高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省郴州市2025屆高三下學(xué)期綜合性模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.馬拉松愛好者小麗月份每個(gè)月的跑步里程（單位：公里）如下表所示，則小麗7月份每個(gè)月的跑步里程的分位數(shù)為（）月份7月8月9月10月11月12月跑步里程310254220210248300A.210公里 B.251公里 C.254公里 D.248公里【答案】C【解析】將小麗月份每個(gè)月的跑步里程從小到大排列：.因?yàn)?，所以小麗月份每個(gè)月的跑步里程的分位數(shù)為254公里.故選：C.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，所以.故選：B.3.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，所以所求切線的斜率，所以所求切線的方程為，即.故選：B.4.定義：，其中為向量的夾角.若，則（）A.8 B.16 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?故選：B.5.給定一個(gè)數(shù)列，記，則把數(shù)列稱為的一階差數(shù)列.若數(shù)列的一階差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.556 B.557 C.292 D.291【答案】C【解析】根據(jù)題意，，則，即，又因?yàn)?，?故選：C.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn).若，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為，則.因?yàn)椋?，?因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，所以，得，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.7已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由，得，則，.故選：C.8.已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示.設(shè)函數(shù)，則（）A.B.C.在上單調(diào)遞減D.在處取得極大值【答案】B【解析】由圖可知、的分布如圖所示.易得當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，則，A錯(cuò)誤；由，得.當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，B正確；當(dāng)時(shí)，，則，所以，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，在處取得極小值，D錯(cuò)誤.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù)B.是增函數(shù)C.不等式的解集為D.若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】CD【解析】的大致圖象如圖所示：由圖象可知：的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在定義域內(nèi)不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；若，則或，即不等式的解集為，故C正確；令，則，原題意等價(jià)于與有2個(gè)交點(diǎn)，則，所以的取值范圍為，故D正確；故選：CD.10.已知某平面圖形由如圖所示的四個(gè)全等的等腰拼成，其中線段的中點(diǎn)均為點(diǎn)，且.若將該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周圍成的幾何體記為，將該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周圍成的幾何體記為，直線直線，則（）A.的體積為B.的表面積為C.經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)所有的運(yùn)動(dòng)軌跡總長為D.經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)所有的運(yùn)動(dòng)軌跡為兩個(gè)半圓【答案】AD【解析】過點(diǎn)作直線，垂足為，過點(diǎn)作直線，垂足為.由題意易得，所以，所以該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑為3的半圓，其長度為，該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑為的半圓，其長度為，所以經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡總長為，C錯(cuò)誤，D正確.為兩個(gè)圓臺挖去兩個(gè)圓錐，的體積為，A正確.為兩個(gè)大圓錐挖去兩個(gè)小圓錐，表面積為，B錯(cuò)誤.故選：AD11.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，設(shè)，則，因?yàn)?，即，整理可得得，將其看為關(guān)于的一元二次方程，則，解得，即，故A正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，故D正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，因?yàn)椋瑒t，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立所以，故C正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則__________.【答案】【解析】由題意得，則，所以，所以.故答案為：.13.如圖，這是一個(gè)平面圖形，現(xiàn)提供四種顏色給圖中的區(qū)域1?區(qū)域2?區(qū)域3?區(qū)域4?區(qū)域5?區(qū)域6共六個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則共有__________種不同的涂色方案．【答案】96【解析】若僅用三種顏色涂色，則區(qū)域1，6同色，區(qū)域2，4同色，區(qū)域3，5同色，共有種涂法；若用四種顏色涂色，則區(qū)域1，6，區(qū)域2，4，區(qū)域3，5中有一組不同色，則有3種情況，先從四種顏色中取兩種涂同色區(qū)，有種涂法，剩余兩種涂在不同區(qū)域，有2種涂法，共有種涂法；故總的涂色方案有種，故答案為：96．14.雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為是面積為的直角三角形，則雙曲線的實(shí)半軸長為__________.【答案】【解析】由題可知，點(diǎn)在第四象限，.設(shè).由，求得.因?yàn)椋?，求得，?由正弦定理可得：.設(shè)，得.由，得，則，，又，所以.故答案：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的長.解：（1）依題意可得，得.因?yàn)椋?，則，因?yàn)椋?，所以?）由題意得，解得（負(fù)根已舍去）.因?yàn)?，所以，所以由余弦定理可?16.某興趣小組調(diào)查了某校100名學(xué)生100米短跑成績的情況，其中有60名學(xué)生的短跑成績合格.這100名學(xué)生中有45名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)，60名短跑成績合格的學(xué)生中有35名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí).（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下表格，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以推斷學(xué)生短跑成績合格與每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān)？單位：人每周的鍛煉時(shí)間短跑成績合計(jì)短跑成績合格短跑成績不合格每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)合計(jì)（2）正確的跑步姿勢和起跑技巧等都可以讓跑步者更好地發(fā)揮自己的能力.現(xiàn)對短跑成績不合格的學(xué)生進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，已知每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績合格的概率為，每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績合格的概率為.用頻率代替概率，從短跑成績不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生（記為甲）進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，求學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績合格的概率.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）表格如下：單位：人每周的鍛煉時(shí)間短跑成績合計(jì)短跑成績合格短跑成績不合格每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)351045每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)253055合計(jì)6040100零假設(shè)為：學(xué)生短跑成績合格與每周鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績合格與每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān).（2）由（1）的列聯(lián)表可知，短跑成績不合格的學(xué)生共有40名，其每周鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)的有10人，不超過5小時(shí)的有30人.從短跑成績不合格的40名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，記為甲，設(shè)事件“甲參加跑步技巧培訓(xùn)后短跑成績合格”，事件“甲每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)”，“甲每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)”，用連列表中的數(shù)據(jù)計(jì)算頻率并替代概率后得又已知，由全概率公式可得，所以學(xué)生甲參加跑步技巧培訓(xùn)后短跑成績合格的概率為.17.已知橢圓過點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，線段交軸于點(diǎn)，線段交軸于點(diǎn)，且，求.解：（1）由題意得，將點(diǎn)及代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）從作軸的垂線，垂足分別為，由相似三角形可得，整理得，解得.方法一：因?yàn)椋?，即，即，所以，解得?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故或.方法二：設(shè)，由得，,化簡得，令，則，所以，得或（舍去），即.因?yàn)椋越獾没颍曰虍?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故或.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù).解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.（3）令，得，即，所以.令，則，即①，當(dāng)時(shí)，由，得在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故方程①的解的個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù).令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋?當(dāng)，即時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的解，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)或，即或時(shí)，方程①只有一個(gè)解，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，即時(shí)，方程①無解，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.綜上，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)或時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.19.空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成（其中均為常數(shù)，），為該平面的一個(gè)法向量.已知球的半徑為4，點(diǎn)均在球的球面上，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.平面內(nèi)的點(diǎn)在球面上，點(diǎn)在軸上的投影在軸的正半軸上，，過直線作球的截面，使得平面平面，設(shè)截面與球球面的交線為圓（為線段的中點(diǎn)）.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo).（2）若平面，證明：平面平面.（3）已知點(diǎn)在平面內(nèi)，設(shè)線段在平面內(nèi)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)弧度至，點(diǎn)在圓上，且，過作平面，垂足為點(diǎn).①用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；②若，求點(diǎn)到平面距離的最大值；③若，當(dāng)直線與平面所成的角最小時(shí)，求的值.（1）解：連接，過作，交于點(diǎn).根據(jù)題意易得為等邊三角形，所以，則，所以.（2）證明：連接，根據(jù)球的性質(zhì)可得平面，則即為平面的一個(gè)法向量.因?yàn)?，所?平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，故平面⊥平?（3）解：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作交于，則，，則，同理可得當(dāng)時(shí)，.②因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，則平面的一個(gè)法向量為.，點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.③易得平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)椋?設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則，則，當(dāng)，即時(shí)，最小，即直線與平面所成的角最小.湖南省郴州市2025屆高三下學(xué)期綜合性模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.馬拉松愛好者小麗月份每個(gè)月的跑步里程（單位：公里）如下表所示，則小麗7月份每個(gè)月的跑步里程的分位數(shù)為（）月份7月8月9月10月11月12月跑步里程310254220210248300A.210公里 B.251公里 C.254公里 D.248公里【答案】C【解析】將小麗月份每個(gè)月的跑步里程從小到大排列：.因?yàn)?，所以小麗月份每個(gè)月的跑步里程的分位數(shù)為254公里.故選：C.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，所以.故選：B.3.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，所以所求切線的斜率，所以所求切線的方程為，即.故選：B.4.定義：，其中為向量的夾角.若，則（）A.8 B.16 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所?故選：B.5.給定一個(gè)數(shù)列，記，則把數(shù)列稱為的一階差數(shù)列.若數(shù)列的一階差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A.556 B.557 C.292 D.291【答案】C【解析】根據(jù)題意，，則，即，又因?yàn)椋?故選：C.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切于點(diǎn).若，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為，則.因?yàn)椋?，?因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，所以，得，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.7已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由，得，則，.故選：C.8.已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示.設(shè)函數(shù)，則（）A.B.C.在上單調(diào)遞減D.在處取得極大值【答案】B【解析】由圖可知、的分布如圖所示.易得當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，則，A錯(cuò)誤；由，得.當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，B正確；當(dāng)時(shí)，，則，所以，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，在處取得極小值，D錯(cuò)誤.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù)B.是增函數(shù)C.不等式的解集為D.若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】CD【解析】的大致圖象如圖所示：由圖象可知：的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；在定義域內(nèi)不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；若，則或，即不等式的解集為，故C正確；令，則，原題意等價(jià)于與有2個(gè)交點(diǎn)，則，所以的取值范圍為，故D正確；故選：CD.10.已知某平面圖形由如圖所示的四個(gè)全等的等腰拼成，其中線段的中點(diǎn)均為點(diǎn)，且.若將該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周圍成的幾何體記為，將該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周圍成的幾何體記為，直線直線，則（）A.的體積為B.的表面積為C.經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)所有的運(yùn)動(dòng)軌跡總長為D.經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)所有的運(yùn)動(dòng)軌跡為兩個(gè)半圓【答案】AD【解析】過點(diǎn)作直線，垂足為，過點(diǎn)作直線，垂足為.由題意易得，所以，所以該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑為3的半圓，其長度為，該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑為的半圓，其長度為，所以經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡總長為，C錯(cuò)誤，D正確.為兩個(gè)圓臺挖去兩個(gè)圓錐，的體積為，A正確.為兩個(gè)大圓錐挖去兩個(gè)小圓錐，表面積為，B錯(cuò)誤.故選：AD11.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，設(shè)，則，因?yàn)椋?，整理可得得，將其看為關(guān)于的一元二次方程，則，解得，即，故A正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，故D正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，因?yàn)椋瑒t，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立所以，故C正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則__________.【答案】【解析】由題意得，則，所以，所以.故答案為：.13.如圖，這是一個(gè)平面圖形，現(xiàn)提供四種顏色給圖中的區(qū)域1?區(qū)域2?區(qū)域3?區(qū)域4?區(qū)域5?區(qū)域6共六個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則共有__________種不同的涂色方案．【答案】96【解析】若僅用三種顏色涂色，則區(qū)域1，6同色，區(qū)域2，4同色，區(qū)域3，5同色，共有種涂法；若用四種顏色涂色，則區(qū)域1，6，區(qū)域2，4，區(qū)域3，5中有一組不同色，則有3種情況，先從四種顏色中取兩種涂同色區(qū)，有種涂法，剩余兩種涂在不同區(qū)域，有2種涂法，共有種涂法；故總的涂色方案有種，故答案為：96．14.雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為是面積為的直角三角形，則雙曲線的實(shí)半軸長為__________.【答案】【解析】由題可知，點(diǎn)在第四象限，.設(shè).由，求得.因?yàn)?，所以，求得，?由正弦定理可得：.設(shè)，得.由，得，則，，又，所以.故答案：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的長.解：（1）依題意可得，得.因?yàn)椋裕瑒t，因?yàn)?，所以，所以?）由題意得，解得（負(fù)根已舍去）.因?yàn)椋?，所以由余弦定理可?16.某興趣小組調(diào)查了某校100名學(xué)生100米短跑成績的情況，其中有60名學(xué)生的短跑成績合格.這100名學(xué)生中有45名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)，60名短跑成績合格的學(xué)生中有35名學(xué)生每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí).（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下表格，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以推斷學(xué)生短跑成績合格與每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān)？單位：人每周的鍛煉時(shí)間短跑成績合計(jì)短跑成績合格短跑成績不合格每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)合計(jì)（2）正確的跑步姿勢和起跑技巧等都可以讓跑步者更好地發(fā)揮自己的能力.現(xiàn)對短跑成績不合格的學(xué)生進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，已知每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績合格的概率為，每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)的學(xué)生參加跑步技巧培訓(xùn)后，學(xué)生的短跑成績合格的概率為.用頻率代替概率，從短跑成績不合格的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生（記為甲）進(jìn)行跑步技巧培訓(xùn)，求學(xué)生甲參加培訓(xùn)后短跑成績合格的概率.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.010.0050.0016.6357.87910.828解：（1）表格如下：單位：人每周的鍛煉時(shí)間短跑成績合計(jì)短跑成績合格短跑成績不合格每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)351045每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)253055合計(jì)6040100零假設(shè)為：學(xué)生短跑成績合格與每周鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立.根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷不成立，即認(rèn)為學(xué)生短跑成績合格與每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)有關(guān).（2）由（1）的列聯(lián)表可知，短跑成績不合格的學(xué)生共有40名，其每周鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)的有10人，不超過5小時(shí)的有30人.從短跑成績不合格的40名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，記為甲，設(shè)事件“甲參加跑步技巧培訓(xùn)后短跑成績合格”，事件“甲每周的鍛煉時(shí)間超過5小時(shí)”，“甲每周的鍛煉時(shí)間不超過5小時(shí)”，用連列表中的數(shù)據(jù)計(jì)算頻率并替代概率后得又已知，由全概率公式可得，所以學(xué)生甲參加跑步技巧培訓(xùn)后短跑成績合格的概率為.17.已知橢圓過點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，線段交軸于點(diǎn)，線段交軸于點(diǎn)，且，求.解：（1）由題意得，將點(diǎn)及代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）從作軸的垂線，垂足分別為，由相似三角形可得，整理得，解得.方法一：因?yàn)椋?，即，即，所以，解得?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故或.方法二：設(shè)，由得，,化簡得，令，則，所以，得或（舍去），即.因?yàn)?，所以解得或，所以或?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故