高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測二數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于集合，，化簡得，所以.所以集合.對于集合，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.所以集合.所以.故選：A.2.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為.故選：D3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，又在上為增函數(shù)，所以，綜上，，故選：D4.已知的展開式中，第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的系數(shù)相等，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】由，根據(jù)題意有，由組合數(shù)的性質(zhì)有.故選：B.5.已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋鞒龊瘮?shù)圖象，如圖，由圖象可知，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故A正確；圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；令，則，故D錯(cuò)誤.故選：A6.在矩形中，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F．設(shè)，其中分別是與方向相同的單位向量，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在矩形中，因?yàn)辄c(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，所以，則有，因?yàn)椋謩e是與方向相同的單位向量,所以，則，又因?yàn)椋裕蔬x：B.7.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，得，解得或，由，得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，可得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，又由，因?yàn)椋渲校魰r(shí)，，其中，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，又由，且，即不恒成立，所以C正確，A不正確；若時(shí)，，其中，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以不恒成立，又由，，此時(shí)，所以不恒成立，所以B、D均不正確.故選：C.9.金剛石是由碳元素組成的單質(zhì)，具有極高的硬度，在工業(yè)中有廣泛的應(yīng)用，如圖1所示，組成金剛石的每個(gè)碳原子都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度，可以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D處，中間的碳原子處于與這4個(gè)碳原子距離都相等的位置（點(diǎn)E處），如圖2所示，設(shè)，則E到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】沿四面體的兩條側(cè)棱和高，切出一塊幾何體如下圖，O是頂點(diǎn)A在下底面的射影，E是正四面外接球的球心，AO是正四面體的高，OB是下底面的外接圓半徑，是球的半徑，則，解得，在中，，在中，，即，即，解得，所以，由于到正四面體各面的距離相等，則E到平面的距離為.故選：C10.設(shè)無窮數(shù)列的前n項(xiàng)和為，定義，則（）A當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，則D.當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】對于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，不正確；對于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，在為奇數(shù)時(shí)為1，偶數(shù)時(shí)為0，故，不正確；對于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，又，所以，不正確；對于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，正確，故選：D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若復(fù)數(shù)z滿足，則__________．【答案】【解析】因?yàn)椋裕?故答案為：12.已知等差數(shù)列滿足，則__________；設(shè)為的前項(xiàng)和，則使的的最小值為__________．【答案】①.0②.7【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得到，解得，所以，則，又，得到或（舍），又，所以使的的最小值為，故答案為：，.13.在中，，且，則__________；面積的最大值為__________．【答案】①.②.【解析】在中，由，得，而，所以；的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以面積的最大值為.故答案為：；14.若直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的一個(gè)取值為__________．【答案】3（答案不唯一）【解析】的漸近線為，且焦點(diǎn)在軸上，由題知：，因，解得，所以離心率，故離心率的一個(gè)取值可以為3.故答案為：3(答案不唯一).15.設(shè)，過原點(diǎn)的直線（不與軸重合）與圓交于點(diǎn)P與直線交于點(diǎn)．過點(diǎn)作軸的平行線，過點(diǎn)作軸的垂線，這兩條直線交于點(diǎn)，稱為的箕舌線函數(shù)，記作，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；②若，則；③設(shè)函數(shù)，則的最大值為；④設(shè)函數(shù)，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①③【解析】圓的圓心在軸上，設(shè)圓與的另一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)縱坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)也滿足，所以，對任意的，，所以的定義域?yàn)椋瑢τ诿}①，因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，故①正確；對于命題②，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，若，則，所以②錯(cuò)誤，對于命題③，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，故③正確，對于命題④，，令，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以④錯(cuò)誤，故答案為：①③.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，再從條件①、條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一，求在區(qū)間上的最大值和最小值．條件①：在區(qū)間上單調(diào)遞增；條件②：的最大值為；條件③：為偶函數(shù)．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由題意得，所以的最小正周期，由，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）選擇條件①：由題意得．由（1）可知的單調(diào)遞增區(qū)間為．由在區(qū)間上單調(diào)遞增，得解得．又因?yàn)椋裕畯亩嬖谇椅ㄒ唬?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．選擇條件②：由題意得，函數(shù)最大值為，則只需，由于，故的取值不唯一，故不符合題意，即不能選擇條件②；選擇條件③：由題意得．由為偶函數(shù)可知，解得．又因?yàn)椋裕畯亩嬖谇椅ㄒ唬?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值；當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．17.如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让妫瑐?cè)面是邊長為4的菱形，．（1）求證：側(cè)面為矩形；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危遥詾檎切危瑥亩驗(yàn)椋裕O(shè)中點(diǎn)為D，連接，則．又，所以．因?yàn)榈酌鎮(zhèn)让妫酌鎮(zhèn)让妫瑐?cè)面，所以底面，而平面．所以．又，平面，平面，所以平面，而平面，所以又因?yàn)閭?cè)面為平行四邊形，所以側(cè)面為矩形．（2）解：由（1）可知平面，所以．所以兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以．設(shè)平面的法向量為，則即令，則．所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以因此，直線與平面所成角的正弦值為．18.某電商平臺(tái)為了解用戶對配送服務(wù)的滿意度，分別從A地區(qū)和B地區(qū)隨機(jī)抽取了500名和100名用戶進(jìn)行問卷評分調(diào)查，將評分?jǐn)?shù)據(jù)按，，…，分組整理得到如下頻率分布直方圖：（1）從A地區(qū)抽取的500名用戶中隨機(jī)抽取一名，求該用戶評分不低于60分的概率；（2）從B地區(qū)評分為的樣本中隨機(jī)抽取兩名，記評分不低于90分的用戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，設(shè)A地區(qū)評分的平均值估計(jì)為，A，B兩地區(qū)評分的平均值估計(jì)為，比較與的大小關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）解：（1）設(shè)事件M：從A地區(qū)抽取500名用戶中隨機(jī)抽取一名，該用戶評分不低于．由頻率分布直方圖可知A地區(qū)抽取的500名用戶中評分不低于的人數(shù)為，所以．（2）B地區(qū)評分為的樣本用戶共有人，其中評分不低于的人數(shù)為5人．由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2．，，．所以X的分布列為：X012P則X的數(shù)學(xué)期望（3）．19.已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線與直線交于點(diǎn)N，若（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的值．解：（1）由題意得解得所以橢圓E的方程為．（2）由得．由得．又，所以．設(shè)，則．不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B上方，因?yàn)椋郑藭r(shí)，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，所以．由題可知直線和的斜率都存在，分別設(shè)為和，則．因?yàn)椋裕矗傻茫裕淼茫郑?0.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；（3）若存在極值點(diǎn)，且，求的值．解：（1）若，則，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.（2）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，①若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；②若，即時(shí)，，所以存在唯一的使得，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；綜上，的取值范圍為.（3）由題意可得即，所以，即（*），設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又（*）等價(jià)于，所以，所以．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，存在極大值點(diǎn)且，符合題意，所以．21.已知是無窮正整數(shù)數(shù)列，且對任意的，其中表示有窮集合S的元素個(gè)數(shù)．（1）若，求所有可能取值；（2）求證：數(shù)列中存在等于1的項(xiàng)；（3）求證：存在，使得集合為無窮集合．（1）解：因?yàn)椋瑒t中與相等的數(shù)有且僅有2個(gè)，除去本身，中與相等的數(shù)有且只有1個(gè)，∴或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的所有可能取值為2，3．（2）證明：假設(shè)中不存在等于1的項(xiàng),則．又，所以．當(dāng)時(shí)，由，則存在，使得．所以，與假設(shè)矛盾．當(dāng)時(shí)，由，則存在，使得,且中有且只有一項(xiàng)與相等.①若中有兩項(xiàng)為2，一項(xiàng)為3，則，與假設(shè)矛盾．②若中有兩項(xiàng)為2，一項(xiàng)為，則，與假設(shè)矛盾．③若中有一項(xiàng)為2，兩項(xiàng)為3，則，與假設(shè)矛盾．④若中有一項(xiàng)為2，兩項(xiàng)為，則，矛盾．綜上，假設(shè)不成立，所以中存在等于1的項(xiàng)．（3）證明：假設(shè)均為有限集合，當(dāng)時(shí)，,則當(dāng)時(shí)，（*）令,下證當(dāng)時(shí)，.否則假設(shè)n0=minn∈N*|∴當(dāng)時(shí)，,∵已知數(shù)列是無窮正整數(shù)數(shù)列，所以存在，使得集合為無窮集合，矛盾，∴假設(shè)錯(cuò)誤，∴存在，使得集合為無窮集合．北京市朝陽區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測二數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對于集合，，化簡得，所以.所以集合.對于集合，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.所以集合.所以.故選：A.2.若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為.故選：D3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，又在上為增函數(shù)，所以，綜上，，故選：D4.已知的展開式中，第4項(xiàng)和第6項(xiàng)的系數(shù)相等，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】由，根據(jù)題意有，由組合數(shù)的性質(zhì)有.故選：B.5.已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋鞒龊瘮?shù)圖象，如圖，由圖象可知，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故A正確；圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；令，則，故D錯(cuò)誤.故選：A6.在矩形中，，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F．設(shè)，其中分別是與方向相同的單位向量，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在矩形中，因?yàn)辄c(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，所以，則有，因?yàn)椋謩e是與方向相同的單位向量,所以，則，又因?yàn)椋裕蔬x：B.7.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，得，解得或，由，得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.8.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，可得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，又由，因?yàn)椋渲校魰r(shí)，，其中，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以，又由，且，即不恒成立，所以C正確，A不正確；若時(shí)，，其中，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以不恒成立，又由，，此時(shí)，所以不恒成立，所以B、D均不正確.故選：C.9.金剛石是由碳元素組成的單質(zhì)，具有極高的硬度，在工業(yè)中有廣泛的應(yīng)用，如圖1所示，組成金剛石的每個(gè)碳原子都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度，可以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D處，中間的碳原子處于與這4個(gè)碳原子距離都相等的位置（點(diǎn)E處），如圖2所示，設(shè)，則E到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】沿四面體的兩條側(cè)棱和高，切出一塊幾何體如下圖，O是頂點(diǎn)A在下底面的射影，E是正四面外接球的球心，AO是正四面體的高，OB是下底面的外接圓半徑，是球的半徑，則，解得，在中，，在中，，即，即，解得，所以，由于到正四面體各面的距離相等，則E到平面的距離為.故選：C10.設(shè)無窮數(shù)列的前n項(xiàng)和為，定義，則（）A當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，則D.當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】對于A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，不正確；對于B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，在為奇數(shù)時(shí)為1，偶數(shù)時(shí)為0，故，不正確；對于C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，又，所以，不正確；對于D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，正確，故選：D.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若復(fù)數(shù)z滿足，則__________．【答案】【解析】因?yàn)椋裕?故答案為：12.已知等差數(shù)列滿足，則__________；設(shè)為的前項(xiàng)和，則使的的最小值為__________．【答案】①.0②.7【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得到，解得，所以，則，又，得到或（舍），又，所以使的的最小值為，故答案為：，.13.在中，，且，則__________；面積的最大值為__________．【答案】①.②.【解析】在中，由，得，而，所以；的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以面積的最大值為.故答案為：；14.若直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的一個(gè)取值為__________．【答案】3（答案不唯一）【解析】的漸近線為，且焦點(diǎn)在軸上，由題知：，因，解得，所以離心率，故離心率的一個(gè)取值可以為3.故答案為：3(答案不唯一).15.設(shè)，過原點(diǎn)的直線（不與軸重合）與圓交于點(diǎn)P與直線交于點(diǎn)．過點(diǎn)作軸的平行線，過點(diǎn)作軸的垂線，這兩條直線交于點(diǎn)，稱為的箕舌線函數(shù)，記作，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；②若，則；③設(shè)函數(shù)，則的最大值為；④設(shè)函數(shù)，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①③【解析】圓的圓心在軸上，設(shè)圓與的另一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)縱坐標(biāo)為，此時(shí)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)也滿足，所以，對任意的，，所以的定義域?yàn)椋瑢τ诿}①，因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，故①正確；對于命題②，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，若，則，所以②錯(cuò)誤，對于命題③，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，故③正確，對于命題④，，令，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以④錯(cuò)誤，故答案為：①③.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，再從條件①、條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在且唯一，求在區(qū)間上的最大值和最小值．條件①：在區(qū)間上單調(diào)遞增；條件②：的最大值為；條件③：為偶函數(shù)．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由題意得，所以的最小正周期，由，得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）選擇條件①：由題意得．由（1）可知的單調(diào)遞增區(qū)間為．由在區(qū)間上單調(diào)遞增，得解得．又因?yàn)椋裕畯亩嬖谇椅ㄒ唬?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．選擇條件②：由題意得，函數(shù)最大值為，則只需，由于，故的取值不唯一，故不符合題意，即不能選擇條件②；選擇條件③：由題意得．由為偶函數(shù)可知，解得．又因?yàn)椋裕畯亩嬖谇椅ㄒ唬?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值；當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．17.如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让妫瑐?cè)面是邊長為4的菱形，．（1）求證：側(cè)面為矩形；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危遥詾檎切危瑥亩驗(yàn)椋裕O(shè)中點(diǎn)為D，連接，則．又，所以．因?yàn)榈酌鎮(zhèn)让妫酌鎮(zhèn)让妫瑐?cè)面，所以底面，而平面．所以．又，平面，平面，所以平面，而平面，所以又因?yàn)閭?cè)面為平行四邊形，所以側(cè)面為矩形．（2）解：由（1）可知平面，所以．所以兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以．設(shè)平面的法向量為，則即令，則．所以．設(shè)直線與平面所成角為，所以因此，直線與平面所成角的正弦值為．18.某電商平臺(tái)為了解用戶對配送服務(wù)的滿意度，分別從A地區(qū)和B地區(qū)隨機(jī)抽取了500名和100名用戶進(jìn)行問卷評分調(diào)查，將評分?jǐn)?shù)據(jù)按，，…，分組整理得到如下頻率分布直方圖：（1）從A地區(qū)抽取的500名用戶中隨機(jī)抽取一名，求該用戶評分不低于60分的概率；（2）從B地區(qū)評分為的樣本中隨機(jī)抽取兩名，記評分不低于90分的用戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，設(shè)A地區(qū)評分的平均值估計(jì)為，A，B兩地區(qū)評分的平均值估計(jì)為，比較與的大小關(guān)系．（直接寫出結(jié)論）解：（1）設(shè)事件M：從A地區(qū)抽取500名用戶中隨機(jī)抽取一名，該用戶評分不低于．由頻率分布直方圖可知A地區(qū)抽取的500名用戶中評分不低于的人數(shù)為，所以．（2）B地區(qū)評分為的樣本用戶共有人，其中評分不低于的人數(shù)為5人．由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2．，，．所以X的分布列為：X012P則X的數(shù)學(xué)期望（3）．19.已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線與直線交于點(diǎn)N，若（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的值．解：（1）由題意得解得所以橢圓E的方程為