，山羊門數增加，游戲中的參與者在主持人打開一扇山羊門后，換門都比不換門中獎概率更高；（3）如果有扇門，其中一扇門后有10萬獎金，其他門后什么都沒有，主持人知道哪一扇門后面有獎金.當參與者選中一扇門后（未打開），主持人問參與者是否愿意投入5000元，幫他在剩余的門中打開一扇沒有獎金的門，并允許參與者換門.問當門數滿足什么條件時，參與者投入5000元是值得的？（1）解：如果不換門，則中獎的概率為.如果換門，則中獎的概率為：.所以換門中獎的概率大，故：應該換門.（2）證明：假設山羊門數為（），如果不換門，則中獎的概率為：.如果換門，中獎的概率為：.因為，所以換門比不換門中獎概率更高.（3）解：不換門中獎的概率為，換門中獎的概率為：.要想投入5000元時值得的，須有：.整理得：.結合，，可得.即當時，參與者投入5000元是值得的.江西省上饒市2025屆高三第二次高考模擬考試數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以；由，所以.所以.故選：D2.已知復數，若為實數，則（）A2 B.5 C.4 D.1【答案】C【解析】由復數為實數，得，即，則，所以.故選：C3.命題“”的否定為（）A.“” B.“”C.“” D.“”【答案】D【解析】因為，是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，故選：D.4.已知向量，若，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】由，得，而，所以.故選：C5.已知為等差數列，，則（）A.12 B. C. D.【答案】A【解析】因為為等差數列，設公差為.則，，所以.所以.故選：A6.若函數在上存在單調遞增區間，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為函數在上存在單調遞增區間，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，變形得，因為，所以，所以當，即時，，所以，故選：D．7.下列選項中，曲線與在上的交點個數不一樣的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，，曲線與的交點個數，即方程解的個數，對于A，，由，得或，當時，由，得，方程有4個解，共7個；對于B，，由，得或，當時，，共5個；對于C，，由，得或，當時，方程有3個解，方程有4個解，共7個；對于D，，由，得或，當時，方程有3個解，方程有4個解，共7個，所以交點個數不一樣的是.故選：B8.若不等式恒成立，則的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，則，.原不等式可化為：.因為，所以，.當時，，所以在恒成立，所以；當時，，所以成立；當時，，所以在上恒成立，所以.綜上可得：.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若正實數滿足，則（）A.的最大值是 B.的最小值是9C.的最大值是 D.的最小值是【答案】ABC【解析】對于A，，當且僅當時取等號，A正確；對于B，，當且僅當時取等號，B正確；對于C，，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，則，當且僅當時取等號，D錯誤.故選：ABC10.若，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A，令，得；令，得，因此，A錯誤；對于B，，因此，B正確；對于C，令，即，得，C錯誤；對于D，原等式兩邊求導得，令，得，D正確.故選：BD11.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.直線與曲線沒有交點B.已知點，則曲線上存在點，使得C.若過點的直線與曲線有三個不同的交點，則直線的斜率的取值范圍是D.點是曲線上在第四象限內的一點，過點向直線與直線作垂線，垂足分別為，則【答案】BCD【解析】曲線，當時，曲線，表示焦點在軸上的橢圓的一部分，當時，曲線，表示焦點在軸上的雙曲線在第四象限的部分，其漸近線方程為，焦點為，，當時，曲線，表示焦點在軸上雙曲線第二象限的部分，其漸近線方程為，當時，曲線，不表示任何圖形，對于A，由，解得，直線與曲線交于點，A錯誤；對于B，當曲線上的點的坐標滿足時，，B正確；對于C，觀察圖形知，直線與曲線有三個不同的交點，直線的斜率，其方程為，由消去得，由，得，而此時，直線過點時，，因此當時，直線與（）交于2點，而曲線（）的漸近線為，直線與直線相交，則直線與曲線（）必有1個交點；由消去得，由，得，而此時，因此當時，直線與曲線（）交于2點，與曲線（）必有1個交點，從而過點直線與曲線有三個不同的交點，則直線的斜率的取值范圍是，C正確；對于D，設，則，則，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數列滿足，則數列的前4項的和為________．【答案】【解析】數列中，由，得，而，則，所以.故答案為：13.已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數b的取值范圍是______.【答案】【解析】曲線即，表示以為圓心，以1為半徑的一個半圓，直線表示斜率為1的一組平行線，當直線過時，，當直線和半圓相切時，由，解得或（舍去），要使曲線與直線有兩個相異的交點，則b滿足，故答案為：.14.如圖，球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉體，球缺的體積公式是．已知正方體棱長為1，則該正方體與以為球心，為半徑的球的公共部分的體積為________．【答案】【解析】依題意，正方體與以為球心，為半徑的球的公共部分是球體的，去掉3個不含點的正方體的面所在平面截球所得球缺的，球的體積，高為的球缺體積，所以所求公共部分的體積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內角所對的邊分別為．（1）求角；（2）若，，且，求的面積．解：（1）由正弦定理：，所以，所以，得.因為為三角形內角，所以，所以.又，所以.（2）如圖：因為，所以為的重心.延長交與點，則為中點.因為，所以.因為，所以，即①在中，由余弦定理得：②由①②得：.所以.16.如圖（1），四邊形ABCD中，，分別為的中點，現以AC為折痕把折起，使點到達點的位置（如圖（2）），且．（1）證明：平面平面ACD；（2）若為PD上的一點，平面ACM與平面ACD的夾角為，求點到平面ACM的距離．（1）證明：在中，由，得，在中，，而，由余弦定理，得，則，即，由，得，則，又平面，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）解：連接，由分別為的中點，得，由（1）得平面，由，得，則直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，由點在PD上，令，設平面的法向量，則，取，得，而平面的法向量，則，解得，于是，而，則點到平面的距離，所以點到平面的距離為.17.已知函數（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時成立．（1）解：函數，求導得，則，而，所以所求切線方程為.（2）證明：函數的定義域為，不等式，當時，，則，令函數，當時，，令函數，求導得，函數在上單調遞減，，；當時，，令，求導得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，而，則存在，使得，當或時，；當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，，則當時，；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，又，則；當時，，函數在上單調遞增，，因此，，則，所以當時，成立.18.已知雙曲線過點，其右焦點到漸近線的距離為1，過作與坐標軸都不垂直的直線交的右支于兩點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）為雙曲線C上一動點，過點分別作兩條漸近線平行線交漸近線于，四邊形OEPG的面積是否為定值？若是求出該定值，若不是請說明理由；（3）在軸上是否存在定點，使恒成立，若存在求出定點的坐標，若不存在請說明理由．解：（1）設雙曲線的標準方程為，右焦點，雙曲線的漸近線，點到漸近線的距離，又，解得，所以雙曲線的標準方程為.（2）雙曲線：的漸近線為，由在雙曲線上，得，即，過點與直線平行的直線方程為，由，解得，得交點，依題意，四邊形是平行四邊形，，點到直線的距離，所以四邊形的面積為定值