高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省瀘州市2024屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)試題（文）第I卷（選擇題）一、選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以.

故選：A.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，由大角對大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當(dāng)時，，，由正弦定理可得，由大邊對大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C.4.在某校高中籃球聯(lián)賽中，某班甲、乙兩名籃球運動員在8場比賽中的單場得分用莖葉圖表示（如圖一），莖葉圖中甲的得分有部分數(shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖（如圖二）完好，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲得分的極差是18 B.乙得分的中位數(shù)是16.5C.甲得分更穩(wěn)定 D.甲的單場平均得分比乙低【答案】B【解析】對于甲，其得分的極差大于或等于，故A錯誤；從折線圖看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分數(shù)有3個，故其得分不穩(wěn)定，故C錯誤；乙的數(shù)據(jù)由小到大依次為：乙得分的中位數(shù)為，故B正確.乙得分的平均數(shù)為，從折線圖上，莖葉圖中甲的得分中丟失的數(shù)據(jù)為一個為，另一個可設(shè)為，其中，故其平均數(shù)為，故D錯誤.故選：B.5.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，定義域為，關(guān)于原點對稱，由，所以為奇函數(shù)，排除BD；當(dāng)時，，因為為上減函數(shù)，為上的增函數(shù)，則為上的減函數(shù)，且當(dāng)，，則當(dāng)，，故，排除A.故選：C.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為（）A.250 B.240 C.200 D.190【答案】C【解析】程序運行時，變量值變化如下：，，，不滿足；，，，不滿足；，，，滿足，輸出．故選：C．7.已知點P在橢圓C：上，C的左焦點為F，若線段的中點在以原點O為圓心，為半徑的圓上，則的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】因為橢圓C：所以該橢圓，，則，設(shè)橢圓的右焦點為，連接，記線段的中點為，連接，因為，所以，因為分別為的中點，所以，又，所以.故選：B.8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】因為（其中），又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，解得.故選：D9.定義域為的函數(shù)滿足，當(dāng)時，函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則方程的所有實數(shù)根之和為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】因為定義域為的函數(shù)滿足，即，所以是以為周期的周期函數(shù)，又，則，所以關(guān)于對稱，又，又，又當(dāng)時，函數(shù)，所以，則，令，即，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下所示：由圖可得與有個交點，交點橫坐標(biāo)分別為，且與關(guān)于對稱，與關(guān)于對稱，所以，，所以方程的所有實數(shù)根之和為.故選：D10.已知雙曲線的左，右兩個焦點分別為，，A為其左頂點，以線段為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點為,且，則的離心率（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，而以線段為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，結(jié)合，解得或，因為在第一象限，所以，又，則，而，，所以，所以，即，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.11.已知三棱錐底面是邊長為3的等邊三角形,且，，平面平面，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為三棱錐底面是邊長為3的等邊三角形，所以，則，設(shè)的外接圓的半徑分別為，則在等邊中，，在中，，所以，則，，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，因為平面平面，則，所以其外接球的表面積為.故選：D.12.已知，都是定義在上的函數(shù),對任意，滿足，且，則下列說法正確的是（）A. B.若，則C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱 D.【答案】D【解析】對于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，

可得，結(jié)合得，所以，故A錯誤；對于D，因為，令，代入已知等式得，

將，代入上式，得，所以函數(shù)為奇函數(shù).令，，代入已知等式，得，因為，所以，

又因為，所以，

因為，所以，故D正確；對于B，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：，，

兩式相加易得，所以有，

即，

有，

即，所以為周期函數(shù)，且周期為，

因為，所以，所以，，所以，

所以，故B錯誤；對于C，取，，滿足及，所以，又，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；故選：D.第II卷（非選擇題）二、填空題13.已知向量滿足，則___________.【答案】1【解析】因為，所以，所以，解得，故答案為：114.已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值等于______.【答案】【解析】如圖，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，可得在點處取得最大值，此時故答案為：.15.若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又時，時，又函數(shù)有零點，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：16.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為________．【答案】【解析】由余弦定理得，兩式相減得，因為，所以，由正弦定理得，即，所以，則，因為在中，不同時為，，故，所以，又，所以，則，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則的最大值為.故答案為：.三、解答題（一）必考題17.已知數(shù)列的前n項和為，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求．解：（1）因為，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，整理得，所以數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為;（2）因為，由題意得：，即，所以.18.如圖，為圓柱底面的內(nèi)接四邊形，為底面圓的直徑，為圓柱的母線，且．（1）求證：；（2）若，點在線段上，且，求四面體的體積．（1）證明：因為為底面圓的直徑，且，即，又，所以，所以，所以，又為圓柱的母線，即平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：在中、，所以，又，則，設(shè)，所以在中，，，所以，則，又，連接，所以，因為平面，平面，所以平面，又，所以，又平面，所以平面，又平面，平面，所以，，又，且，平面，所以平面，所以.19.某校為了讓學(xué)生有一個良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，特制定學(xué)生滿意度調(diào)查表，調(diào)查表分值滿分為100分．工作人員從中隨機抽取了100份調(diào)查表將其分值作為樣本進行統(tǒng)計，作出頻率分布直方圖如圖．（1）估計此次滿意度調(diào)查所得的平均分值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）在選取的100位學(xué)生中，男女生人數(shù)相同，規(guī)定分值在（1）中的以上為滿意，低于為不滿意，據(jù)統(tǒng)計有32位男生滿意．據(jù)此判斷是否有的把握認為“學(xué)生滿意度與性別有關(guān)”？（3）在（2）的條件下，學(xué)校從滿意度分值低于分的學(xué)生中抽取部分進行座談，先用分層抽樣的方式選出8位學(xué)生，再從中隨機抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．附：，其中．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖知，，所以此次滿意度調(diào)查中物業(yè)所得的平均分值為分.（2）由（1）及已知得列聯(lián)表如下：

不滿意滿意總計男183250女302050總計4852100則的觀測值為：，所以有的把握認為“業(yè)主滿意度與性別有關(guān)”.（3）由（2）知滿意度分值低于70分的學(xué)生有48位，其中男士18位，女士30位，用分層抽樣方式抽取8位學(xué)生，其中男士3位，女士5位，記男士為a，b，c，記女士為1，2，3，4，5，從中隨機抽取兩位的事件為：，共計28個基本事件，其中抽到男女各一人有，共15個基本事件，所以恰好抽到男女各一人概率為.20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若，，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）因為，則，所以，，所以曲線在點處的切線方程；（2）因為，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；不妨令，當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，所以，此時符合題意；當(dāng)，即時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，顯然在處取得極小值，此時極小值為，而，所以，要使，則必有，解得，故，綜上:的取值范圍是.21.設(shè)F為拋物線的焦點，點P在H上，點，若．（1）求的方程；（2）過點F作直線l交H于A、B兩點，過點B作x軸的平行線與H的準(zhǔn)線交于點C，過點A作直線CF的垂線與H的另一交點為D，直線CB與AD交于點G，求的取值范圍．解：（1）依題意，點的坐標(biāo)為，又，，所以點的橫坐標(biāo)為，由拋物線的定義得，所以，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，易知，設(shè)，則，故，因為的準(zhǔn)線為，因為直線平行于軸，所以點的坐標(biāo)為，則直線的斜率為，所以直線的斜率為，其方程為，因為點的縱坐標(biāo)為，所以點的橫坐標(biāo)為，所以，因為，則，所以，即的取值范圍是.（二）選考題選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線C交于A，B兩點，定點，若，求直線l的傾斜角．解：（1）將代入曲線的極坐標(biāo)方程中，得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即；（2）因為點在直線上，將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得，滿足，設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，由參數(shù)的幾何意義，不妨令，所以，當(dāng)時，，，所以，則，所以直線的傾斜角為.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）當(dāng)時,函數(shù)的最小值為,若，，均為正數(shù),且，求的最大值．解：（1）當(dāng)時，所以不等式等價于或或，解得或或，綜上可得不等式的解集為.（2）當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，又，，均為正數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，所以的最大值為.

四川省瀘州市2024屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)試題（文）第I卷（選擇題）一、選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，，所以.

故選：A.2.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，由大角對大邊可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理當(dāng)時，，，由正弦定理可得，由大邊對大角可得，必要性成立，“”是“”的充要條件.故選：C.4.在某校高中籃球聯(lián)賽中，某班甲、乙兩名籃球運動員在8場比賽中的單場得分用莖葉圖表示（如圖一），莖葉圖中甲的得分有部分數(shù)據(jù)丟失，但甲得分的折線圖（如圖二）完好，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲得分的極差是18 B.乙得分的中位數(shù)是16.5C.甲得分更穩(wěn)定 D.甲的單場平均得分比乙低【答案】B【解析】對于甲，其得分的極差大于或等于，故A錯誤；從折線圖看，甲的得分中最低分小于10，最高分大于或等于28，且大于或等于20的分數(shù)有3個，故其得分不穩(wěn)定，故C錯誤；乙的數(shù)據(jù)由小到大依次為：乙得分的中位數(shù)為，故B正確.乙得分的平均數(shù)為，從折線圖上，莖葉圖中甲的得分中丟失的數(shù)據(jù)為一個為，另一個可設(shè)為，其中，故其平均數(shù)為，故D錯誤.故選：B.5.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，定義域為，關(guān)于原點對稱，由，所以為奇函數(shù)，排除BD；當(dāng)時，，因為為上減函數(shù)，為上的增函數(shù)，則為上的減函數(shù)，且當(dāng)，，則當(dāng)，，故，排除A.故選：C.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為（）A.250 B.240 C.200 D.190【答案】C【解析】程序運行時，變量值變化如下：，，，不滿足；，，，不滿足；，，，滿足，輸出．故選：C．7.已知點P在橢圓C：上，C的左焦點為F，若線段的中點在以原點O為圓心，為半徑的圓上，則的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】因為橢圓C：所以該橢圓，，則，設(shè)橢圓的右焦點為，連接，記線段的中點為，連接，因為，所以，因為分別為的中點，所以，又，所以.故選：B.8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】因為（其中），又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，解得.故選：D9.定義域為的函數(shù)滿足，當(dāng)時，函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則方程的所有實數(shù)根之和為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】因為定義域為的函數(shù)滿足，即，所以是以為周期的周期函數(shù)，又，則，所以關(guān)于對稱，又，又，又當(dāng)時，函數(shù)，所以，則，令，即，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下所示：由圖可得與有個交點，交點橫坐標(biāo)分別為，且與關(guān)于對稱，與關(guān)于對稱，所以，，所以方程的所有實數(shù)根之和為.故選：D10.已知雙曲線的左，右兩個焦點分別為，，A為其左頂點，以線段為直徑的圓與C的漸近線在第一象限的交點為,且，則的離心率（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】因為雙曲線的漸近線方程為，而以線段為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，結(jié)合，解得或，因為在第一象限，所以，又，則，而，，所以，所以，即，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.11.已知三棱錐底面是邊長為3的等邊三角形,且，，平面平面，則其外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為三棱錐底面是邊長為3的等邊三角形，所以，則，設(shè)的外接圓的半徑分別為，則在等邊中，，在中，，所以，則，，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，因為平面平面，則，所以其外接球的表面積為.故選：D.12.已知，都是定義在上的函數(shù),對任意，滿足，且，則下列說法正確的是（）A. B.若，則C.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱 D.【答案】D【解析】對于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，

可得，結(jié)合得，所以，故A錯誤；對于D，因為，令，代入已知等式得，

將，代入上式，得，所以函數(shù)為奇函數(shù).令，，代入已知等式，得，因為，所以，

又因為，所以，

因為，所以，故D正確；對于B，分別令和，代入已知等式，得以下兩個等式：，，

兩式相加易得，所以有，

即，

有，

即，所以為周期函數(shù)，且周期為，

因為，所以，所以，，所以，

所以，故B錯誤；對于C，取，，滿足及，所以，又，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；故選：D.第II卷（非選擇題）二、填空題13.已知向量滿足，則___________.【答案】1【解析】因為，所以，所以，解得，故答案為：114.已知實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值等于______.【答案】【解析】如圖，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，可得在點處取得最大值，此時故答案為：.15.若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為，又，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又時，時，又函數(shù)有零點，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：16.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為________．【答案】【解析】由余弦定理得，兩式相減得，因為，所以，由正弦定理得，即，所以，則，因為在中，不同時為，，故，所以，又，所以，則，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，則的最大值為.故答案為：.三、解答題（一）必考題17.已知數(shù)列的前n項和為，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求．解：（1）因為，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，整理得，所以數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為;（2）因為，由題意得：，即，所以.18.如圖，為圓柱底面的內(nèi)接四邊形，為底面圓的直徑，為圓柱的母線，且．（1）求證：；（2）若，點在線段上，且，求四面體的體積．（1）證明：因為為底面圓的直徑，且，即，又，所以，所以，所以，又為圓柱的母線，即平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.（2）解：在中、，所以，又，則，設(shè)，所以在中，，，所以，則，又，連接，所以，因為平面，平面，所以平面，又，所以，又平面，所以平面，又平面，平面，所以，，又，且，平面，所以平面，所以.19.某校為了讓學(xué)生有一個良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，特制定學(xué)生滿意度調(diào)查表，調(diào)查表分值滿分為100分．工作人員從中隨機抽取了100份調(diào)查表將其分值作為樣本進行統(tǒng)計，作出頻率分布直方圖如圖．（1）估計此次滿意度調(diào)查所得的平均分值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）在選取的100位學(xué)生中，男女生人數(shù)相同，規(guī)定分值在（1）中的以上為滿意，低于為不滿意，據(jù)統(tǒng)計有32位男生滿意．據(jù)此判斷是否有的把握認為“學(xué)生滿意度與性別有關(guān)”？（3）在（2）的條件下，學(xué)校從滿意度分值低于分的學(xué)生中抽取部分進行座談，先用分層抽樣的方式選出8位學(xué)生，再從中隨機抽取2人，求恰好抽到男女生各一人的概率．附：，其中．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖知，，所以此次滿意度調(diào)查中物業(yè)所得的平均分值為分.（2）由（1）及已知得列聯(lián)表如下：

不滿意滿意總計男183250女302050總計4852100則的觀測值為：，所以有的把握認為“業(yè)主滿意度與性別有關(guān)”.（3）由（2）知滿意度分值低于70分的學(xué)生有48位，其中男士18位，女士30位，用分層抽樣方式抽取8位學(xué)生，其中男士3位，女士5位，記男士為a，b，c，記女士為1，2，3，4，5，從中隨機抽取兩位的事件為：，共計28個基本事件，其中抽到男女各一人有，共15個基本事件，所以恰好抽到男女各一人概率為.20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若，，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）因為，則，所以，，所以曲線在