高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省大灣區2025屆普通高中畢業年級聯合模擬考試（二）數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.若集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故選：B.2.已知為虛數單位，復數，則（）A.B.的虛部為C.D.在復平面內對應的點在第四象限【答案】D【解析】所以，A錯誤；因為，所以虛部為，B錯誤；，C錯誤；在復平面內對應的點為在第四象限，故D正確.故選：D3.一組數據由小到大排列為，已知該組數據的分位數是9.5，則的值是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】因為，所以該組數據的分位數是第4、第5位數的平均數，所以，解得，故選：C.4.若，且，則的最小值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】因為，即，即，且，則，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.

故選：B5.已知向量，若向量與的夾角等于向量與的夾角，且向量與不共線，則向量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，設，所以，即，又因為向量與的夾角等于向量與的夾角，所以，即，解方程組解得或，所以或，又因為向量與不共線，所以.故選：A6.設函數滿足：，都有，且.記，則數列的前10項和為（）A.55 B.45 C. D.【答案】C【解析】令可得，再令可得，又因為，所以，再令可得，又因為，所以有，即是等比數列，則有首項，公比，所以，即，則，故選：C.7.從雙曲線上一點向該雙曲線的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據雙曲線具有的對稱性，不妨設雙曲線上第一象限的點，則由雙曲線可得漸近線方程為，即所以由點到直線的距離公式可得：由，由雙曲線上第一象限的點可知，所以上式可變形得，即，則代入雙曲線得：，則過點作漸近線的垂線可得方程為：，與漸近線聯立解得：，即得，再過點作漸近線的垂線可得方程為：，與漸近線聯立解得：，即得，所以，故選：A.8.若是三棱錐外接球的直徑，且，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取中點，連接，過點作，由條件可得均為等邊三角形，則，且，平面，所以平面，又平面，所以，且，平面，所以平面，又，則，且是三棱錐外接球的直徑，則，則，在中，由余弦定理可得，則，所以，則.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設函數，則（）A.函數為奇函數B.C.函數的值域為D.函數在其定義域上為增函數【答案】ABC【解析】，令，此函數定義域為，，故此函數為奇函數，A正確；；，B正確；，令，則，因為所以由二次函數性質可知，由反比例函數性質可知所以，即，所以函數的值域為，C正確；，令，，由二次函數單調性可知：當時隨的增大而增大，且由反比例函數單調性可知：隨增大而減小，故當當時即時為減函數，故D錯誤.故選：ABC10.已知函數的圖象是由函數的圖象向右平移個單位長度得到，則（）A.B.直線是曲線的對稱軸C.在區間內有兩個極值點D.曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為【答案】ABD【解析】對于A，，向右平移個單位長得度，故A正確；對打B，由A知，是曲線的對稱軸，故B正確；對于當時，在單調遞增，在單調遞減，sint在只有1個極值點，故只有1個極值點，故錯誤；對于D，的最小正周期為，而的距離為，所以圍成的矩形面積為又為軸對稱及中心對稱圖形，所圍成封閉圖形的面積為，故D還確.故選：ABD11.已知離散型隨機變量的分布列為.定義隨機變量為自然對數的底數，的分布列如下：隨機變量的數學期望稱為隨機變量的生成函數，記為.是函數在處的導數，則（）A.B.若服從兩點分布，，則C.若，則D.若實數為常數，則【答案】AD【解析】對于A，隨機變量的生成函數，則，當時，，所以A正確；對于B，服從兩點分布，，則生成函數為，所以B錯誤；對于C，，則生成函數為，所以C錯誤；對于D，對于線性變換的生成函數，所以D正確.故選：AD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設拋物線的焦點為，點在拋物線上且，則__________.【答案】2【解析】由題意可得，其準線方程為，設，因為，則為線段的中點，所以，即，由拋物線的定義可得.故答案為：213.若角的終邊經過點，則__________.【答案】【解析】根據已知條件可知：，則，故答案為：.14.已知是圓上兩個動點，點坐標為，若點滿足四邊形是矩形，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】如圖，連接，設與交于點．因為四邊形是矩形，則，．連接，在中，，所以，所以，即，所以，所以，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為的面積為，滿足.（1）求的值；（2）若，求的周長.解：（1），再利用面積公式，，即又由余弦定理，得，.，.（2）設的外接圓半徑為，，由正弦定理，得.，.，由正弦定理，得，所以，的周長為.16.如圖1，已知平面四邊形紙片.將該紙片沿對角線翻折，連接得到三棱錐，如圖2.（1）若，證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：方法一：（1）不妨設，由題意可知，.，根據余弦定理，得，所以.，.又且，平面，平面.方法二：（1）不妨設，由題意可知，.令，以構成空間的一個基底，則設是平面內任一向量，根據平面向量基本定理，得.由于，且，所以，從而，平面.（2）解：方法一：取中點為中點為，連接，所以，因為，所以，因為中點為，所以，又，所以平面，因為平面，所以，又，所以為等腰直角三角形，又為中點，所以，又，所以平面，又平面，所以面面，過作垂直于，交于點，則面，過作垂直于，交于點，連接，則即為平面與平面所成角，不妨設，則在中，.在中，在中，所以所以平面與平面所成角的余弦值為.方法二：以中點為坐標原點，以所在直線為軸，平面內過點垂直于直線為軸，過點垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系如圖，設，則，則設，因為，則所以，不妨取，易得平面的一個一個法向量為設平面的一個法向量為則，即，不妨設，可得設平面與平面所成角為則故平面與平面所成角的余弦值為.17.已知橢圓的左右頂點分別為，點在橢圓上.點為直線上的動點，直線與直線的斜率之比為.（1）求橢圓方程；（2）橢圓的長軸上是否存在定點，使得直線與橢圓交于兩點，當點在直線上運動時，恒構成等差數列？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）設，且點，得，.由直線與直線的斜率之比為，得：又因為點在上，所以，，將代入，解得，所以的方程為.（2）當直線斜率為0時，分別為軸上兩個端點，此時，要滿足成立，則，此時點，點，猜想直線斜率不為0時，定點，當直線斜率不為0時，設由得，根據猜想有，此時，滿足也成立，所以綜上，橢圓的長軸上存在定點，使得直線與橢圓交于兩點時，恰好成等差數列.18.已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若有三個零點，①求的取值范圍；②判斷與的大小關系，并給出證明.解：（1）當時，，，則，所以，切點，則切線方程為.（2）①當時，即，則，且，若有三個零點等價于在上有且只有一個零點，令，則，函數的零點與有相同的零點，又在上零點情況等價于在上零點情況，，當時，，在上單調遞減，所以，在上無零點，不符合題意，當時，令，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以在有唯一零點，即在有唯一零點綜上所述，有三個零點時，；②由①知，時有三個零點，（其中），考慮，令，則，所以在上單調遞減，所以，即，所以，又函數在上為增函數，所以.19.依次投擲一枚骰子若干次，觀察向上一面的點數，表示在第次投擲后，前次的結果中出現種點數的概率，規定.記為第次投擲后出現的點數種類數（例如：投擲三次，向上一面點數分別為，則只有“3”“5”兩種點數，于是）.（1）求；（2）求的遞推關系式，并求；（3）求的數學期望（用含有的式子表示）.解：（1）.（2）記第次投擲后，前次的結果中出現種點數的概率為，則第次投擲后，前次的結果中出現種點數的概率為；記第次投擲后，前次的結果中出現種點數的概率為，則第次投擲后，前次的結果中出現種點數的概率為；故，，，，設，則，于是，得，，所以，所以，又也滿足上式，所以.（3）為第次投擲后出現的點數種類數，則，當時，，令，則，，所以是以為首項，為公比的等比數列，，即，.廣東省大灣區2025屆普通高中畢業年級聯合模擬考試（二）數學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.若集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故選：B.2.已知為虛數單位，復數，則（）A.B.的虛部為C.D.在復平面內對應的點在第四象限【答案】D【解析】所以，A錯誤；因為，所以虛部為，B錯誤；，C錯誤；在復平面內對應的點為在第四象限，故D正確.故選：D3.一組數據由小到大排列為，已知該組數據的分位數是9.5，則的值是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】因為，所以該組數據的分位數是第4、第5位數的平均數，所以，解得，故選：C.4.若，且，則的最小值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】因為，即，即，且，則，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.

故選：B5.已知向量，若向量與的夾角等于向量與的夾角，且向量與不共線，則向量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，設，所以，即，又因為向量與的夾角等于向量與的夾角，所以，即，解方程組解得或，所以或，又因為向量與不共線，所以.故選：A6.設函數滿足：，都有，且.記，則數列的前10項和為（）A.55 B.45 C. D.【答案】C【解析】令可得，再令可得，又因為，所以，再令可得，又因為，所以有，即是等比數列，則有首項，公比，所以，即，則，故選：C.7.從雙曲線上一點向該雙曲線的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據雙曲線具有的對稱性，不妨設雙曲線上第一象限的點，則由雙曲線可得漸近線方程為，即所以由點到直線的距離公式可得：由，由雙曲線上第一象限的點可知，所以上式可變形得，即，則代入雙曲線得：，則過點作漸近線的垂線可得方程為：，與漸近線聯立解得：，即得，再過點作漸近線的垂線可得方程為：，與漸近線聯立解得：，即得，所以，故選：A.8.若是三棱錐外接球的直徑，且，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取中點，連接，過點作，由條件可得均為等邊三角形，則，且，平面，所以平面，又平面，所以，且，平面，所以平面，又，則，且是三棱錐外接球的直徑，則，則，在中，由余弦定理可得，則，所以，則.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設函數，則（）A.函數為奇函數B.C.函數的值域為D.函數在其定義域上為增函數【答案】ABC【解析】，令，此函數定義域為，，故此函數為奇函數，A正確；；，B正確；，令，則，因為所以由二次函數性質可知，由反比例函數性質可知所以，即，所以函數的值域為，C正確；，令，，由二次函數單調性可知：當時隨的增大而增大，且由反比例函數單調性可知：隨增大而減小，故當當時即時為減函數，故D錯誤.故選：ABC10.已知函數的圖象是由函數的圖象向右平移個單位長度得到，則（）A.B.直線是曲線的對稱軸C.在區間內有兩個極值點D.曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為【答案】ABD【解析】對于A，，向右平移個單位長得度，故A正確；對打B，由A知，是曲線的對稱軸，故B正確；對于當時，在單調遞增，在單調遞減，sint在只有1個極值點，故只有1個極值點，故錯誤；對于D，的最小正周期為，而的距離為，所以圍成的矩形面積為又為軸對稱及中心對稱圖形，所圍成封閉圖形的面積為，故D還確.故選：ABD11.已知離散型隨機變量的分布列為.定義隨機變量為自然對數的底數，的分布列如下：隨機變量的數學期望稱為隨機變量的生成函數，記為.是函數在處的導數，則（）A.B.若服從兩點分布，，則C.若，則D.若實數為常數，則【答案】AD【解析】對于A，隨機變量的生成函數，則，當時，，所以A正確；對于B，服從兩點分布，，則生成函數為，所以B錯誤；對于C，，則生成函數為，所以C錯誤；對于D，對于線性變換的生成函數，所以D正確.故選：AD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設拋物線的焦點為，點在拋物線上且，則__________.【答案】2【解析】由題意可得，其準線方程為，設，因為，則為線段的中點，所以，即，由拋物線的定義可得.故答案為：213.若角的終邊經過點，則__________.【答案】【解析】根據已知條件可知：，則，故答案為：.14.已知是圓上兩個動點，點坐標為，若點滿足四邊形是矩形，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】如圖，連接，設與交于點．因為四邊形是矩形，則，．連接，在中，，所以，所以，即，所以，所以，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為的面積為，滿足.（1）求的值；（2）若，求的周長.解：（1），再利用面積公式，，即又由余弦定理，得，.，.（2）設的外接圓半徑為，，由正弦定理，得.，.，由正弦定理，得，所以，的周長為.16.如圖1，已知平面四邊形紙片.將該紙片沿對角線翻折，連接得到三棱錐，如圖2.（1）若，證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：方法一：（1）不妨設，由題意可知，.，根據余弦定理，得，所以.，.又且，平面，平面.方法二：（1）不妨設，由題意可知，.令，以構成空間的一個基底，則設是平面內任一向量，根據平面向量基本定理，得.由于，且，所以，從而，平面.（2）解：方法一：取中點為中點為，連接，所以，因為，所以，因為中點為，所以，又，所以平面，因為平面，所以，又，所以為等腰直角三角形，又為中點，所以，又，所以平面，又平面，所以面面，過作垂直于，交于點，則面，過作垂直于，交于點，連接，則即為平面與平面所成角，不妨設，則在中，.在中，在中，所以所以平面與平面所成角的余弦值為.方法二：以中點為坐標原點，以所在直線為軸，平面內過點垂直于直線為軸，過點垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標系如圖，設，則，則設，因為，則所以，不妨取，易得平面的一個一個法向量為設平面的一個法向量為則，即，不妨設，可得設平面與平面所成角為則故平面與平面所成角的余弦值為.17.已知橢圓的左右頂點分別為，點在橢圓上.點為直線上的動點，直線與直線的斜率之比為.（1）求橢圓方程；（2）橢圓的長軸上是否存在定點，使得直線與橢圓交于兩點，當點在直線上運動時，恒構成等差數列？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）設，且點，得，.由直線與直線的斜率之比為，得：又因為點在上，所以，，將代入，解得，所以的方程為.（2）當直線斜率為0時，分