數學第15章概率章末復習提升課01體系構建02綜合提高03素養提升04輕松闖關體系構建主題1隨機事件與樣本空間一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球(標號為1和2)，2個綠色球(標號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．設事件R1為“第一次摸到紅球”，R2為“第二次摸到紅球”，R為“兩次都摸到紅球”，G為“兩次都摸到綠球”，M為“兩個球顏色相同”，N為“兩個球顏色不同”．綜合提高(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；(2)事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關系？(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關系？【解】

(1)所有的試驗結果如圖所示，用數組(x1，x2)表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，事件R1為“第一次摸到紅球”，即x1＝1或x1＝2，于是R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；事件R2為“第二次摸到紅球”，即x2＝1或x2＝2，于是R2＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}．同理，有R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}，N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}．(2)因為R?R1，所以事件R1包含事件R；因為R∩G＝?，所以事件R與事件G互斥；因為M∪N＝Ω，M∩N＝?，所以事件M與事件N互為對立事件．(3)因為R∪G＝M，所以事件M是事件R與事件G的并事件；因為R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1與事件R2的交事件．在寫試驗的樣本空間時主要利用枚舉法，可以結合圖表或樹形圖，而對于判斷和事件、積事件、互斥對立事件時，主要利用它們的定義和各自的特點來判斷．

在拋擲骰子的試驗中，記一顆骰子向上的點數為樣本點，則樣本空間Ω＝{1，2，3，4，5，6}，Ω的子集可以確定一系列隨機事

件．(1)此隨機試驗中的樣本點有哪些？(2)設事件D＝{出現的點數大于3}，如何用樣本點表示事件D?(3)設事件D＝{出現的點數大于3}，事件E＝{出現的點數小于5}，如何用樣本點表示事件D∩E?解：(1)樣本點有C1＝(1)，C2＝(2)，C3＝(3)，C4＝(4)，C5＝(5)，C6＝(6)，共6個．(2)事件D可由樣本點的和表示，即D＝{4，5，6}＝C4＋C5＋C6.(3)D∩E＝{4，5，6}∩{1，2，3，4}＝{4}＝C4.所以表示事件D∩E的樣本點為(4).主題2互斥事件、對立事件的概率某學校在教師外出家訪了解家長對孩子的學習關心情況活動中，一個月內派出的教師人數及其概率如下表所示：

求：(1)有4人或5人外出家訪的概率；(2)求至少有3人外出家訪的概率．派出人數≤2345≥6概率0.10.460.30.10.04【解】

設“派出2人及以下外出家訪”為事件A，“派出3人外出家訪”為事件B，“派出4人外出家訪”為事件C，“派出5人外出家訪”為事件D，“派出6人及以上外出家訪”為事件E.(1)有4人或5人外出家訪的事件為事件C或事件D，C與D為互斥事件，根據互斥事件概率的加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家訪的對立事件為有2人及以下外出家訪，所以由對立事件的概率公式可知所求概率為P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.受轎車在保修期內的維修費等因素的影響，企業生產每輛轎車的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關．某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車，甲品牌轎車保修期為3年，乙品牌轎車保修期為2年，現從該廠已售出的兩種品牌的轎車中分別隨機抽取50輛，統計出在保修期內首次出現故障的車輛數據如下：品牌甲乙首次出現故障的時間x(年)0<x≤11<x≤22<x≤3x>30<x≤11<x≤2x>2轎車數量(輛)213442345(1)從該廠生產的甲種品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率；(2)從該廠生產的乙種品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現故障發生在保修期內的概率．(注：將頻率視為概率)主題3古典概型2020年新冠肺炎疫情期間，廣大醫務工作者白衣執甲，逆行出征，為保護人民生命健康做出了重大貢獻．某醫院的呼吸科、急診科、免疫科分別有4名、2名、2名醫生主動請纓，申請進入隔離病房參與救治工

作．現醫院根據需要選派2名醫生進入隔離病房工作．(1)求選派的2名醫生來自同一個科室的概率；(2)求選派的2名醫生中至少有1名呼吸科醫生的概率．【解】

設呼吸科的4名醫生分別記為Ai(i＝1，2，3，4)，急診科的2名醫生分別記為Bj(j＝1，2)；免疫科的2名醫生分別記為Ck(k＝1，2).現從這8名醫生中選派2名醫生，所有的選派方法有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(A3，C2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，C1)，(A4，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)共28個樣本點．求解古典概型概率“四步”法將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數，事件A：“兩數之和為8”，事件B：“兩數之和是3的倍數”，事件C：“兩個數均為偶數”．(1)寫出該試驗的樣本空間Ω，并求事件A發生的概率；(2)求事件B發生的概率；(3)事件A與事件C至少有一個發生的概率．主題4事件的相互獨立性

隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經成為現代人“必考”證件之一．若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試，在每一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試的機會(這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試，或5次都沒有通過，則需要重新報名)，其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費．某駕校通過幾年的資料統計，得到如下利用相互獨立事件求復雜事件概率的解題思路(1)將待求復雜事件轉化為幾個彼此互斥的簡單事件的和．(2)將彼此互斥的簡單事件中的簡單事件，轉化為幾個已知(易求)概率的相互獨立事件的積事件．(3)代入概率的積、和公式求解．

1．袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現從中取出兩個球．設事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一個黑球”，則下列結論正確的是(

)A．P與R是互斥事件B．P與Q是對立事件C．Q和R是對立事件D．Q和R是互斥事件，但不是對立事件√素養提升解析：袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個，現從中取出兩個球，取球的方法共有如下幾類：①取出的兩球都是黑球；②取出的兩球都是白球；③取出的球一黑一白．事件R包括①③兩類情況，所以事件P是事件R的子事件，故A不正確；事件Q與事件R互斥且對立，所以選項C正確，選項D不正確；事件P與事件Q互斥，但不是對立事件，所以選項B不正確．故選C．2．某商場為了迎接周年慶開展抽獎活動，獎項設置一等獎、二等獎、三等獎，其他都是幸運獎．設事件A＝{抽到一等獎}，事件B＝{抽到二等獎}，事件C＝{抽到三等獎}，且已知P(A)＝0.1，P(B)＝0.25，P(C)＝0.4，則事件“抽到三等獎或者幸運獎”的概率為(

)A．0.35

B．0.25

C．0.65

D．0.6√解析：設事件D＝{抽到幸運獎}，則由題意知事件A，B，C，D互為互斥事件，記事件M＝{抽到三等獎或者幸運獎}，則P(M)＝P(C∪D)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.1－0.25＝0.65.故選C．3．甲、乙兩顆衛星同時獨立的監測臺風．在同一時刻，甲、乙兩顆衛星準確預報臺風的概率分別為0.8和0.75，則在同一時刻至少有一顆衛星預報準確的概率為(

)A．0.95 B．0.6C．0.05 D．0.4√解析：方法一：在同一時刻至少有一顆衛星預報準確可分為：①甲預報準確，乙預報不準確；②甲預報不準確，乙預報準確；③甲預報準確，乙預報準確．這三個事件彼此互斥，故至少有一顆衛星預報準確的概率為0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.方法二：“在同一時刻至少有一顆衛星預報準確”的對立事件是“在同一時刻兩顆衛星預報都不準確”，故至少有一顆衛星預報準確的概率為1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.4．某校為了了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學生，并獲得了他們一