高級中學名校試卷PAGEPAGE1貴州省安順市2025屆高三第六次監測考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為集合，則.故選：C.2.若復數是純虛數，則實數的值為（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】因為是純虛數，所以，則，所以.故選：A.3.已知角的終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為角的終邊經過點，則，所以.故選：B.4.若為一組從小到大排列的數1，2，4，6，9，10的第60百分位數，在的展開式中，的系數為（）A.30 B.60 C.40 D.【答案】B【解析】因為為一組從小到大排列的數1，2，4，6，9，10的第60百分位數，且，所以，所以的展開式的通項為，令，所以展開中的系數為.故選：B.5.貴陽市某中學舉辦“貴陽文化”交流活動，計劃在校園內用五個展板展示陽明文化，山地文化，民族文化，紅色文化和飲食文化五種特色文化．規定陽明文化與紅色文化不相鄰，飲食文化展板放最后．則展板的不同排列方式有（）A.12種 B.14種 C.16種 D.18種【答案】A【解析】先排飲食文化展板，有一種放置方法；再排山地文化展板，民族文化，有種放置方法；再利用插空法排陽明文化展板與紅色文化展板，有種放置方法，故共有種放置方法，故選：A.6.已知是雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線上，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設，雙曲線的實半軸長，且，因為，故在右支上且，而，故，由余弦定理可得：，故選：C.7.已知是函數的圖象上兩個不同的點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意不妨設，因為函數是增函數，所以，即，對于選項AB：因為，即，且函數是增函數，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.8.設函數，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，當時，；當時，；當時，；當時，，由，知，所以，令，則，則得；得，則在上單調遞減，在當上單調遞增，所以，故的最小值為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關于隨機變量的期望與方差，以下說法正確的是（）A.設為隨機變量，為常數，則B.若，則與試驗次數無關C.若，則D.兩點分布中，時，方差最大【答案】ABD【解析】對于選項A：根據期望和方差的性質可知：，故A正確；對于選項B：若，則，與試驗次數無關，故B正確；對于選項C：若，則，故C錯誤；對于選項D：設成功的概率為，則方差，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，方差最大，故D正確；故選：ABD.10.已知向量，且在方向的投影向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，因為，故，故，故A錯誤；對于B，因為，故，整理得，故，故，故B正確；對于C，由題設有在方向的投影向量為，故，故即，故C錯誤，對于D，由C的分析可得，故，故D成立.故選：BC.11.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈．這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數，共需經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），即．現給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數列滿足：（為正整數），，前項和為．則下列結論正確的是（）A.時，使得要6步雹程 B.時，C.時， D.使得的的值有6個【答案】ACD【解析】若，則，則需要6步雹程，故A正確；若，則，因，則，故B錯誤；若，則，，則，故C正確；若，則或，若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；故的所有取值為，共個，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知拋物線的頂點和焦點分別為，則以線段為直徑的圓的方程是_______．【答案】【解析】由拋物線可得：頂點坐標為，焦點坐標為.所以線段的中點坐標為，.則以線段為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為：.故答案為：.13.設函數，，若在區間上具有單調性，且，則的最小正周期為________．【答案】【解析】因為在區間上具有單調性，且，所以有對稱中心，由得有對稱軸，設為的最小正周期，則，所以，從而，解得故答案為：.14.已知正方體棱長為3，則以A為球心，為半徑的球面與該正方體表面交線的長度之和為______．【答案】【解析】正方體的體對角線長為，面對角線長為，因為，以為球心的球與面ABCD，面，面都沒有交點，記球面與上底面交于M，N兩點，則，因為為銳角，所以，同理，所以所以，同理在面和面內軌跡長都是，所以，球面與正方體表面交線的長度之和為．故答案為：四、解答題：共5個小題，滿分77分．解答應寫出相應的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數列為等差數列，為等比數列，．（1）求數列和的通項公式；（2）設，證明：．（1）解：設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由題設有，因，故解得，故，.（2）證明：,故.16.飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經成為了年輕人運動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關，對該地區的年輕人進行了簡單隨機抽樣，得到如下列聯表:性別飛盤運動合計不愛好愛好男61622女42428合計104050（1）在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數為X，求X的分布列和數學期望；（2）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為愛好飛盤運動與性別有關聯？如果把上表中所有數據都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之間的關聯性，結論還一樣嗎？請解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）樣本中愛好飛盤運動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為，按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人.隨機變量的取值為:.,隨機變量的分布列為隨機變量數學期望.（2）零假設為:愛好飛盤運動與性別無關聯.根據列聯表重的數據，經計算得到根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為愛好飛盤運動與性別無關聯.列聯表中所有數據都擴大到原來的10倍后，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為愛好飛盤運動與性別有關聯.所以結論不一樣，原因是每個數據都擴大為原來的10倍，相當于樣本量變大為原來的10倍，導致推斷結論發生了變化.17.如圖，在平行六面體中，點在底面的射影為點，．（1）求證：平面平面；（2）已知點在線段上（不含端點），且平面與平面的夾角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為平面平面，故，在中，，由余弦定理得：，得，故，則，因為平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，故，，所以，設，則，即，所以；設為平面的一個法向量，則，令，則，所以，因為軸平面，則可取為平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，解得，故，，，設與平面所成角為，則.18.如圖，圓是圓內一個定點，是圓上任意一點．線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，記動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）設曲線與軸從左到右的交點為點，點為曲線上異于的動點，設交直線于點，連結交曲線于點，直線的斜率分別為．（ⅰ）求證：為定值；（ⅱ）證明：直線經過軸上的定點，并求出該定點的坐標．（1）解：由題意可知，，由橢圓定義可得，點N的軌跡是以E，F為焦點的橢圓，且長軸長，焦距，所以，因此曲線C方程為.（2）證明：（ⅰ）設，，，由題可知，，如下圖所示，則，，而，于是，所以，又，則，因此為定值；（ⅱ）由題意可知，直線PQ不可能與軸平行，設直線PQ的方程為，，，知，由，得，，得所以由（i）可知，，即，將代入化簡得，化簡得解得舍或，所以直線PQ的方程為，因此直線PQ經過定點19.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若函數在定義域內有兩個不同零點，求實數的取值范圍；（3）若且，有恒成立，求實數的取值范圍．解：（1）因為的定義域為，且，則，即切點坐標為，斜率，所以所求切線方程為.（2）由（1）可得：，當時，；當時，；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則，且當x趨近于0時，趨近于0，當x趨近于時，趨近于，可得的圖象如圖所示：令，則令，可得，原題意等價于：與有2個交點，結合函數圖象可得，所以實數的取值范圍為.（3）因為，令，則，即，由可得，可知在內單調遞增，則，可得在內恒成立，構建，則，構建，則，且，可知在內單調遞增，構建，可知在內單調遞增，且，則在內存在唯一零點，當時，，，可得，即；當時，，，可得，即；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則，且，則，，可得，即，可得，所以實數的取值范圍為.貴州省安順市2025屆高三第六次監測考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為集合，則.故選：C.2.若復數是純虛數，則實數的值為（）A. B.C.或 D.或【答案】A【解析】因為是純虛數，所以，則，所以.故選：A.3.已知角的終邊經過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為角的終邊經過點，則，所以.故選：B.4.若為一組從小到大排列的數1，2，4，6，9，10的第60百分位數，在的展開式中，的系數為（）A.30 B.60 C.40 D.【答案】B【解析】因為為一組從小到大排列的數1，2，4，6，9，10的第60百分位數，且，所以，所以的展開式的通項為，令，所以展開中的系數為.故選：B.5.貴陽市某中學舉辦“貴陽文化”交流活動，計劃在校園內用五個展板展示陽明文化，山地文化，民族文化，紅色文化和飲食文化五種特色文化．規定陽明文化與紅色文化不相鄰，飲食文化展板放最后．則展板的不同排列方式有（）A.12種 B.14種 C.16種 D.18種【答案】A【解析】先排飲食文化展板，有一種放置方法；再排山地文化展板，民族文化，有種放置方法；再利用插空法排陽明文化展板與紅色文化展板，有種放置方法，故共有種放置方法，故選：A.6.已知是雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線上，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題設，雙曲線的實半軸長，且，因為，故在右支上且，而，故，由余弦定理可得：，故選：C.7.已知是函數的圖象上兩個不同的點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意不妨設，因為函數是增函數，所以，即，對于選項AB：因為，即，且函數是增函數，所以，故B正確，A錯誤；對于選項D：例如，則，可得，即，故D錯誤；對于選項C：例如，則，可得，即，故C錯誤，故選：B.8.設函數，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，則，當時，；當時，；當時，；當時，，由，知，所以，令，則，則得；得，則在上單調遞減，在當上單調遞增，所以，故的最小值為.故選：D.二、多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.關于隨機變量的期望與方差，以下說法正確的是（）A.設為隨機變量，為常數，則B.若，則與試驗次數無關C.若，則D.兩點分布中，時，方差最大【答案】ABD【解析】對于選項A：根據期望和方差的性質可知：，故A正確；對于選項B：若，則，與試驗次數無關，故B正確；對于選項C：若，則，故C錯誤；對于選項D：設成功的概率為，則方差，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，方差最大，故D正確；故選：ABD.10.已知向量，且在方向的投影向量為，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，因為，故，故，故A錯誤；對于B，因為，故，整理得，故，故，故B正確；對于C，由題設有在方向的投影向量為，故，故即，故C錯誤，對于D，由C的分析可得，故，故D成立.故選：BC.11.任取一個正整數，若是奇數，就將該數乘3再加上1；若是偶數，就將該數除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環圈．這就是數學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數，共需經過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”），即．現給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數列滿足：（為正整數），，前項和為．則下列結論正確的是（）A.時，使得要6步雹程 B.時，C.時， D.使得的的值有6個【答案】ACD【解析】若，則，則需要6步雹程，故A正確；若，則，因，則，故B錯誤；若，則，，則，故C正確；若，則或，若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；若，則，，，；故的所有取值為，共個，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知拋物線的頂點和焦點分別為，則以線段為直徑的圓的方程是_______．【答案】【解析】由拋物線可得：頂點坐標為，焦點坐標為.所以線段的中點坐標為，.則以線段為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為，所以以線段為直徑的圓的方程為：.故答案為：.13.設函數，，若在區間上具有單調性，且，則的最小正周期為________．【答案】【解析】因為在區間上具有單調性，且，所以有對稱中心，由得有對稱軸，設為的最小正周期，則，所以，從而，解得故答案為：.14.已知正方體棱長為3，則以A為球心，為半徑的球面與該正方體表面交線的長度之和為______．【答案】【解析】正方體的體對角線長為，面對角線長為，因為，以為球心的球與面ABCD，面，面都沒有交點，記球面與上底面交于M，N兩點，則，因為為銳角，所以，同理，所以所以，同理在面和面內軌跡長都是，所以，球面與正方體表面交線的長度之和為．故答案為：四、解答題：共5個小題，滿分77分．解答應寫出相應的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知數列為等差數列，為等比數列，．（1）求數列和的通項公式；（2）設，證明：．（1）解：設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由題設有，因，故解得，故，.（2）證明：,故.16.飛盤運動是一項入門簡單，又具有極強的趣味性和社交性的體育運動，目前已經成為了年輕人運動的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運動是否與性別有關，對該地區的年輕人進行了簡單隨機抽樣，得到如下列聯表:性別飛盤運動合計不愛好愛好男61622女42428合計104050（1）在上述愛好飛盤運動的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人訪談，記參與訪談的男性人數為X，求X的分布列和數學期望；（2）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為愛好飛盤運動與性別有關聯？如果把上表中所有數據都擴大到原來的10倍，在相同的檢驗標準下，再用獨立性檢驗推斷愛好飛盤運動與性別之間的關聯性，結論還一樣嗎？請解釋其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）樣本中愛好飛盤運動的年輕人中男性16人，女性24人，比例為，按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，則抽取男性4人，女性6人.隨機變量的取值為:.,隨機變量的分布列為隨機變量數學期望.（2）零假設為:愛好飛盤運動與性別無關聯.根據列聯表重的數據，經計算得到根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為愛好飛盤運動與性別無關聯.列聯表中所有數據都擴大到原來的10倍后，根據小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為愛好飛盤運動與性別有關聯.所以結論不一樣，原因是每個數據都擴大為原來的10倍，相當于樣本量變大為原來的10倍，導致推斷結論發生了變化.17.如圖，在平行六面體中，點在底面的射影為點，．（1）求證：平面平面；（2）已知點在線段上（不含端點），且平面與平面的夾角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為平面平面，故，在中，，由余弦定理得：，得，故，則，因為平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，故，，所以，設，則，即，