案例二十九——IIR數字濾波器的結構內容概要案例設置目的相關基礎理論情境任務及步驟原理初探不同結構實際系統測試思考題總結報告要求案例設置目的通過實驗直觀理解各種結構IIR數字濾波器的時間效率；理解IIR濾波器各種結構的特點及實現方法；掌握用MATLAB實現IIR數字濾波器各種結構的方法及各種結構濾波器的使用。相關基礎理論數字濾波器作為一個重要的數據處理系統或功能模塊，從設計到應用一般都要經過這樣的過程：（1）設計IIR或FIR濾波器得到系統函數H(z)（多項式系數矩陣b和a表示或零極點矩陣z、p、k表示）或單位脈沖響應h(n)；（2）選擇合適的濾波器結構，用硬件或軟件實現所設計的濾波器；（3）讓數據通過濾波器，或將濾波處理施加于數據x。在MATLAB環境下，有些設計工具能直接生成滿足性能指標的指定結構的濾波器，如FDATool。從時域看，數字濾波器對信號的處理通常可以用以下兩種形式表示：（29.1）（29.2）相關基礎理論式（29.1）將n時刻的輸出表示成了系統的單位脈沖響應h(n)與輸入x(n)的卷積，卷積運算本身就是濾波器實現的一種方式，僅涉及加法、乘法和延遲等簡單運算。式（29.2）將n時刻的輸出表示為有限項的乘加運算。濾波器結構對于濾波器的實現而言至關重要，它直接決定著資源占用的多少、實現誤差的大小、處理的實時性等。觀察式（29.1）和（29.2）可知，數字濾波器的實現需要乘法器、加法器和存儲器等資源，結構不同資源的消耗也不一樣，比如對于IIR濾波器而言，直接Ⅱ型用的延時單元最少；對于FIR濾波器而言，線性相位結構使用的乘法器可以減半。量化是一非線性過程，不同的濾波器結構量化的對象不同，量化誤差的積累方式也不同，比如級聯型結構就對舍入誤差較為敏感。串行結構中處理是順次進行的，處理工作不便同時展開，而并行結構可以充分利用CPU的并行處理能力，實現實時性大為提高，因此在速度要求高的場合，往往不選擇遞歸結構的IIR濾波器，而是要選擇非遞歸結構的FIR濾波器。相關基礎理論1．直接I型（Direct-formI）設式（29.2）描述的為LTI系統，系統的單位脈沖響應為h(n)，系統函數為H(z)，對差分方程兩端進行雙邊Z變換并整理可得（29.3）其中由式（29.2）可知，系統在n時刻的輸出y(n)是由當前時刻的輸入、所有前M時刻輸入以及所有前N時刻的輸出共同決定的，它們各自對輸出y(n)的貢獻分別由系數矩陣b和a共同決定。將差分方程描述的輸入與輸出的關系直接用信號流圖表示，即可以得到如圖29.1所示的形式，該濾波器結構又稱為直接I型。相關基礎理論圖29.1所示的信號流圖中左半部分（左側虛框內的網絡）對應的子系統函數為H1(z)，因此該部分又稱為零點網絡，由信號流圖中的前向支路構成。相應地，圖29.1所示的信號流圖中右半部分對應的子系統函數為H2(z)，稱為極點網絡，由信號流圖中的反饋支路構成。濾波器實現時，量化器量化的對象是系統函數H(z)的多項式系數矩陣b和a。相關基礎理論2．直接II型（Direct-formII）將式（29.3）改寫為（29.4）即在用信號流圖表示系統函數時，要將H2(z)描述的極點網絡置于H1(z)描述的零點網絡左側，如此得到濾波器的直接II型結構，如圖29.2所示。圖29.2（a）和圖29.2（b）完全等價，后者是前者等值節點合并的結果，合并后使得延遲單元的使用個數減少，當M與N接近時，延遲單元可以節省近1/2。相關基礎理論根據信號流圖轉置定理（將信號流圖中所有支路倒向，增益不變；然后調換輸入、輸出符號，則系統函數不變），直接I型和直接II型都可以得到相應的轉置型，分別為Direct-formITransposed和Direct-formIITransposed，這里不再畫出這兩種結構圖。相關基礎理論3．級聯型（CascadedForm）將式（29.3）中的系統函數的分子和分母都分解成z

1的一次因式，可得到：（29.5）由式（29.5）易知系統函數的所有零點zk和所有極點pk的值，若直接對zk和pk進行量化，能及早發現因量化致使極點移動到Z平面單位圓的情況，以便及時進行調整。為了避免存儲復數系數造成的存儲空間消耗，將式（29.5）中以共軛成對的零點（極點）為根的一次因式進行組合，則可得到z

1的實系數二次因式，此時式（29.5）中的分子和分母變成了一次因式和二次因式的乘積，可改寫為子系統函數的級聯型：（29.6）其中b0k，b1k，b2k，a1k，a2k都為實數。式（29.6）中的每個乘積項都具有二階基本節（SecondOrderSection,SOS）的形式，系統函數H(z)展開為SOS的乘積或級聯，每個SOS都具有圖29.3所示的信號流圖形式。相關基礎理論IIR濾波器的一般級聯型結構圖如圖29.4所示。因每個基本節只與數字系統的某一對零極點的網絡或一個零點和一個極點的網絡相關聯，量化導致的不穩定比較容易避免，因此SOS抗量化誤差能力較直接型要好，所以實際中多選用這種結構。級聯型結構的不足之處是前級的誤差會傳遞到后級，造成誤差逐級積累。圖29.3二階網絡結構圖29.4IIR系統的級聯型結構相關基礎理論4．并聯型（ParalleledForm）級聯型結構是將系統函數H(z)展開為SOS的形式，而并聯型結構是將H(z)展開為部分分式（PartialFraction）的形式。設H(z)除在原點處能有多重極點外，在Z平面上其他點處僅能有一階極點，此時對H(z)進行部分分式展開可得（29.7）當式（29.2）中M<N時，式（29.7）中ki全部為零，i=1,2,…,M

N+1。同樣為避免存儲復極點系數，對式（29.7）中以共軛成對的極點為根的部分分式進行組合得到：（29.8）式中L1+2L2=N。這樣就可以用L1個一階網絡、L2個二階網絡、以及常數系數和帶增益的純延遲網絡并聯起來組成濾波器的系統函數H(z)。相關基礎理論圖29.5所示IIR濾波器并聯型結構實現的一般形式。這種結構的特點是，量化作用可直接作用到極點，但對零點的影響卻沒那么直接。另外，并行結構各基本節的誤差互不影響，量化誤差不會在各級之間傳播，而且還可以充分利用CPU的并行處理能力。圖29.5并聯型結構情境任務及步驟一、原理初探已知一個由系統函數H(z)描述的IIR系統，即1．畫直接型結構圖根據系統函數H(z)畫出IIR系統的直接II型結構圖、直接II型的轉置型結構圖。2．畫級聯型結構圖根據級聯型網絡結構圖的定義，該任務可以劃分成兩個子任務。1）確定零極點分布確定系統函數H(z)的零極點分布，并畫圖表示。系統函數H(z)的零極點可以直接手動計算，也可以通過調用函數tf2zpk求得。畫零極點分布圖可以通過調用函數zplane實現。情境任務及步驟2）畫級聯型結構圖合并共軛成對的零點和極點，合成SOS（SecondOrderSection），并用信號流圖表示。（1）純手工。根據已得到的系統函數H(z)的零極點，確定有無共軛成對的零點或極點。若有，則將以每個共軛零（極）點對為根的z

1的一次因式組合成實系數的二次因式。逐個畫出每個子網絡對應的信號流圖，且將信號流圖級聯（串聯）。（2）半自動化。調用函數tf2sos直接得到各二階基本節（SOS）對應的子系統函數的系數矩陣，之后逐次畫出每個子網絡對應的信號流圖，且將信號流圖級聯（串聯）。3．畫出并聯型結構圖調用函數residuez直接得到各部分因式對應的子系統函數的系數矩陣，合并以共軛成對復極點為根的因式后得到實系數的子系統函數，之后逐次畫出每個子網絡對應的信號流圖，且將信號流圖并聯。情境任務及步驟二、不同結構實際系統測試1．生成復合信號和基準信號設xt是由四個單音組成的多頻率復合信號，四個單頻的頻率分別是f1=100Hz，f2=200Hz，f3=300Hz，f4=400Hz，且幅度均為單位1，初始相位為0。xt是四個單位幅度單頻正弦信號的疊加。比較基準信號xt23是頻率為f2和f3的兩個單位幅度、0初始相位的單頻正弦信號的疊加。2．設計Butterworth型IIR數字帶通濾波器假定采樣頻率Fs=8000Hz，試設計Butterworth型低通帶通濾波器，以濾除頻率為f1和f4的單頻，并評估所設計濾波器的性能。1）濾波器指標設定帶通濾波器邊界頻率設置，通帶截止頻率fp1=f2，fp2=f3，阻帶截止頻率fst1=f1，fst2=f4。衰減指標設置，在阻帶截止頻率處的衰減不低于40dB，在通帶內衰減不超過5dB。情境任務及步驟2）設計Butterworth型數字帶通濾波器（1）調用函數buttord確定數字帶通濾波器階數N和邊界頻率Wn；（2）調用函數butter確定符合指標要求的Butterworth型IIR濾波器。要求按照兩種形式輸出，一個是濾波器系數矩陣形式[b,a]，另一個是系統函數的零極點增益形式[z,p,k]。3．實現指定結構的濾波器這里建議直接調用dfilt函數為上述設計的Butterworth型帶通濾波器指定實現結構。設dfilt的附加結構字符串structure等于df1時，結果記為hd1；當structure=df1sos時，結果記為hd2；當structure=df1t時，結果記為hd3；當structure=df2時，結果記為hd4；當structure=df2sos時，結果記為hd5；當structure=df2t時，結果記為hd6。在得到hd2和hd5時，要求輸入參數為SOS，此時需在已知系統函數零極點基礎上，再調用函數zp2sos作進一步處理。情境任務及步驟4．實施濾波調用函數filter，將hd1、hd2、hd3、hd4、hd5、hd6六種結構的濾波器施加于信號xt，結果分別記為filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4、filteredxt5、filteredxt6。5．濾波器性能評估（1）聽覺上定性評估。調用函數sound，試聽xt、filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4、filteredxt5、filteredxt6的聲效，重點是對比后六者與xt23的效果差異。建議執行完主程序后，在命令窗口中調用sound進行一一對比試聽。（2）濾波效果時域對比。在同一個圖形窗口中依次疊加畫出以filteredxt1為基準的差值信號，即filteredxt1-filteredxt2、filteredxt1-filteredxt3、filteredxt1-filteredxt4、filteredxt1-filteredxt5、filteredxt1-filteredxt6，并用不同的顏色表示，添加legend。情境任務及步驟根據比較結果，分析濾波器的哪些結構之間的差別較大？比較基準換成xt23結果會怎樣呢？將比較得到的結論記于總結報告中。（3）濾波效果頻域對比。調用函數fft，計算xt、filteredxt1、filteredxt2、filteredxt3、filteredxt4、filteredxt5、filteredxt6的DFT，并將結果分別記為X0、X1、X2、X3、X4、X5、X6。創建一個新的圖形窗口，并將窗口從上至下分為兩個子窗口。上方子窗口中顯示X0的幅度譜，下方子窗口中顯示X1～X6的幅度譜。兩個子窗口中顯示的頻譜都要進行歸一化，即最大幅度對應0dB，并添加必要標注。濾波器效果頻域對比結論記于總結報告中。（4）時效對比。在業已調試好的程序中，每個filter函數調用之前，首先調用tic，緊跟每個filter函數之后再調用toc。再次執行程序，記錄每個filter函數的執行時間，并根據返回對各結構的耗時進行排序，并記于總結報告中。情境任務及步驟6．改變濾波指標體會量化的作用（1）僅改變濾波器的邊界頻率指標。將邊界頻率重新設定，具體設定值為：通帶截止頻率fp1=190Hz，fp2=310Hz，阻帶截止頻率fst1=110Hz，fst2=390Hz。衰減指標保持不變，在阻帶截止頻率處的衰減不低于40dB，在通帶內衰減不超過5dB。重新執行本案例3~5的任務，注意濾波器階數的變化和濾波器效果的差別，并記于總結報告中。（2）僅改變濾波器的邊界頻率處的衰減指標。將邊界頻率處的衰減指標重新設置，具體設定值為：在阻帶截止頻率處的衰減不低于60dB，在通帶內衰減不超過1dB。邊界頻率數值保持不變。通帶截止頻率fp1=f2，fp2=f3，阻帶截止頻率fst1=f1,fst2=f4。重新執行本案例3~5的任務，注意濾波器階數的變化和濾波器效果的差別，并記于總結報告中。情境任務及步驟（3）濾波器的邊界頻率和邊界頻率處的衰減指標都改變。將邊界頻率重新設定，具體設定值為：通帶截止頻率fp1=190Hz，fp2=310Hz，阻帶截止頻率fst1=110Hz，fst2=390Hz。將邊界頻率處的衰減指標重新設定為：在阻帶截止頻率處的衰減不低于60dB，在通帶內衰減不超過1dB。重新執行本案例3~5的任務，注意比較各種濾波器濾波效果的差異，并記于總結報告中。思考題（1）根據情境二任務6，定性分析濾波器階數與過渡帶寬及衰減指標的關系。（2）在有限字長情況下，分析濾波器[b,a]、[z,p,k]和[sos,g]三種表示方法抗量化影響的能力。（3）濾波器階數的大小對于實現復雜度有何影響？總結報告要求（1）情境任務總結報告中原理部分要描述幾種常用IIR濾波器結構組成和特點，書寫情境任務時可適當進行歸納和總結，但至少要列出【情境任務及步驟】相關內容的各級標題。（2）情境任務的程序清單除在報告中出現外，還必須以獨立的m文件形式單獨提交。本案例可以只編制一個程序，完成【情境任務及步驟】的各項任務，程序清單要求至少按程序塊進行注釋。（3）效果圖附于相應的情境任務下。（4）將以下內容翻譯在報告中。（5）簡要回答【思考題】中的問題。（6）報告中還可