高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省部分優質高中2025屆高中畢業班5月質量檢測數學試卷一、單選題1．已知集合A=xx+1≤1，集合B=x∣xA．-2,2 B．-2,2 C．-1,0 D．-2,-1【答案】A【解析】集合A=xx+1≤1所以A∪B=x故選：A.2．已知復數z滿足z+2z=9+i，則z=A．1+3i B．3+i C．3-i【答案】C【解析】設復數z=a+bia,b∈R所以z+2z則3a=9-b=1，解得a=3b=-1.所以故選：C.3．已知cosα+β=23，cosα-βA．-3 B．-13 C．-1【答案】B【解析】coscosα-β聯立可得cosα所以tanα故選：B4．直線mx-y+1-3m=0（其中m∈R）被圓x-22+A．2 B．23 C．22 D【答案】B【解析】因為mx-y+1-3m=0可化為m(x-3)-y+1=0，所以直線恒過定點M3,1由圓x-22+y-22=5由圓的幾何性質知，當MC與直線垂直時，直線被圓所截得弦最短，此時弦長為2r故選：B5．今年暑期檔推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《解密》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍與金剛狼》，甲和乙兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看.若兩人所選的影片恰有一部相同，且甲一定選《抓娃娃》，則兩位同學不同的觀影方案種數為（

）A．24 B．28 C．36 D．12【答案】A【解析】若兩人所選影片中，《抓娃娃》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有A4若兩人所選影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片為4部中1部，有C4再給乙從剩余3部中選擇一部，有C31種選擇，故共有綜上，共有12+12=24種方案.故選：A.6．已知函數fx=23A．函數fx的最小正周期為B．函數fx關于點-C．函數y=fx的圖象向左平移π6個單位，得到的函數圖象關于D．函數gx=fx-ax在π【答案】D【解析】函數fx對于A選項：∵ω=2，∴T=2πω對于B選項：令2x+π6=kπk∈Z，解得x=-對于C選項：平移后的函數hx=fx+π6=2sin對于D選項：g'x=f'∴g'x∈-4-a,2-a，要想函數不單調，則-4-a<0<2-a，∴a∈故選：D7．2024年國家公務員考試筆試已于2023年11月25日結束，公共科目包括行政職業能力測驗和申論兩科，滿分均為100分，行政職業能力測驗中，考生成績X服從正態分布N75,σ2.若P60≤X≤90=35，則從參加這次考試的考生中任意選取3A．9125 B．13125 C．44125【答案】B【解析】因考生成績服從正態分布N75,所以P(X>90)=1-P故任意選取3名考生，至少有2名考生的成績高于90的概率為P=C故選：B.8．我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規律一直操作下去．若經過n次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于99100，則n的最小值為（

（參考數據：lg2≈0.301，lgA．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】第1次操作，去掉的線段長度為13；第2次操作，去掉的線段長度為29；第3次操作，去掉的線段長度為427，依次類推，可知第n即每次去掉的線段長度成等比數列，∴第n次后，去掉的線段長度總和為13由1-23n>99∴n的最小值為12.故選：D.二、多選題9．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是線段A1B，B1C1上的點，且BM=2A1MA．AB與B1CB．MNC．MND．MN【答案】BCD【解析】對于A，∵AB=AC=1，∠BAC=90o，∴∠ABC=45o，所以AB與BC的夾角為所以AB與B1C1的夾角為135對于B，因為BM=2A1M所以A1A1∴MN?=對于C，∵a=b=c∴a?b=0，∴MN∴MN=5對于D，MN?∴MN⊥BC，故故選：BCD.10．已知橢圓x216+y29=1的左，右焦點為F1，F2，A，BA．存在點P使得∠B．△PF1C．直線PA與直線PB的斜率乘積為9D．1PF【答案】BD【解析】橢圓x216+y29=1，則a=4，b=3對于A：當P在橢圓的短軸頂點時∠F不妨取P0,3，此時P所以∠F1PF2為銳角，所以不存在點P對于B：因為PF1+PF2=2a=8，F對于C：因為A-4,0，B4,0，設Px,y則kPA?k對于D：因為PF所以1=1當且僅當PF2PF1故選：BD11．已知函數fx=ex-x-1，gA．fx和gB．若hx>a恒成立，則整數aC．若s、t均大于1，則hD．關于x的方程fx+kgx【答案】BCD【解析】對于A選項，設直線y=kx+m為函數fx和g設直線y=kx+m切函數fx于點x1,ex因為fx=ex-x-1切線方程為y-ex1因為gx=lnx-x+1，則切線方程為y-lnx2所以，ex1-1=1x2-11-x所以，fx和gx的圖象有且只有兩條公切線，對于B選項，若hx>a，則因為函數hx=fx-gx因為函數y=ex、y=-1x在0,+∞因為h'12所以，存在x0∈12,1，使得h且當0<x<x0時，h'x<0所以，函數hx的減區間為0,x0所以，hx由對勾函數的單調性可知，函數y=x+1x-2所以，hx由題意可得a<hxmin，故整數a的最大值為0，對于C選項，h==e因為s、t∈1,+∞，則0<1s<1所以，et所以，hs+t>hs對于D選項，當1<x<e時，fx=所以，函數fx在1,e上單調遞增，則gx=lnx-x+1，則所以，gx在1,e單調遞減，則當k<0時，對任意的x∈1,e，所以，關于x的方程fx+kgx=0k<0在區間故選：BCD.三、填空題12．x2+3x+22x+15【答案】113【解析】因為x(x+1)7展開式中含常數，x,x2而x+22的展開式為x所以x2+3x+22x+15故答案為：11313．在邊長為8×5cm的長方形鐵片的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的長方體箱子，則箱子容積的最大值為cm【答案】18【解析】設小正方形的邊長為x，依題意，箱子容積Vx由8-2x>05-2x>0x>0，解得0<x<2.5，所以Vx則V'所以Vx在區間0,1在區間1,2.5,所以當x=1cm時，Vx取到最大值，且最大值為故答案為：1814．已知菱形ABCD的各邊長為2，∠D=60°．如圖所示，將△ACD沿AC折起，使得點D到達點S的位置，連接SB，得到三棱錐S-ABC，此時SB=3．則三棱錐S-ABC的體積為，E是線段SA的中點，點F在三棱錐S-ABC的外接球上運動，且始終保持EF⊥AC，則點F的軌跡的周長為．【答案】32【解析】取AC中點M，則AC⊥BM,AC⊥SM,BM∩SM=M，BM,SM?平面SMB,∴AC⊥平面SMB，SM=MB=3，又SB=3∴∠SBM=∠MSB=30則三棱錐S-ABC的高h=sin三棱錐S-ABC體積為V=1作EH⊥AC于H，設點F軌跡所在平面為則平面α經過點H且AC⊥α，設三棱錐S-ABC外接球的球心為O,△SAC,△BAC的中心分別為O1易知OO1⊥平面SAC,OO2由題可得∠OMO1=解Rt△OO1M，得O則三棱錐S-ABC外接球半徑r=O易知O到平面α的距離d=MH=1故平面α截外接球所得截面圓的半徑為r1∴截面圓的周長為l=2πr1=5故答案為：32；5四、解答題15．若數列{an}的前n項和為Sn，且（1）求數列{a（2）若bn=an3n，數列{b（1）解：當n=1時，a12-2因為an2-2Sn兩式作差得：an即an2-又因為an>0，所以a所以an（2）證明：由（1）可知，bn故Tn13兩式作差得：23Tn所以Tn=14(3-16．已知函數f(x)=1（1）討論f(x)的單調性；（2）當a<0時f(x)≤b-ln(-a)-a恒成立，求實數b解：（1）函數f(x)的定義域為(0,+∞)，求導得當a≤0時，由f'(x)>0，得0<x<1；由f'函數f(x)在0,1上單調遞增，在(1,+∞當0<a<1時，由f'(x)>0，得0<x<1或x>1a；由函數f(x)在(0,1),(1a,+當a=1時，f'(x)≥0恒成立，函數f(x)在當a>1時，由f'(x)>0，得0<x<1a或x>1；由函數f(x)在(0,1a),(1,+所以當a≤0時，函數f(x)的遞增區間為(0,1)，遞減區間為(1,+∞當0<a<1時，函數f(x)的遞增區間為(0,1),(1a,+當a=1時，函數f(x)的遞增區間為(0,+∞當a>1時，函數f(x)的遞增區間為(0,1a),(1,+（2）由（1）知當a<0時，函數f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞則f(x)依題意，b-ln(-a)-a≥-1-a令函數g(a)=ln(-a)-1+a2當a<-2時，g'(a)>0，當-2<a<0時，g'(a)<0，函數g(a)在即g(a)max=g(-2)=所以b最小值為ln2-217．如圖，在體積為14的四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=2A1B（1）證明：CC1⊥（2）求平面DB1C1（1）證明：由已知得AC=43設OO1=h，上底面A1B1∴14=13S∵OC∴OC2=12=O∵OO1⊥平面ABCD,BD?又∵AC⊥BD,OO1∩AC=O,∴BD⊥平面AC∵OC1,BD?平面BDC1（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則由（1）知B1∴B設平面OB1C則m令x=3，則y=1,z=-1,∴設平面DB1C則n令a=3，則b=1,c=-3,∴設平面DB1C1與平面則cosθ=∴平面DB1C1與平面18．已知雙曲線C:x2a2-y2b（1）求C的方程；（2）過點Q2,0的直線l交雙曲線C于M，N兩點（ⅰ）若l與C的漸近線交于點A，B，且S△OABS△OMN=4（ⅱ）記MQ=λQN，若點R滿足MR=-λRN解：（1）由雙曲線C:x2a2-因為雙曲線C經過點2,1，可得4a又因為右頂點到漸近線y=bax的距離為6聯立方程組，解得a=2,b=1，所以雙曲線C的方程為（2）（ⅰ）由雙曲線C:x22-y設直線l的方程為x=my+2，且M(x聯立方程組x=my+2x22則m2-2≠0且Δ=(4m)可得y1則y1即y1-y聯立方程組x=my+2x±2y=0所以S△OAB因為S△OABS△OMN=4所以直線l的方程為x=±12y+2，即2x+y-4=0（ⅱ）設R(x,y)，由MQ=λQN，可得(2-x因為M,N在曲線C上，可得x122解得x2=又由MR=-λRN，可得即x-x1=-λ(將x1=12+因為λ≠1，可得x=1，所以點R的軌跡方程為x=1.19．在三維空間中，單位立方體的頂點坐標可用三維坐標a1,a2,a3表示，其中ai∈0,11≤i≤3,i∈N.而在n維空間中n≥2,n∈N，以單位立方體的頂點坐標可表示為n（1）在3維單位立方體中任取兩個不同頂點，試求所取兩點的曼哈頓距離為1的概率；（2）在nn≥2維單位立方體中任取兩個不同頂點，記隨機變量X（i）求出X的分布列與期望；（ii）證明：隨機變量X的方差小于n4解：（1）記“所取兩點的曼哈頓距離為1為事件A”，則P答：所取兩點的曼哈頓距離為1的概率為37（2）（i）對于X=k的隨機變量，在坐標a1,a2,a3,???,an與此時所對應情況數為Cnk?2故分布列為：X12…nPCC…C數學期望E倒序相加得EX即EX（ii）DX設(1+x)n兩邊求導得，n(1+x)兩邊乘以x后得，nx(1+x)兩邊求導得，n(1+x)令x=1得，Cn所以D=n福建省部分優質高中2025屆高中畢業班5月質量檢測數學試卷一、單選題1．已知集合A=xx+1≤1，集合B=x∣xA．-2,2 B．-2,2 C．-1,0 D．-2,-1【答案】A【解析】集合A=xx+1≤1所以A∪B=x故選：A.2．已知復數z滿足z+2z=9+i，則z=A．1+3i B．3+i C．3-i【答案】C【解析】設復數z=a+bia,b∈R所以z+2z則3a=9-b=1，解得a=3b=-1.所以故選：C.3．已知cosα+β=23，cosα-βA．-3 B．-13 C．-1【答案】B【解析】coscosα-β聯立可得cosα所以tanα故選：B4．直線mx-y+1-3m=0（其中m∈R）被圓x-22+A．2 B．23 C．22 D【答案】B【解析】因為mx-y+1-3m=0可化為m(x-3)-y+1=0，所以直線恒過定點M3,1由圓x-22+y-22=5由圓的幾何性質知，當MC與直線垂直時，直線被圓所截得弦最短，此時弦長為2r故選：B5．今年暑期檔推出多部精彩影片，其中比較熱門的有《解密》，《名偵探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍與金剛狼》，甲和乙兩位同學準備從這5部影片中各選2部觀看.若兩人所選的影片恰有一部相同，且甲一定選《抓娃娃》，則兩位同學不同的觀影方案種數為（

）A．24 B．28 C．36 D．12【答案】A【解析】若兩人所選影片中，《抓娃娃》相同，則兩人從剩余4部中各選1部，有A4若兩人所選影片中，不是《抓娃娃》相同，相同的影片為4部中1部，有C4再給乙從剩余3部中選擇一部，有C31種選擇，故共有綜上，共有12+12=24種方案.故選：A.6．已知函數fx=23A．函數fx的最小正周期為B．函數fx關于點-C．函數y=fx的圖象向左平移π6個單位，得到的函數圖象關于D．函數gx=fx-ax在π【答案】D【解析】函數fx對于A選項：∵ω=2，∴T=2πω對于B選項：令2x+π6=kπk∈Z，解得x=-對于C選項：平移后的函數hx=fx+π6=2sin對于D選項：g'x=f'∴g'x∈-4-a,2-a，要想函數不單調，則-4-a<0<2-a，∴a∈故選：D7．2024年國家公務員考試筆試已于2023年11月25日結束，公共科目包括行政職業能力測驗和申論兩科，滿分均為100分，行政職業能力測驗中，考生成績X服從正態分布N75,σ2.若P60≤X≤90=35，則從參加這次考試的考生中任意選取3A．9125 B．13125 C．44125【答案】B【解析】因考生成績服從正態分布N75,所以P(X>90)=1-P故任意選取3名考生，至少有2名考生的成績高于90的概率為P=C故選：B.8．我們可以用下面的方法在線段上構造出一個特殊的點集：如圖，取一條長度為1的線段，第1次操作，將該線段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規律一直操作下去．若經過n次這樣的操作后，去掉的所有線段的長度總和大于99100，則n的最小值為（

（參考數據：lg2≈0.301，lgA．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】第1次操作，去掉的線段長度為13；第2次操作，去掉的線段長度為29；第3次操作，去掉的線段長度為427，依次類推，可知第n即每次去掉的線段長度成等比數列，∴第n次后，去掉的線段長度總和為13由1-23n>99∴n的最小值為12.故選：D.二、多選題9．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是線段A1B，B1C1上的點，且BM=2A1MA．AB與B1CB．MNC．MND．MN【答案】BCD【解析】對于A，∵AB=AC=1，∠BAC=90o，∴∠ABC=45o，所以AB與BC的夾角為所以AB與B1C1的夾角為135對于B，因為BM=2A1M所以A1A1∴MN?=對于C，∵a=b=c∴a?b=0，∴MN∴MN=5對于D，MN?∴MN⊥BC，故故選：BCD.10．已知橢圓x216+y29=1的左，右焦點為F1，F2，A，BA．存在點P使得∠B．△PF1C．直線PA與直線PB的斜率乘積為9D．1PF【答案】BD【解析】橢圓x216+y29=1，則a=4，b=3對于A：當P在橢圓的短軸頂點時∠F不妨取P0,3，此時P所以∠F1PF2為銳角，所以不存在點P對于B：因為PF1+PF2=2a=8，F對于C：因為A-4,0，B4,0，設Px,y則kPA?k對于D：因為PF所以1=1當且僅當PF2PF1故選：BD11．已知函數fx=ex-x-1，gA．fx和gB．若hx>a恒成立，則整數aC．若s、t均大于1，則hD．關于x的方程fx+kgx【答案】BCD【解析】對于A選項，設直線y=kx+m為函數fx和g設直線y=kx+m切函數fx于點x1,ex因為fx=ex-x-1切線方程為y-ex1因為gx=lnx-x+1，則切線方程為y-lnx2所以，ex1-1=1x2-11-x所以，fx和gx的圖象有且只有兩條公切線，對于B選項，若hx>a，則因為函數hx=fx-gx因為函數y=ex、y=-1x在0,+∞因為h'12所以，存在x0∈12,1，使得h且當0<x<x0時，h'x<0所以，函數hx的減區間為0,x0所以，hx由對勾函數的單調性可知，函數y=x+1x-2所以，hx由題意可得a<hxmin，故整數a的最大值為0，對于C選項，h==e因為s、t∈1,+∞，則0<1s<1所以，et所以，hs+t>hs對于D選項，當1<x<e時，fx=所以，函數fx在1,e上單調遞增，則gx=lnx-x+1，則所以，gx在1,e單調遞減，則當k<0時，對任意的x∈1,e，所以，關于x的方程fx+kgx=0k<0在區間故選：BCD.三、填空題12．x2+3x+22x+15【答案】113【解析】因為x(x+1)7展開式中含常數，x,x2而x+22的展開式為x所以x2+3x+22x+15故答案為：11313．在邊長為8×5cm的長方形鐵片的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個無蓋的長方體箱子，則箱子容積的最大值為cm【答案】18【解析】設小正方形的邊長為x，依題意，箱子容積Vx由8-2x>05-2x>0x>0，解得0<x<2.5，所以Vx則V'所以Vx在區間0,1在區間1,2.5,所以當x=1cm時，Vx取到最大值，且最大值為故答案為：1814．已知菱形ABCD的各邊長為2，∠D=60°．如圖所示，將△ACD沿AC折起，使得點D到達點S的位置，連接SB，得到三棱錐S-ABC，此時SB=3．則三棱錐S-ABC的體積為，E是線段SA的中點，點F在三棱錐S-ABC的外接球上運動，且始終保持EF⊥AC，則點F的軌跡的周長為．【答案】32【解析】取AC中點M，則AC⊥BM,AC⊥SM,BM∩SM=M，BM,SM?平面SMB,∴AC⊥平面SMB，SM=MB=3，又SB=3∴∠SBM=∠MSB=30則三棱錐S-ABC的高h=sin三棱錐S-ABC體積為V=1作EH⊥AC于H，設點F軌跡所在平面為則平面α經過點H且AC⊥α，設三棱錐S-ABC外接球的球心為O,△SAC,△BAC的中心分別為O1易知OO1⊥平面SAC,OO2由題可得∠OMO1=解Rt△OO1M，得O則三棱錐S-ABC外接球半徑r=O易知O到平面α的距離d=MH=1故平面α截外接球所得截面圓的半徑為r1∴截面圓的周長為l=2πr1=5故答案為：32；5四、解答題15．若數列{an}的前n項和為Sn，且（1）求數列{a（2）若bn=an3n，數列{b（1）解：當n=1時，a12-2因為an2-2Sn兩式作差得：an即an2-又因為an>0，所以a所以an（2）證明：由（1）可知，bn故Tn13兩式作差得：23Tn所以Tn=14(3-16．已知函數f(x)=1（1）討論f(x)的單調性；（2）當a<0時f(x)≤b-ln(-a)-a恒成立，求實數b解：（1）函數f(x)的定義域為(0,+∞)，求導得當a≤0時，由f'(x)>0，得0<x<1；由f'函數f(x)在0,1上單調遞增，在(1,+∞當0<a<1時，由f'(x)>0，得0<x<1或x>1a；由函數f(x)在(0,1),(1a,+當a=1時，f'(x)≥0恒成立，函數f(x)在當a>1時，由f'(x)>0，得0<x<1a或x>1；由函數f(x)在(0,1a),(1,+所以當a≤0時，函數f(x)的遞增區間為(0,1)，遞減區間為(1,+∞當0<a<1時，函數f(x)的遞增區間為(0,1),(1a,+當a=1時，函數f(x)的遞增區間為(0,+∞當a>1時，函數f(x)的遞增區間為(0,1a),(1,+（2）由（1）知當a<0時，函數f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞則f(x)依題意，b-ln(-a)-a≥-1-a令函數g(a)=ln(-a)-1+a2當a<-2時，g'(a)>0，當-2<a<0時，g'(a)<0，函數g(a)在即g(a)max=g(-2)=所以b最小值為ln2-217．如圖，在體積為14的四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=2A1B（1）證明：CC1⊥（2）求平面DB1C1（1）證明：由已知得AC=43設OO1=h，上底面A1B1∴14=13S∵OC∴OC