案例六——時域采樣定理沒你想象的那么簡單內容概要案例設置目的相關基礎理論情境任務及步驟低通信號采樣定理探究帶通信號采樣定理探究思考題總結報告要求案例設置目的通過原理仿真，深刻理解低通信號采樣定理和帶通信號采樣定理的準確含義，及其普適性和一致性。同時，熟悉在MATLAB平臺下實現周期延拓的方法，了解實證法研究事物內在規律的方法。相關基礎理論1．低通信號采樣定理奈奎斯特采樣定理，較為常用的描述是：若模擬信號xa(t)是帶限信號，即|f|>fH，

Xa(jfH)=0，其中Xa(jf)=FT[xa(t)]，FT表示傅里葉變換，fH為信號的最高頻率，則當采樣速率Fs

2fH時，可以用采樣得到的信號重建原模擬信號xa(t)，否則無法實現重建。如圖6.1(a)所示，對模擬信號xa(t)的采樣，在數學上描述為xa(t)與開關信號s(t)相乘。為理論分析簡便，開關信號s(t)被簡化為以T為周期的沖擊串，即（6.1）其中g(t)為門函數，τ表示開關導通時間或門函數的寬度，T為開關的通斷間隔或采樣間隔。采樣得到的離散時間信號xs(t)可以表示為（6.2）離散時間信號xs(t)、原模擬信號xa(t)與開關信號s(t)的頻譜關系為（6.3）其中Xs(jf)=FT[xs(t)]，S(jf)=FT[s(t)],“

”表示卷積運算，Fs表示采樣速率，與T的關系為Fs=1/T。

圖6.1采樣開關及其數學描述相關基礎理論為了圖示奈奎斯特采樣定理的結論，很多教科書將帶限的模擬信號xa(t)的頻譜做了類似圖6.2(a)的假設。確實這種情況下以Fs=2fH的采樣速率對信號xa(t)進行采樣，得到的頻譜如圖6.2(b)所示，頻譜在周期延拓過程中，由于Xa(jf)相鄰的兩次移位之間僅有1點的重疊，而這點的幅度為0，因此疊加的結果不變，因此用圖6.3所示截止頻率在Fs/2理想低通濾波器對Xs(jf)進行濾波時，得到的頻譜與原模擬信號xa(t)的頻譜完全相同，即在此情況下完全可以精準重建信號xa(t)。若將帶限的模擬信號xa(t)的頻譜做了類似圖6.4的假設，同樣以Fs=2fH的采樣速率對信號xa(t)進行采樣，得到的頻譜會是什么樣呢？是否會產生失真呢？這樣也是本案例要探究的一個題目。

圖6.2采樣前后頻譜圖6.3理想低通濾波器幅頻響應圖器圖6.4帶限信號幅頻特性圖相關基礎理論帶通信號也是一種帶限信號，從頻譜看帶通信號的非零值區間為[-fL,-fH]

[fL,fH]，此區間之外頻譜分量的幅度值為0，其中fL和fH分別為信號正頻率頻帶的下界頻率和上界頻率，且有fH≥fL>0，帶通信號帶寬B=fH-fL。24GHz的車載雷達有兩種工作模式，分別是帶寬為250MHz（24.0~24.25GHz）的窄帶（NB）模式，和帶寬為5GHz（21.65~26.65GHz）的超寬帶（UWB）模式。信號的帶寬相對較小，因此此時按照Fs

2fH選擇采樣速率，Fs

會非常高，高到無法工程實現的地步。

（5.1）

圖6.5車載雷達兩種模式相關基礎理論傳統的帶通信號采樣定理認為，只要采樣速率Fs不低于帶通信號帶寬的2倍，就可以用離散時間信號進行重建，而且有些教材提出最低采樣速率取2~4B即可。陸續有學者指出傳統帶通信號采樣定理存在的一些問題。J.D.Gaskell、楊福生等分別指出傳統帶通信號采樣定理的描述并不準確，甚至出現誤導，指出通常認為帶通信號的最低采樣率在帶寬的2~4倍之間的結論，只是必要條件,不是充分條件，容許的采樣率還要受約束:2fH/N

Fs

2fL/(N-1)，其中N為不超過fH/B的最大正整數。RodneyG.Vanghan等提出了通帶位置的概念，并指出最小采樣速率Fs=2B只有在fH是B的整倍數時才成立。關于帶通信號欠采樣速率的可容許范圍也是本案例研究的一個重要內容。

（5.1）

相關基礎理論為展示傳統采樣定理所描述的采樣速率最低可取為帶寬的兩倍情形，圖6.7和圖6.8均假設信號頻譜在頻帶上下界處的幅度為0，且兩種情況都是信號最高頻率是頻帶寬度整數倍的情況，圖6.6是偶數倍（4倍），圖6.7是奇數倍（5倍）。

圖6.6四倍于信號帶寬的信號采樣Fsa=8BFsb=6BFsc=5BFsd=4BFse=3BFsf=2BFsx表示圖x情況下的采樣頻率，x=a,b,c,d,e,f,g,Fsg=B頻譜延拓過程中出現混疊相關基礎理論為展示傳統采樣定理所描述的采樣速率最低可取為帶寬的兩倍情形，圖6.7和圖6.8均假設信號頻譜在頻帶上下界處的幅度為0，且兩種情況都是信號最高頻率是頻帶寬度整數倍的情況，圖6.6是偶數倍（4倍），圖6.7是奇數倍（5倍）。

圖6.7五倍于信號帶寬的信號采樣采樣前后頻譜Fsa=8BFsb=7BFsc=6BFsd=5BFse=4BFsf=3BFsg=2BFsx表示圖x情況下的采樣頻率，x=a,b,c,d,e,f,g,頻譜延拓過程中出現混疊相關基礎理論當信號最高頻率不滿足帶寬整倍數時，你將看到類似圖6.9這樣的可選采樣速率范圍。圖中標記為SectionI、II和III這樣的夾角區域，分別是2fH/n

Fs

2fL/(n-1)中n=2,3,4時對應的可選采樣速率范圍。

情境任務及步驟、低通信號采樣定理探究1.生成低通模擬信號頻譜設fH=20，f

[-fH~fH]，Xf1=fH-|f|。其中Xf1表示低通模擬信號的幅度譜，即Xf1=|Xa(jf)|。對f進行離散化時，建議步進選擇1或0.5。2.生成采樣后信號頻譜對模擬信號的幅度譜進行周期延拓。生成周期延拓信號Xsf，Xsf的定義參照式(6.3)，即Xsf=

┅+Xf1(f+2Fs)+Xf1(f+Fs)+Xf1(f)+Xf1(f-Fs)+Xf1(f-2Fs)+┅，建議Fs取fH,3fH/2,2fH,5fH/2這幾個值。1）生成原模擬信號的各次移位選定一個采樣速率Fs，生成原信號頻譜的移位形式，要求頻譜的左右移位至少各生成4個。以頻譜左移為例，要生成Xf1(f+Fs)、Xf1(f+2Fs)、Xf1(f+3Fs)、Xf1(f+4Fs)。2）觀察是否有頻譜混疊發生在同樣的頻率范圍區間顯示原信號頻譜及左右各次移位的頻譜，并觀察有無頻譜混疊發生。以生成4次左右移位為例，頻率范圍可以選定為-5Fs~5Fs。可能用到的函數包括plot、axis、grid。情境任務及步驟3）生成周期延拓信號Xsf按照Xsf定義將原信號頻譜與頻譜的各次移位相加，得到周期延拓信號。而后，在新的圖形窗口顯示周期延拓信號，并觀察有無混疊失真發生。3.探究混疊失真與Fs大小的關系改變Fs，重復步驟2的1)~3)，歸納總結無失真采樣的條件。由于傅里葉變換是線性變換，因此只要頻域內頻譜沒有失真，則時域就不會出現失真。4.挑戰經典1）更換帶限信號設fH=20，f

[-fH~fH]，Xf2=|f|，Xf2表示低通模擬信號的幅度譜。2）生成采樣后頻譜要求Fs取2fH,5fH/2,3fH這幾個值，重復執行步驟2的1)~3)，探究混疊失真與Fs的關系。情境任務及步驟二、帶通信號采樣定理探究1.設定上界頻率與帶寬探究頻帶位置與采樣頻率的關系，可以選擇帶寬B不變，帶通信號頻帶上界頻率fH變化，或者帶通信號頻帶上界頻率不變，改變帶寬B，這里采取后者。建議設定fH=10000Hz，帶寬B從500（fH×5%）變化到5000（fH×50%），步進1%fH。2.設定采樣頻率預選范圍根據設定的上界頻率fH和帶寬B，確定對應的頻帶下限fL。設定Fs預選變化范圍為B~2fH-2B，步進為10。3.篩選當前帶寬B下可用Fs1）確定頻譜左右移位后頻帶左右邊界的具體坐標建議各用一個矩陣分別存儲原頻譜正頻帶左移和負頻帶右移后頻帶左邊界的坐標，比如前者記為LBoundarySHL，后者記為LBoundarySHR。情境任務及步驟2）確定頻帶移位是否出現頻帶重疊可以先將兩矩陣中記錄的頻帶左邊界坐標，按照從小到大的順序排列，而后將排序后的坐標矩陣對減，若對減后每個差值都不小于對應的帶寬B，則可以確定該采樣頻率不會導致頻段重疊。3）確定可用Fs集合記錄2）中不會造成頻帶重疊的Fs，并遍歷Fs整個預選變化范圍，重復1）~3）。4.篩選不同帶寬B下可用Fs遍歷步驟1中設定的所有帶寬取值，重復步驟2~3，確定不同帶寬下可用的Fs集合。特別提示：因每種帶寬下可用采樣速率Fs的個數不同，建議用元包數組進行存儲，同時存儲當前的帶寬B的值及對應的各可用Fs值。情境任務及步驟5.結果探究1）圖示結果在新的圖形窗口中，以fH/B為橫軸，Fs/B為縱軸，畫出不同帶寬下可用采樣速率的取值范圍。為更加直觀判斷帶通信號采樣速率在Fs=2~4B時可實現無失真采樣結論的普適性，建議畫圖加網格線基礎上，畫出Fs/B=2,3,4的參考線。特別提示：為避免MATLAB畫圖函數自動實現內插，要求用stem函數畫fH/B~Fs/B圖，不能用plot函數，參考線用plot函數畫。2）結論印證根據理論公式2fH/N

Fs

2fL/(N-1)，其中N為不超過fH/B的最大正整數，以虛線形式畫出fH/B~Fs/B圖。思考題1.在探究低通信號和帶通信號采樣定理的過程中，進行周期延拓時只考慮了幅度譜，卻未考慮相位譜，這里不考慮信號的相位譜，從判斷是否有頻譜混疊的角度看是否有影響？2.在探究帶通信號采樣定理過程中，原信號頻譜并未特別指定是類似圖6.2(a)形式的帶限信號，還是圖6.3(b)形式帶限信號，對探究結果是否有影響呢？請參照低通信號采樣定理探究進行分析。3.單音信號，比如我國市電是50Hz的單音信號，是一類非常特殊的帶限信號，信號帶寬為零，能否用2倍信號頻率進行無失真采樣呢？總結報告要求（1）情境任務總結報告中相關基礎理論部分可以不寫，書寫情境任務時可適當進行歸納和總結，但至少