高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省2025屆高考沖刺模擬考試（Ⅱ）數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據對數函數在單調遞增，得到，則.或，則，則，故選：A.2.已知復數，則在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由復數的運算法則，可得，所以復數在復平面內對應的點為位于第四象限.故選：D.3.已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為在定義域內單調遞減，所以，即；因為在定義域內單調遞增，所以，即；因為在定義域內單調遞增，所以，即.綜上所述：.故選：D.4.已知，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.9【答案】C【解析】由，得，當且僅當時取等號得出最小值4，故選：C.5.在中，，點和分別在和邊上，且滿足，若，則（）A. B.10 C.5 D.【答案】B【解析】設點為線段的中點，所以點為線段上靠近點的五等分點，，.故選：B.6.除夕夜吃餃子是中華民族的傳統習俗，若一盤餃子共有三種餡，其中豬肉三鮮水餃有6個，素三鮮水餃有7個，羊肉大蔥水餃有7個，現從盤中夾取3個餃子，在取到的都是同種餡的條件下，取到的都是羊肉大蔥水餃的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記“取到都是同種餡的水餃”，“取到的都是羊肉大蔥水餃”，則，，故所求概率為.故選：A.7.已知函數在定義域內不存在零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，由，此時函數無零點；當時，對任意的恒成立，函數在上單調遞增，且當時，，當時，，此時存在一個零點，不符合題意；當時，由可得，由可得，由可得，所以函數的單調減區間為，單調增區間為，所以，因為函數不存在零點，所以，可得，解得.綜上所述，當函數不存在零點時，，故選：C.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點為右支上一點，射線是的外角平分線，其與軸的交點為點的角平分線與直線交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨設點在第一象限，由于點為角平分線的交點，過作于點于點于點，則，且，所以，則，所以，因為，所以，所以，代入（*）式得.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線與圓，則下列說法正確的是（）A.當時，直線與圓相交B.若直線與圓相切，則C.圓上一點到直線的最大距離為D.若圓上恰好有三個點到直線的距離為2，則【答案】AC【解析】A：當時，直線，圓的方程可化為，所以圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，故A正確；B：因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，故B錯誤；C：因為直線恒過定點，所以圓心到直線的最大距離，則圓上一點到直線的最大距離為，故C正確；D：因為圓上恰好有三個點到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離，解得或，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數的最大值為B.函數的周期為C.函數圖象的對稱軸為D.函數在上單調遞增【答案】AD【解析】，令，得，當時，函數有最大值，故A正確；，故B不正確，函數的圖象不關于對稱，故C不正確；由A知對稱軸，則在上單調遞增，在上單調遞減，令，解得和，由復合函數單調性可知函數的增區間為，減區間為，故D正確.故選：AD.11.如圖，在矩形中，，點為線段上的動點（含點，不含點），將沿折起，使點翻折至位置，且二面角為，點為線段上的動點，在四棱錐中，下列說法錯誤的是（）A.存在點使得平面B.存在點使得對于任意點都有直線和直線垂直C.三棱錐的體積為定值D.二面角的正切值的最小值為【答案】BCD【解析】在線段上截取，由，可得四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.在面內過點作，平面，平面，則平面，又，則平面平面，又平面，平面，故A正確；若對于任意點都有直線和直線垂直，平面，則平面，又平面，，又，且，平面，平面，顯然不可能同時垂直于兩個相交平面，故B錯誤；過作面于點，過作于點，連接，由面，平面，則，又，平面，則平面，又平面，則為二面角的平面角，，設，則，當時，重合，不合題意，則在中，由等面積法可知，，不是定值，故C錯誤；在矩形中，，過點作于，易得，，設二面角的大小為，則，當時，取最小值，但是，則二面角的正切值的最小值不可能取到，故D錯誤.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某市高三年級某次模擬考試中數學試卷的滿分為150分，閱卷結果顯示，全市100000名學生的數學成績近似服從正態分布，則這次考試數學成績超過140分的人數約為__________.（附：若隨機變量服從，則，3）【答案】2275【解析】超過140分的概率約為，所以超過140分的人數約為人.故答案為：2275.13.已知銳角滿足，則__________.【答案】【解析】因為，所以，又因為，所以，所以，，所以.故答案為：.14.已知非負數列滿足，其中，則__________.【答案】【解析】由非負數列滿足，其中將代入得，解得或（舍去），將代入得，解得；將代入得，解得；歸納得，當時，顯然成立；假設時成立，即，因為，可得，整理得，解得，即時，也成立，所以對于則.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數在區間上的最小值為0，求實數的值.解：（1）當時，函數，求導得，則，而，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）函數的定義域為，求導得，當時，，函數在上單調遞減，，解得，無解；當時，由，得；由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，①當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，，解得，滿足，則；②當，即時，在上單調遞減，則，解得，不滿足，無解.所以.16.已知橢圓經過兩點，其左、右焦點分別為，且焦距為有理數，點為橢圓上異于的動點，面積的最大值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與分別交直線于兩點，證明：直線和的斜率之積為定值.（1）解：由橢圓經過兩點，可得，根據橢圓的幾何性質，可得點為上、下頂點時，面積取得最大值，可得，又因為，且焦距為有理數，解得，故橢圓的標準方程為.（2）證明：設，滿足，則，則直線，令，可得，則，所以.17.如圖，幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為等腰梯形，其中分別為和的中點.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取的中點，連接，又點為的中點，是的中位線，，又四邊形為矩形，為的中點，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面，平面.（2）解：四邊形是底角為的等腰梯形，，又，，，又四邊形為矩形，，又平面，平面，與平面所成角為，為等腰直角三角形，且.以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系，，則設平面一個法向量為，則即不妨設，得，易得平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知中，內角所對的邊分別為，邊上有一點滿足，連接，設的中點為，且.（1）求證：；（2）求邊；（3）若，求邊.（1）證明：因為為的中點，可得，又由，所以，化簡得，又因為，所以，則，可得，即所以，因為，可得，可得，即.（2）解：如圖，在中，設，則，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，兩式相除，可得，因為為的中點，可得，又因為，所以.（3）解：設，則，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，兩式相加得，解得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，解得.19.已知有限數列共有項，其中且，若其滿足：①；②，且；③，則稱數列為“階共振數列”.（1）已知數列為“4階共振數列”，其中，試寫出中其他各項；（2）證明：若為“階共振數列”，則這樣的數列必有偶數個；（3）判斷是否存在“5階共振數列”“6階共振數列”“7階共振數列”，若存在，請舉出一個這樣的數列；若不存在，請說明理由.（1）解：因為，由，可得，又由，所以，且，則，綜上可得，.（2）證明：假設數列為“階共振數列”，令，且，其中，則，滿足①；，滿足②，，滿足③，故數列為“階共振數列”.若，則，解得，取，則，不符題意，矛盾，故.令，且，其中，當時，，同理可證，因此.綜上可得，“階共振數列”若存在，則必有偶數個.（3）解：設，其中，表示數列的前項和，.，，兩式相減，可得，因為必為整數，故當或時滿足，當或時不滿足.故不存在“6階共振數列”和“7階共振數列”，存在“5階共振數列”，舉例：河北省2025屆高考沖刺模擬考試（Ⅱ）數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據對數函數在單調遞增，得到，則.或，則，則，故選：A.2.已知復數，則在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由復數的運算法則，可得，所以復數在復平面內對應的點為位于第四象限.故選：D.3.已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為在定義域內單調遞減，所以，即；因為在定義域內單調遞增，所以，即；因為在定義域內單調遞增，所以，即.綜上所述：.故選：D.4.已知，則的最小值為（）A.2 B. C.4 D.9【答案】C【解析】由，得，當且僅當時取等號得出最小值4，故選：C.5.在中，，點和分別在和邊上，且滿足，若，則（）A. B.10 C.5 D.【答案】B【解析】設點為線段的中點，所以點為線段上靠近點的五等分點，，.故選：B.6.除夕夜吃餃子是中華民族的傳統習俗，若一盤餃子共有三種餡，其中豬肉三鮮水餃有6個，素三鮮水餃有7個，羊肉大蔥水餃有7個，現從盤中夾取3個餃子，在取到的都是同種餡的條件下，取到的都是羊肉大蔥水餃的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記“取到都是同種餡的水餃”，“取到的都是羊肉大蔥水餃”，則，，故所求概率為.故選：A.7.已知函數在定義域內不存在零點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，由，此時函數無零點；當時，對任意的恒成立，函數在上單調遞增，且當時，，當時，，此時存在一個零點，不符合題意；當時，由可得，由可得，由可得，所以函數的單調減區間為，單調增區間為，所以，因為函數不存在零點，所以，可得，解得.綜上所述，當函數不存在零點時，，故選：C.8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點為右支上一點，射線是的外角平分線，其與軸的交點為點的角平分線與直線交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨設點在第一象限，由于點為角平分線的交點，過作于點于點于點，則，且，所以，則，所以，因為，所以，所以，代入（*）式得.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線與圓，則下列說法正確的是（）A.當時，直線與圓相交B.若直線與圓相切，則C.圓上一點到直線的最大距離為D.若圓上恰好有三個點到直線的距離為2，則【答案】AC【解析】A：當時，直線，圓的方程可化為，所以圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，故A正確；B：因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，故B錯誤；C：因為直線恒過定點，所以圓心到直線的最大距離，則圓上一點到直線的最大距離為，故C正確；D：因為圓上恰好有三個點到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離，解得或，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.函數的最大值為B.函數的周期為C.函數圖象的對稱軸為D.函數在上單調遞增【答案】AD【解析】，令，得，當時，函數有最大值，故A正確；，故B不正確，函數的圖象不關于對稱，故C不正確；由A知對稱軸，則在上單調遞增，在上單調遞減，令，解得和，由復合函數單調性可知函數的增區間為，減區間為，故D正確.故選：AD.11.如圖，在矩形中，，點為線段上的動點（含點，不含點），將沿折起，使點翻折至位置，且二面角為，點為線段上的動點，在四棱錐中，下列說法錯誤的是（）A.存在點使得平面B.存在點使得對于任意點都有直線和直線垂直C.三棱錐的體積為定值D.二面角的正切值的最小值為【答案】BCD【解析】在線段上截取，由，可得四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.在面內過點作，平面，平面，則平面，又，則平面平面，又平面，平面，故A正確；若對于任意點都有直線和直線垂直，平面，則平面，又平面，，又，且，平面，平面，顯然不可能同時垂直于兩個相交平面，故B錯誤；過作面于點，過作于點，連接，由面，平面，則，又，平面，則平面，又平面，則為二面角的平面角，，設，則，當時，重合，不合題意，則在中，由等面積法可知，，不是定值，故C錯誤；在矩形中，，過點作于，易得，，設二面角的大小為，則，當時，取最小值，但是，則二面角的正切值的最小值不可能取到，故D錯誤.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某市高三年級某次模擬考試中數學試卷的滿分為150分，閱卷結果顯示，全市100000名學生的數學成績近似服從正態分布，則這次考試數學成績超過140分的人數約為__________.（附：若隨機變量服從，則，3）【答案】2275【解析】超過140分的概率約為，所以超過140分的人數約為人.故答案為：2275.13.已知銳角滿足，則__________.【答案】【解析】因為，所以，又因為，所以，所以，，所以.故答案為：.14.已知非負數列滿足，其中，則__________.【答案】【解析】由非負數列滿足，其中將代入得，解得或（舍去），將代入得，解得；將代入得，解得；歸納得，當時，顯然成立；假設時成立，即，因為，可得，整理得，解得，即時，也成立，所以對于則.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數.（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若函數在區間上的最小值為0，求實數的值.解：（1）當時，函數，求導得，則，而，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）函數的定義域為，求導得，當時，，函數在上單調遞減，，解得，無解；當時，由，得；由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增，①當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，，解得，滿足，則；②當，即時，在上單調遞減，則，解得，不滿足，無解.所以.16.已知橢圓經過兩點，其左、右焦點分別為，且焦距為有理數，點為橢圓上異于的動點，面積的最大值為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與分別交直線于兩點，證明：直線和的斜率之積為定值.（1）解：由橢圓經過兩點，可得，根據橢圓的幾何性質，可得點為上、下頂點時，面積取得最大值，可得，又因為，且焦距為有理數，解得，故橢圓的標準方程為.（2）證明：設，滿足，則，則直線，令，可得，則，所以.17.如圖，幾何體中，四邊形為矩形，四邊形為等腰梯形，其中分別為和的中點.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取的中點，連接，又點為的中點，是的中位線，，又四邊形為矩形，為的中點，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面，平面.（2）解：四邊形是底角為的等腰梯形，，又，，，又四邊形為矩形，，又平面，平面