高級中學名校試卷PAGEPAGE1貴州省黔南布依族苗族自治州2025屆高三第三次模擬考試數學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知復數滿足：，則復數在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因為，所以，所以復數在復平面內對應的點為，位于第一象限.故選：A2.平面向量，，若，則（）A B.2 C.8 D.-2【答案】C【解析】由題意可得，因，則，得.故選：C3.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，解得.故選：B4.“關于，的方程：表示圓”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若關于，的方程：表示圓，則，解得或，因為真包含于，所以“關于，的方程：表示圓”是“”的必要不充分條件.故選：B5.數列滿足，若數列單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為單調遞增，所以，解得，即實數的取值范圍為.故選：D6.在正四棱臺中，，，則該正四棱臺的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在正四棱臺中，取、的中點分別為、，連接，由，，所以，，過點作平面的垂線，垂足為，則在上，且，則，設正四棱臺外接球的球心為，半徑為，則點在直線上，又，所以，即，解得，所以，所以外接球的表面積.故選：A7.如圖，在圓錐中，為底面圓的直徑，過的中點與平行作平面截圓錐，得到截面與圓錐側面的交線是雙曲線的一部分.若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，該曲線與圓錐的底面圓交于點、，因為，所以，即為等邊三角形，又為的中點，取的中點，過作，交直線于點，過點作軸，以直線為軸，為坐標原點，建立平面直角坐標系，設雙曲線方程為，所以，又，所以，則點，所以，解得（負值舍去），所以雙曲線的離心率.故選：C8.設函數，當時，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，當時，函數的大致圖象如圖，當時，，所以，又，得；當時，函數的大致圖象如圖，當時，，所以，又，得，綜上：.故選：.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選或不選的得0分）9.已知隨機變量和滿足：，且，若的分布列如下表，則下列說法正確的是（）123A. B. C. D.【答案】BCD【解析】依題意，解得，故A錯誤，B正確；又，所以，故C正確；因為，所以，故D正確.故選：BCD10.已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到B.在上有兩個極值點C.在上單調遞增D.關于的方程在上有4個根【答案】BD【解析】由圖像可知，，則，且，則；，則，則，且，，則，當且僅當時符合條件，，所以；A選項：的圖象向左平移個單位長度得到，A選項錯誤；B選項：時，，此時，或時，函數有極值，B選項正確；C選項：，，此時，函數單調遞減，C選項錯誤；D選項：關于的方程在上有4個根，即與得圖像在上有四個交點，繪制函數圖像如下所示，可知D選項正確.故選：.11.經過，兩點的曲線如圖所示，關于曲線，下列說法正確的是（）A.B.曲線經過的整數點個數為4個C.的取值范圍均為D.若點在曲線上，則以為半徑圓的面積的最大值為【答案】ACD【解析】對于A，將與代入方程，可得，故A正確；對于B，由A可知曲線，當時，，解得；當時，，解得或或；同理可得當時，或或；當，，時，，即，由，則方程無解，綜上可得曲線經過的整數點有，，，，，，，，共個，故B錯誤；對于C，將曲線的方程等價轉化為關于的一元二次方程，則，解得，同理可得，故C正確；對于D，，當且僅當時，等號成立，由，則，即的最大值為，所以圓的面積最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.記為等差數列的前項和，若，則______________.【答案】【解析】因為，所以，所以.故答案為：13.設拋物線上一點到直線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為________.【答案】3【解析】拋物線焦點為，則點到直線的距離為，作垂直于點，所以的最小值為.故答案為：3.14.有個空置車位排成一排，每個車位只能停放一輛車，現將3輛不同的車停放在車位上，若3輛車互不相鄰與恰有2輛車相鄰的停車方法數相等，則___________（用數字作答）.【答案】【解析】假設輛車自帶了車位，余下還有個車位，產生了個空位，現將輛車插空，則有種停放方法，使得3輛車互不相鄰；又恰有2輛車相鄰，將兩輛車捆綁作為一組，另外一輛車作為一組，則有種方法，再兩組車將插到個空位，則有種停放方法，所以有種停放方法，使得恰有2輛車相鄰，依題意可得，即，依題意，解得.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數（1）討論函數的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.解：（1）的定義域為，因為，若，則，則在單調遞增；若，則當時，，當時，，則在單調遞減，則單調遞增；（2）由（1）可知，要使有兩個零點，則，則，即，構造，則，故在上單調遞增，又，故當時，，故由得，當時，由，則結合零點存在性知，在存在唯一實數，使得，構造，，則，故在單調遞減，又，故，即，則，故，則，則，又，結合零點存在性知，在存在唯一實數，使得，綜上，當有兩個零點時，.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，邊的中線長為2．（1）求角A；（2）求邊a的最小值．解：（1）因為，所以，則，故，因為，，，所以，又，所以．（2）因為BC邊的中線長為2，所以，兩側平方可得，即，解得，當且僅當時取等號，所以，可得，所以a的最小值為．17.在平面四邊形中，，，如圖1所示.現將圖1中的沿折起，使點到達點的位置，且平面平面，如圖2所示.（1）求證：；（2）若，二面角的大小為，求的值.（1）證明：取中點，連接，平面平面，平面平面,又,是中點，,平面,平面，,,，平面,平面（2）解：,,又，,平面,平面,設，建立如圖所示坐標系則，，，，，，,,設平面的法向量，即，取，則，，設平面的法向量，即，取，則，，,二面角的大小為，，化簡得：解得：即，18.已知，分別是橢圓的左、右焦點，，分別是橢圓的左、右頂點，點，在橢圓上，且不與兩點重合.（1）當四邊形為平行四邊形時，請寫出點，的位置關系（說明理由即可，不需證明）.（2）在（1）的條件下，若，且.（i）求橢圓的方程；（ii）若點在直線上，且，，求的面積.解：（1）因為四邊形為平行四邊形，，分別是橢圓的左、右頂點，則的中點為坐標原點，又點，在橢圓上，又因為橢圓為中心對稱圖形，所以點，關于原點對稱；（2）（i）由對稱性可知，又，所以，由橢圓的定義可知，即，所以，設，則，因為點在橢圓上，所以，所以，又，所以，即，所以，解得，所以橢圓方程為；（ii）如圖，過點作，垂足為，直線與軸交于點，因為，所以，又，所以，所以，所以，又，，，所以，，所以，又點在橢圓上，所以，解得，不妨取，則，所以，又，所以；由對稱性，可得，，或，，或，，時，同理可得，綜上可得.19.在這個科技飛速發展的時代，機器人和AI已應用到國防軍事方面，在2024年的珠海航展上，中國“機器狗”升級成“機器狼”閃耀亮相，具備偵察、戰斗和綜合保障等功能，展現中國四足機器人技術進步，引發國內外關注.升級后的“機器狼”相比之前的“機器狗”有一特殊之處，無論是在平地上還是臺階上，“機器狼”的行進速度都相當之快，動作靈敏.為了展示“機器狼”上臺階的性能，在一個有步的臺階上，假設“機器狼”每次只能上一步或兩步臺階，且每次上一步或兩步臺階是隨機的；記每次上一步臺階的概率為，上兩步臺階的概率為；且每次上一步臺階用時，上兩步臺階用時.（1）假設，“機器狼”上完這個臺階用時最少為多少秒?（2）若“機器狼”走3次后從地面到達第5步臺階的概率為，當取最大值時，求“機器狼”從地面上到第7步臺階用時最少的概率.（3）若，記“機器狼”從地面上到第步臺階的概率為，其中，證明：數列是等比數列，并求.（1）解：“機器狼”上完步臺階的走法有：當時，用時；當時，用時；當時，用時；所以“機器狼”上完這個臺階用時最少為秒；（2）解：依題意，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時取得最大值，“機器狼”從地面上到第7步臺階有，，，共4種情況，則“機器狼”從地面上到第7步臺階用時最少的概率；（3）證明：“機器狼”從地面上到第步臺階，它是由第步臺階上兩步到達第步臺階，或由第步臺階上一步到達第步臺階，記“機器狼”從地面上到第步臺階的概率為，所以，所以，則，又，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數列，所以，所以，即.貴州省黔南布依族苗族自治州2025屆高三第三次模擬考試數學試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知復數滿足：，則復數在復平面內對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因為，所以，所以復數在復平面內對應的點為，位于第一象限.故選：A2.平面向量，，若，則（）A B.2 C.8 D.-2【答案】C【解析】由題意可得，因，則，得.故選：C3.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，解得.故選：B4.“關于，的方程：表示圓”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若關于，的方程：表示圓，則，解得或，因為真包含于，所以“關于，的方程：表示圓”是“”的必要不充分條件.故選：B5.數列滿足，若數列單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為單調遞增，所以，解得，即實數的取值范圍為.故選：D6.在正四棱臺中，，，則該正四棱臺的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在正四棱臺中，取、的中點分別為、，連接，由，，所以，，過點作平面的垂線，垂足為，則在上，且，則，設正四棱臺外接球的球心為，半徑為，則點在直線上，又，所以，即，解得，所以，所以外接球的表面積.故選：A7.如圖，在圓錐中，為底面圓的直徑，過的中點與平行作平面截圓錐，得到截面與圓錐側面的交線是雙曲線的一部分.若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，該曲線與圓錐的底面圓交于點、，因為，所以，即為等邊三角形，又為的中點，取的中點，過作，交直線于點，過點作軸，以直線為軸，為坐標原點，建立平面直角坐標系，設雙曲線方程為，所以，又，所以，則點，所以，解得（負值舍去），所以雙曲線的離心率.故選：C8.設函數，當時，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，當時，函數的大致圖象如圖，當時，，所以，又，得；當時，函數的大致圖象如圖，當時，，所以，又，得，綜上：.故選：.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選或不選的得0分）9.已知隨機變量和滿足：，且，若的分布列如下表，則下列說法正確的是（）123A. B. C. D.【答案】BCD【解析】依題意，解得，故A錯誤，B正確；又，所以，故C正確；因為，所以，故D正確.故選：BCD10.已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到B.在上有兩個極值點C.在上單調遞增D.關于的方程在上有4個根【答案】BD【解析】由圖像可知，，則，且，則；，則，則，且，，則，當且僅當時符合條件，，所以；A選項：的圖象向左平移個單位長度得到，A選項錯誤；B選項：時，，此時，或時，函數有極值，B選項正確；C選項：，，此時，函數單調遞減，C選項錯誤；D選項：關于的方程在上有4個根，即與得圖像在上有四個交點，繪制函數圖像如下所示，可知D選項正確.故選：.11.經過，兩點的曲線如圖所示，關于曲線，下列說法正確的是（）A.B.曲線經過的整數點個數為4個C.的取值范圍均為D.若點在曲線上，則以為半徑圓的面積的最大值為【答案】ACD【解析】對于A，將與代入方程，可得，故A正確；對于B，由A可知曲線，當時，，解得；當時，，解得或或；同理可得當時，或或；當，，時，，即，由，則方程無解，綜上可得曲線經過的整數點有，，，，，，，，共個，故B錯誤；對于C，將曲線的方程等價轉化為關于的一元二次方程，則，解得，同理可得，故C正確；對于D，，當且僅當時，等號成立，由，則，即的最大值為，所以圓的面積最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.記為等差數列的前項和，若，則______________.【答案】【解析】因為，所以，所以.故答案為：13.設拋物線上一點到直線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為________.【答案】3【解析】拋物線焦點為，則點到直線的距離為，作垂直于點，所以的最小值為.故答案為：3.14.有個空置車位排成一排，每個車位只能停放一輛車，現將3輛不同的車停放在車位上，若3輛車互不相鄰與恰有2輛車相鄰的停車方法數相等，則___________（用數字作答）.【答案】【解析】假設輛車自帶了車位，余下還有個車位，產生了個空位，現將輛車插空，則有種停放方法，使得3輛車互不相鄰；又恰有2輛車相鄰，將兩輛車捆綁作為一組，另外一輛車作為一組，則有種方法，再兩組車將插到個空位，則有種停放方法，所以有種停放方法，使得恰有2輛車相鄰，依題意可得，即，依題意，解得.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數（1）討論函數的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.解：（1）的定義域為，因為，若，則，則在單調遞增；若，則當時，，當時，，則在單調遞減，則單調遞增；（2）由（1）可知，要使有兩個零點，則，則，即，構造，則，故在上單調遞增，又，故當時，，故由得，當時，由，則結合零點存在性知，在存在唯一實數，使得，構造，，則，故在單調遞減，又，故，即，則，故，則，則，又，結合零點存在性知，在存在唯一實數，使得，綜上，當有兩個零點時，.16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，邊的中線長為2．（1）求角A；（2）求邊a的最小值．解：（1）因為，所以，則，故，因為，，，所以，又，所以．（2）因為BC邊的中線長為2，所以，兩側平方可得，即，解得，當且僅當時取等號，所以，可得，所以a的最小值為．17.在平面四邊形中，，，如圖1所示.現將圖1中的沿折起，使點到達點的位置，且平面平面，如圖2所示.（1）求證：；（2）若，二面角的大小為，求的值.（1）證明：取中點，連接，平面平面，平面平面,又,是中點，,平面,平面，,,，平面,平面（2）解：,,又，,平面,平面,設，建立如圖所示坐標系則，，，，，，,,設平面的法向量，即，取，則，，設平面的法向量，即，取，則，，,二面角的大小為，，化簡得：解得：即，18.已知，分別是橢圓的左、右焦點，，分別是橢圓的左、右頂點，點，在橢圓上，且不與兩點重合.（1）當四邊形為平行四邊形時，請寫出點，的位置關系（說明理由即可，不需證明）.（2）在（1）的條件下，若，且.（i）求橢圓的方程；（ii）若點在直線上，且，，求的面積.解：（1）因為四邊形為平行四邊形，，分別是橢圓的左、右頂點，則的中點為坐標原點，又點，在橢圓上，又因為橢圓為中心對稱圖形，所以點，關于原點對稱；（2）（i）由對稱性可知，又，所以，由橢圓的定義可知，即，所以，設，則，因為點在橢圓上，所以，所以，又，所以，即，所以，解得，所以橢圓方程為；（ii）如圖