高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省新鄉(xiāng)市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2（）A.16 B. C.32 D.【答案】A【解析】由.故選：A3.曲線的長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓弧，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，故曲線的長度為.4.已知，都是非零向量，定義新運(yùn)算，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，則或.當(dāng)時(shí)，未必成立；當(dāng)時(shí)，.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.曲率是用于描述曲線在某一點(diǎn)處彎曲程度的量，對(duì)于平面曲線，其曲率（是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)），曲率半徑是曲率的倒數(shù)，其表示與曲線在某點(diǎn)處具有相同彎曲程度圓的半徑.已知質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿曲率半徑為的曲線作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度的大小為.若該質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿形狀滿足的光滑軌道運(yùn)動(dòng)，則其在點(diǎn)處的向心加速度的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，所以，，則曲線在點(diǎn)處曲率，曲率半徑，故曲線在點(diǎn)處的向心加速度的大小為.故選：B.6.若為雙曲線：上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積為5，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，即，則，則，故的漸近線方程為.故選：C7.已知隨機(jī)變量，，則的最大值為（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所?由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，即最大值為.故選：D8.設(shè)是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，其中為常數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，，整理得，故.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】依題意可得，因?yàn)椋蔄正確；，故B錯(cuò)誤；由，可知點(diǎn)為對(duì)稱中心，由，可知在處取最小值，故C，D均正確.故選：ACD10.已知為曲線：上一點(diǎn)，，，，點(diǎn)到直線：，：，：的距離分別為，，，則（）A.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得B.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得C.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得D.僅存在一個(gè)點(diǎn)，使得且【答案】BC【解析】由，得，得或.是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故曲線上不存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得，是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，聯(lián)立與，得，或，所以僅存在兩個(gè)點(diǎn)，使得且，所以A、D錯(cuò)誤，B，C正確.故選：BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則（）A. B.是增函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】令，則，解得，故A正確；令，，則，故B錯(cuò)誤；由，可得，令，，則，即，所以，故，則，故C正確；因?yàn)?，所以，兩式相減，可得，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)，，且，則______.【答案】4【解析】依題意得，又，解得，，所以.故答案為：413.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的公差為，且是等差數(shù)列，則______.【答案】【解析】由題意，，所以，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則的通項(xiàng)是一次函數(shù)型，則能整理成完全平方型，所以，化簡得，所以，即.故答案為：.14.一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和記為，例如.用0，1，4，6，7，8組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)按照從小到大的順序排列為，則______，的平均數(shù)為______.【答案】①.8761②.【解析】用0，1，4，6，7，8組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的總個(gè)數(shù)為，其中最大的四位數(shù)為8764，所以.四位數(shù)含0時(shí)，后三位選一位填0有種，再選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，最后從余下的4個(gè)數(shù)字選2個(gè)填余下的兩位有種，所以1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，四位數(shù)不含0時(shí)，四位選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，從余下的4個(gè)數(shù)選3個(gè)填余下的三位有種，所以1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，綜上，1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，所以的平均數(shù)為.故答案為：8761，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.《九章算術(shù)·商功》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四面體中，平面，，且，，.（1）證明：四面體為鱉臑；（2）若直線平面，求直線與所成角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以，?又，且，平面，所以平面，又平面，則，所以四面體的四個(gè)面都為直角三角形，則四面體為鱉臑.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.由，得直線與所成角的余弦值為.16.如圖，點(diǎn)，，，，均在直線上，且，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)均從點(diǎn)出發(fā)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次都只能向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位長度，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)時(shí)向左移動(dòng)的概率均為，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均移動(dòng)2次.已知每個(gè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分如下表所示，設(shè)隨機(jī)變量為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分之和.積分0100200（1）求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0的概率；（2）求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)事件為“質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0”，由題意可知點(diǎn)兩次移動(dòng)后在點(diǎn)，又起點(diǎn)為點(diǎn)，即的移動(dòng)一次向左一次向右，所以.（2）的所有可能取值為，，0，200，400.，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為0200400.17.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，求內(nèi)切圓的半徑；（3）若為的垂心，且點(diǎn)在內(nèi)，直線與交于點(diǎn)，且，求的最大值.解：（1）因?yàn)?，所?由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所?（2）由（1）知，代入數(shù)據(jù)得.因?yàn)榈拿娣e，所以內(nèi)切圓的半徑.（3）如圖，設(shè)，，則，且.因?yàn)?，所?由正弦定理得，所以，所以，其中，故的最大值為.18.已知函數(shù).（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，證明：，；（3）若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.（1）解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，即的取值范圍為.（2）證明：若，則.設(shè)，則，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，則在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以，不等式得證.（3）解：.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，由（2）知，則，所以恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而有兩個(gè)極值點(diǎn).綜上，的取值范圍是.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，的最大值是最小值的3倍.（1）求橢圓的離心率；（2）若點(diǎn)不與橢圓的頂點(diǎn)重合，過作的切線，與軸交于點(diǎn)，求；（3）已知，是上兩個(gè)不同的點(diǎn)，過分別作直線，與相切，與的交點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.（附：橢圓以點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為）解：（1）設(shè)，則，，所以最大值為，最小值為，所以，解得，即橢圓的離心率為.（2）設(shè)點(diǎn)，，則，橢圓在點(diǎn)處的切線方程為.令，可得，即，，.，；（3）因?yàn)?，所以，，，的方程?設(shè)，，，則橢圓在點(diǎn)處的切線方程分別為，，則，，故直線的方程為.聯(lián)立可得，，，則.因?yàn)?，所以，解得，化簡可得，故?dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.河南省新鄉(xiāng)市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B.C. D.【答案】A【解析】.故選：A.2（）A.16 B. C.32 D.【答案】A【解析】由.故選：A3.曲線的長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓弧，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，故曲線的長度為.4.已知，都是非零向量，定義新運(yùn)算，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，則或.當(dāng)時(shí)，未必成立；當(dāng)時(shí)，.故“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.曲率是用于描述曲線在某一點(diǎn)處彎曲程度的量，對(duì)于平面曲線，其曲率（是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)），曲率半徑是曲率的倒數(shù)，其表示與曲線在某點(diǎn)處具有相同彎曲程度圓的半徑.已知質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿曲率半徑為的曲線作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度的大小為.若該質(zhì)點(diǎn)以恒定速率沿形狀滿足的光滑軌道運(yùn)動(dòng)，則其在點(diǎn)處的向心加速度的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，所以，，則曲線在點(diǎn)處曲率，曲率半徑，故曲線在點(diǎn)處的向心加速度的大小為.故選：B.6.若為雙曲線：上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積為5，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，即，則，則，故的漸近線方程為.故選：C7.已知隨機(jī)變量，，則的最大值為（）A.9 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，即最大值為.故選：D8.設(shè)是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)根，其中為常數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，，整理得，故.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ACD【解析】依題意可得，因?yàn)椋蔄正確；，故B錯(cuò)誤；由，可知點(diǎn)為對(duì)稱中心，由，可知在處取最小值，故C，D均正確.故選：ACD10.已知為曲線：上一點(diǎn)，，，，點(diǎn)到直線：，：，：的距離分別為，，，則（）A.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得B.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得C.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得D.僅存在一個(gè)點(diǎn)，使得且【答案】BC【解析】由，得，得或.是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故曲線上不存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得，是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，故有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，聯(lián)立與，得，或，所以僅存在兩個(gè)點(diǎn)，使得且，所以A、D錯(cuò)誤，B，C正確.故選：BC11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，則（）A. B.是增函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】令，則，解得，故A正確；令，，則，故B錯(cuò)誤；由，可得，令，，則，即，所以，故，則，故C正確；因?yàn)?，所以，兩式相減，可得，故，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)，，且，則______.【答案】4【解析】依題意得，又，解得，，所以.故答案為：413.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的公差為，且是等差數(shù)列，則______.【答案】【解析】由題意，，所以，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則的通項(xiàng)是一次函數(shù)型，則能整理成完全平方型，所以，化簡得，所以，即.故答案為：.14.一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和記為，例如.用0，1，4，6，7，8組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)按照從小到大的順序排列為，則______，的平均數(shù)為______.【答案】①.8761②.【解析】用0，1，4，6，7，8組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的總個(gè)數(shù)為，其中最大的四位數(shù)為8764，所以.四位數(shù)含0時(shí)，后三位選一位填0有種，再選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，最后從余下的4個(gè)數(shù)字選2個(gè)填余下的兩位有種，所以1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，四位數(shù)不含0時(shí)，四位選一位填1（同理填4，6，7，8）有種，從余下的4個(gè)數(shù)選3個(gè)填余下的三位有種，所以1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，綜上，1，4，6，7，8出現(xiàn)的次數(shù)均為次，所以的平均數(shù)為.故答案為：8761，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.《九章算術(shù)·商功》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在四面體中，平面，，且，，.（1）證明：四面體為鱉臑；（2）若直線平面，求直線與所成角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面，平面，所以，?又，且，平面，所以平面，又平面，則，所以四面體的四個(gè)面都為直角三角形，則四面體為鱉臑.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.由，得直線與所成角的余弦值為.16.如圖，點(diǎn)，，，，均在直線上，且，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)均從點(diǎn)出發(fā)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次都只能向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位長度，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)時(shí)向左移動(dòng)的概率均為，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均移動(dòng)2次.已知每個(gè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分如下表所示，設(shè)隨機(jī)變量為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分之和.積分0100200（1）求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0的概率；（2）求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)事件為“質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0”，由題意可知點(diǎn)兩次移動(dòng)后在點(diǎn)，又起點(diǎn)為點(diǎn)，即的移動(dòng)一次向左一次向右，所以.（2）的所有可能取值為，，0，200，400.，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為0200400.17.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若，，求內(nèi)切圓的半徑；（3）若為的垂心，且點(diǎn)在內(nèi)，直線與交于點(diǎn)，且，求的最大值.解：（1）因?yàn)椋?由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所?（2）由（1）知，代入數(shù)據(jù)得.因?yàn)?/p>