高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省寧德市2025屆高三三模數學試題一?選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，則.故選：A2.復數滿足，則復數的共軛復數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為復數滿足，所以.將其化簡得：.根據復數的定義可求得共軛復數為.故選：B.3.設是兩個不同平面，是平面內的兩條不同直線.甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，是平面內的兩條不同直線，得不到，因為與可能相交，只要和的交線平行即可得到；反過來，若，是平面內的兩條不同直線，則和沒有公共點，所以由能得到，故甲是乙的必要不充分條件.故選：B.4.由如表所示的變量之間的一組數據，得之間的線性回歸方程為，則（）68101275.54.5A.點一定在回歸直線上B.每增加1個單位，大約增加0.5個單位C.D.去掉這組數據后，求得的回歸直線方程斜率將變大【答案】C【解析】由題意可得，，因為回歸直線方程一定過樣本中心點，所以，解得，故C正確；當，所以點不在回歸直線上，故A錯誤；每增加1個單位，大約減少0.5個單位，故B錯誤；當，所以在回歸直線上，故去掉點不影響回歸直線方程，故D錯誤.故選：C.5.已知的展開式中只有第3項的二項式系數最大.若展開式中所有項的系數和為16，則的值為（）A. B.1 C.或3 D.或1【答案】D【解析】因為的展開式中只有第3項的二項式系數最大，故，解得，依題意，令，有，解得或，故選：D.6.曲線在點處切線斜率的取值范圍為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，所以，即，令，當時，單調增，當時，單調減，又，當時，，故的解集為，故選：D.7.若函數在區間上的最小值為，最大值為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】AB選項，時，，其中，顯然的最小值為-2，只需內有即可，當時，取得最大值，最大值為，故，A錯誤，B正確；CD選項，同理最大值為2，只需內有即可，當時，取得最小值，最小值為，故，CD錯誤；故選：B8.已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于，兩點，若線段的中點在直線上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為：，設直線與的交點為，直線與的交點為，則解得，即，則解得，即，所以線段的中點為，因為點在直線上，所以，因為直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于，兩點，所以，即，化簡得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若直線與拋物線只有1個公共點，則拋物線的焦點坐標可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】當時，，拋物線方程為：.此時，該直線與拋物線只有一個交點，符合已知條件.那么拋物線的焦點坐標為：.當時，聯立直線與拋物線方程：.消去，整理得，進一步化簡得：因為直線與拋物線只有一個交點，所以判別式為0，即：，解得（舍去）或者.所以拋物線方程為：，此時焦點坐標為.故選：BC.10.如圖，在矩形中，中點，現分別沿將，翻折，使點重合，記為點，翻折后得到三棱錐，則（）A.B.三棱錐的體積為C.二面角的余弦值為D.三棱錐外接球的半徑為【答案】BCD【解析】由題意易知：，，所以，即不垂直，對于A，若，因為，為平面內兩條相交直線，可得：平面，又在平面內，，矛盾，故A錯誤，對于B，因為，為平面內兩條相交直線，所以平面，由，得到，所以，所以，正確，對于C：因為，為二面角的棱，分別在兩個面內，所以為二面角的平面角，又，故C正確，對于D，因為平面，外接圓的半徑為：，所以三棱錐外接球的半徑，正確，故選：BCD11.設函數，則（）A.當時，沒有零點B.當時，在區間上不存在極值C.存在實數，使得曲線為軸對稱圖形D.存在實數，使得曲線為中心對稱圖形【答案】ABC【解析】解法一：對A，函數的定義域為且，由得且.作出與的圖像，二者有唯一交點，不合題意，故沒有零點，故A正確.對B，由題，令，，因為，所以，又，所以，所以，則在上無極值，故B正確.對CD，令，因為，所以或，由對稱性可知，故若存在對稱軸或對稱中心，必在直線上.考慮，當時，，所以關于對稱，故C正確.考慮，所以不存在符合題意的常數，故D錯誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與的夾角為，則__________.【答案】1【解析】∵，∴，整理得，解得（舍），故答案為：1.13.設函數，則滿足的的取值范圍是__________.【答案】【解析】由可得，則，解得，所以定義域為，當時，，由可得，即，無解；當時，，由可得，即，即，解得，又，所以，即不等式的解集為.故答案為：14.已知數列共有項，其中項為，項為.若數列滿足對任意中的的個數不少于的個數，則稱數列為“規范數列”.當，時，“規范數列”的個數為__________，記表示數列是“規范數列”的概率，則的最小值為__________.【答案】①.5②.【解析】（1）當時，滿足要求的“規范數列”有；；；；；所以當，時，“規范數列”的個數為.（2），，時，具有“規范數列”數列特征的數列的個數為，當，，時，由已知數列共有項，其中項為，項為，所以滿足條件的數列的個數為，若數列為“規范數列”，則第一項為，若第一項為，第二項為時，“規范數列”個數為，當第一項為，第二項為，第三項必然為，此時“規范數列”個數為，所以.故，因為函數在上單調遞增，所以當時，取最小值，，故答案為：；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為.設向量，，記.（1）求函數的最大值；（2）若，求的面積.解：（1）因為，所以又因為，所以，所以，所以.（2）法一：由（1）知若，因為，所以，因為，所以，因為，由正弦定理知，所以，所以，所以.解法二：由（1）知.因為，所以，因為，所以，，，，，所以又因為，所以或，由正弦定理知，所以，.16.某地組織全市高中學生開展青少年勞動技能知識競賽，競賽分為筆試和操作兩部分，隨機抽取了100名高中學生的筆試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.（1）根據頻率分布直方圖，估計筆試成績的樣本平均數和第一四分位數.（2）用頻率估計概率，筆試成績在80分（含）以上記為良好.經統計，學生筆試等級為良好的情況下操作等級為良好的概率為0.8，學生筆試等級非良好的情況下操作等級為良好的概率為0.6.從全市所有高中學生中選取5人，記操作等級為良好的人數為，求的數學期望與方差.解：（1）設筆試成績樣本平均數為，第一四分位數（即下四分位數）為，則前一組頻率為，前兩組頻率之和為，所以第一四分位數（即下四分位數）落在第二組內，則，解得；（2）記“筆試成績等級良好”為事件，“操作成績等級為良好”為事件，依題意，，，，所以，則，所以，.17.如圖，平行四邊形中，，平面，是等邊三角形，平面平面.（1）求證：；（2）若直線和平面所成角為，為線段上一點，當平面和平面所成角的余弦值為時，求的長.（1）證明：取的中點，連結，.平面，，是等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面平面，，，，，共面，平行四邊形中，，平行四邊形為邊長為2的菱形，且在等邊中，，，四邊形為菱形，，，，而平面，平面，而平面，.（2）解：由（1）得，，平面，直線和平面所成角為，即，在中，，，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設，則，設是平面的一個法向量，而，則，取，則，，設是平面的一個法向量，而，則，，取，則，，，平面和平面所成角的余弦值為，，或（舍去），.18.已知，點.在上任取一點，線段的垂直平分線與線段相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與曲線相交于兩點.（i）若為原點，求面積的最大值；（ii）點，設點是線段上異于的一點，直線的斜率分別為，且，求的值.解：（1）因為線段的垂直平分線與半徑相交于點，所以.又因為，所以，所以，因為，，所以的軌跡是以為左右焦點的橢圓.所以，所以的方程為.（2）（i）方法一：設直線的方程為，點，，由消去得：，則，則或.，面積令，則，，當且，即時，面積的最大值為.方法二：顯然直線斜率存在且非零，設直線的方程為，點，，由消去得：，則，，則且，.點到直線的距離，所以面積.令，則，當，即時，的最大值為，所以面積的最大值為.方法三：顯然直線的斜率存在且非零，設直線的方程為，點，，由，消去得：，則，則且，.點到線的距離，所以面積.，即當時，有最大值為.（ii）因為，所以直線的傾斜角互補，所以，所以點在線段的垂直平分線上，所以.于是，，.，.，于是，因為，所以.所以的值1.19.設函數.（1）求函數值域；（2）當時，恒成立，求的最小值；（3）若，證明：.附：.（1）解：由，，得因為，則，即所以在區間遞減，即值域為（2）解：在區間上，由恒成立，得，設，當時，，故只需研究時的情形，設，在區間上，，所以，在區間上遞減，所以，即在區間上遞減，所以，所以，解得，故的最小值為1.（3）證明：由，，得即，所以由（1）可知，當時，，即，所以當，，當時，有，又由（2）知時，，所以所以，故，所以所以福建省寧德市2025屆高三三模數學試題一?選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，則.故選：A2.復數滿足，則復數的共軛復數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為復數滿足，所以.將其化簡得：.根據復數的定義可求得共軛復數為.故選：B.3.設是兩個不同平面，是平面內的兩條不同直線.甲：，乙：，則（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，是平面內的兩條不同直線，得不到，因為與可能相交，只要和的交線平行即可得到；反過來，若，是平面內的兩條不同直線，則和沒有公共點，所以由能得到，故甲是乙的必要不充分條件.故選：B.4.由如表所示的變量之間的一組數據，得之間的線性回歸方程為，則（）68101275.54.5A.點一定在回歸直線上B.每增加1個單位，大約增加0.5個單位C.D.去掉這組數據后，求得的回歸直線方程斜率將變大【答案】C【解析】由題意可得，，因為回歸直線方程一定過樣本中心點，所以，解得，故C正確；當，所以點不在回歸直線上，故A錯誤；每增加1個單位，大約減少0.5個單位，故B錯誤；當，所以在回歸直線上，故去掉點不影響回歸直線方程，故D錯誤.故選：C.5.已知的展開式中只有第3項的二項式系數最大.若展開式中所有項的系數和為16，則的值為（）A. B.1 C.或3 D.或1【答案】D【解析】因為的展開式中只有第3項的二項式系數最大，故，解得，依題意，令，有，解得或，故選：D.6.曲線在點處切線斜率的取值范圍為，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，所以，即，令，當時，單調增，當時，單調減，又，當時，，故的解集為，故選：D.7.若函數在區間上的最小值為，最大值為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】AB選項，時，，其中，顯然的最小值為-2，只需內有即可，當時，取得最大值，最大值為，故，A錯誤，B正確；CD選項，同理最大值為2，只需內有即可，當時，取得最小值，最小值為，故，CD錯誤；故選：B8.已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于，兩點，若線段的中點在直線上，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為：，設直線與的交點為，直線與的交點為，則解得，即，則解得，即，所以線段的中點為，因為點在直線上，所以，因為直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于，兩點，所以，即，化簡得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若直線與拋物線只有1個公共點，則拋物線的焦點坐標可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】當時，，拋物線方程為：.此時，該直線與拋物線只有一個交點，符合已知條件.那么拋物線的焦點坐標為：.當時，聯立直線與拋物線方程：.消去，整理得，進一步化簡得：因為直線與拋物線只有一個交點，所以判別式為0，即：，解得（舍去）或者.所以拋物線方程為：，此時焦點坐標為.故選：BC.10.如圖，在矩形中，中點，現分別沿將，翻折，使點重合，記為點，翻折后得到三棱錐，則（）A.B.三棱錐的體積為C.二面角的余弦值為D.三棱錐外接球的半徑為【答案】BCD【解析】由題意易知：，，所以，即不垂直，對于A，若，因為，為平面內兩條相交直線，可得：平面，又在平面內，，矛盾，故A錯誤，對于B，因為，為平面內兩條相交直線，所以平面，由，得到，所以，所以，正確，對于C：因為，為二面角的棱，分別在兩個面內，所以為二面角的平面角，又，故C正確，對于D，因為平面，外接圓的半徑為：，所以三棱錐外接球的半徑，正確，故選：BCD11.設函數，則（）A.當時，沒有零點B.當時，在區間上不存在極值C.存在實數，使得曲線為軸對稱圖形D.存在實數，使得曲線為中心對稱圖形【答案】ABC【解析】解法一：對A，函數的定義域為且，由得且.作出與的圖像，二者有唯一交點，不合題意，故沒有零點，故A正確.對B，由題，令，，因為，所以，又，所以，所以，則在上無極值，故B正確.對CD，令，因為，所以或，由對稱性可知，故若存在對稱軸或對稱中心，必在直線上.考慮，當時，，所以關于對稱，故C正確.考慮，所以不存在符合題意的常數，故D錯誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量與的夾角為，則__________.【答案】1【解析】∵，∴，整理得，解得（舍），故答案為：1.13.設函數，則滿足的的取值范圍是__________.【答案】【解析】由可得，則，解得，所以定義域為，當時，，由可得，即，無解；當時，，由可得，即，即，解得，又，所以，即不等式的解集為.故答案為：14.已知數列共有項，其中項為，項為.若數列滿足對任意中的的個數不少于的個數，則稱數列為“規范數列”.當，時，“規范數列”的個數為__________，記表示數列是“規范數列”的概率，則的最小值為__________.【答案】①.5②.【解析】（1）當時，滿足要求的“規范數列”有；；；；；所以當，時，“規范數列”的個數為.（2），，時，具有“規范數列”數列特征的數列的個數為，當，，時，由已知數列共有項，其中項為，項為，所以滿足條件的數列的個數為，若數列為“規范數列”，則第一項為，若第一項為，第二項為時，“規范數列”個數為，當第一項為，第二項為，第三項必然為，此時“規范數列”個數為，所以.故，因為函數在上單調遞增，所以當時，取最小值，，故答案為：；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為.設向量，，記.（1）求函數的最大值；（2）若，求的面積.解：（1）因為，所以又因為，所以，所以，所以.（2）法一：由（1）知若，因為，所以，因為，所以，因為，由正弦定理知，所以，所以，所以.解法二：由（1）知.因為，所以，因為，所以，，，，，所以又因為，所以或，由正弦定理知，所以，.16.某地組織全市高中學生開展青少年勞動技能知識競賽，競賽分為筆試和操作兩部分，隨機抽取了100名高中學生的筆試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示.（1）根據頻率分布直方圖，估計筆試成績的樣本平均數和第一四分位數.（2）用頻率估計概率，筆試成績在80分（含）以上記為良好.經統計，學生筆試等級為良好的情況下操作等級為良好的概率為0.8，學生筆試等級非良好的情況下操作等級為良好的概率為0.6.從全市所有高中學生中選取5人，記操作等級為良好的人數為，求的數學期望與方差.解：（1）設筆試成績樣本平均數為，第一四分位數（即下四分位數）為，則前一組頻率為，前兩組頻率之和為，所以第一四分位數（即下四分位數）落在第二組內，則，解得；（2）記“筆試成績等級良好”為事件，“操作成績等級為良好”為事件，依題意，，，，所以，則，所以，.17.如圖，平行四邊形中，，平面，是等邊三角形，平面平面.（1）求證：；（2）若直線和平面所成角為，為線段上一點，當平面和平面所成角的余弦值為時，求的長.（1）證明：取的中點，連結，.平面，，是等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面平面，，，，，共面，平行四邊形中，，平行四邊形為邊長為2的菱形，且在等邊中，，，四邊形為菱形，，，，而平面，平面，