案例二十八——IIR對比FIR濾波器內容概要案例設置目的相關基礎理論情境任務及步驟視覺體驗低通濾波器對方波信號濾波的效果聽覺體驗帶通濾波器對聲音信號濾波的效果思考題總結報告要求案例設置目的通過從視覺和聽覺上體會數字濾波器對周期方波信號進行線性相位濾波和非線性相位濾波的效果差異，建立對數字IIR濾波器和FIR濾波器的感性知識，理解同性能指標下IIR濾波器和FIR濾波器幅頻特性、相頻特性、濾波器階數等方面的差異。相關基礎理論1．方波信號產生原理根據傅里葉分析相關理論，如圖28.1所示周期為T的方波信號可以通過下式合成：（28.1）觀察式（28.1）可知，周期性方波信號除包括頻率為

的基波外，還包含豐富的諧波分量?；ê蜕贁档膸讉€較低次諧波分量決定波形的基本輪廓，較高次諧波分量決定間斷點處的陡峭程度及最大最小值附近的抖動特性，因此用這種方法合成方波信號時諧波次數的選擇直接影響產生的周期性信號與方波的逼近程度。相關基礎理論2．數字信號濾波原理線性時不變數字濾波系統的描常用述方法有三種：差分方程、單位脈沖響應和系統函數。一般線性時不變離散時間系統的差分方程如下式所示：（28.2）或者（28.3）情形一：當ai=0時，i=1,2,…,N，式（28.2）簡化為（28.4）其中h(m)=bm，i=1,2,…,M。此時式（28.2）表示的差分方程系統簡化為M階的FIR（FiniteImpulseResponse）系統，或滑動平均系統（MovingAverage，MA），差分方程的求解演變成了線性卷積運算。相關基礎理論情形二：當bi=0時，i=1,2,…,M，式（28.2）簡化為（28.5）若系統在零狀態下，受到單位脈沖序列的激勵，即x(n)=

(n)，那么n=0以后系統的輸出完全由反饋決定，式（28.2）差分方程描述系統簡化為自回歸（AutoRegressive，AR）系統，因輸出無窮無盡，系統單位取樣響應h(n)為無限長，即IIR（InfiniteImpulseResponse）系統。除了以上兩種情形外，即ai不全為零0，i=1,2,…,N，bi也不全為0，i=1,2,…,M，此時式（28.2）描述的系統是自回歸與滑動平均共同作用的結果，簡稱為ARMA（AutoRegressiveMovingAverage）系統，系統脈沖取樣響應也為無限長，即IIR系統。IIR系統每一個n處的輸出值可以按照求解一般的差分方程的方法求得，有時域方法和變換域方法，這里不進行詳述。若式（28.2）或式（28.3）表示的為線性時不變離散時間系統，對等式兩邊進行雙邊Z變換并整理得（28.6）相關基礎理論其中H(z)稱為系統函數，對應系統單位脈沖響應h(n)的Z變換。數字濾波器設計結果常用的一種輸出形式就是式（28.6）所示分式形式，H(z)的分子多項式系數矩陣

和分母多項式系數矩陣

。通過逆Z變換或直接求解差分方程，可以得到h(n)。若已知系統的單位脈沖響應h(n)，系統輸出y(n)是輸入序列x(n)和h(n)的卷積，可以直接調用MATLAB函數conv實現計算。若已知系統函數的分子多項式系數b和分母多項式系數a，用MATLAB函數filter也能計算濾波器的輸出。情境任務及步驟一、視覺體驗低通濾波器對方波信號濾波的效果1．產生方波信號編制程序，產生方波信號，具體要求如下。（1）取T=0.5，確定式（28.1）中的基波頻率

。（2）根據式（28.1）產生一段由基波和從二倍頻開始的99個諧波分量組成的方波信號（共100個頻率分量），信號的持續時間為5s，并記為x?？紤]到最高次諧波分量的頻率、無失真采樣定理和波形視覺的連續性，采樣率設置為(200

20)/T。（3）根據式（28.1）產生由基波與100Hz以下的諧波合成的長度為5s的波形，結果記為x0，作為比較基準信號。（4）創建窗口顯示所產生的信號，并比較兩波形的區別，結果記于總結報告中。情境任務及步驟2．設計低通濾波器設低通濾波器的通帶最大衰減、阻帶最小衰減、通帶和阻帶截止頻率分別為，

p=1，

st=60，fp=100Hz，fst=200Hz。繼續編制程序，設計四種低通濾波器。（1）用窗函數法設計滿足指標要求的FIR數字濾波器，濾波器單位脈沖響應序列長度記為N1，返回分子分母多項式系數分別記為b1和a1。設計方法與步驟可參見案例二十。（2）設計滿足指標要求的Butterworth型IIR數字濾波器，濾波器階數記為N2，返回分子分母多項式系數分別記為b2和a2。設計方法與步驟可參見案例二十二和案例二十七。（3）設計滿足指標要求的Chebyshev型（I型II型依據個人喜好自選）IIR數字濾波器，濾波器階數記為N3，返回分子分母多項式系數分別記為b3和a3。設計方法與步驟可參見案例二十三和案例二十七。（4）設計滿足指標要求的橢圓型IIR數字濾波器，濾波器階數記為N4，返回分子分母多項式系數分別記為b4和a4。設計方法與步驟可參見案例二十四和案例二十七。情境任務及步驟3．多視角對比繼續編制程序，對在同等指標要求下設計出的濾波器進行多視角比較。1）階數對比構造矩陣[N1,N2,N3,N4]，并輸出查看結果，將看到的結果記入總結報告中。2）頻率響應對比（1）確定頻率響應。調用函數freqz，分析由b1與a1、b2與a2、b3與a3、b4與a4分別描述的系統的頻率響應，結果記為H1、H2、H3、H4。（2）畫幅頻響應歸一化對數圖進行對比。同一個新的圖形窗口中用不同的顏色畫出經過歸一化處理后幅頻響應圖，縱軸采用對數形式。橫軸顯示范圍為0～300Hz，縱軸顯示范圍為

120～5。根據濾波器技術參數調用line函數畫出比較基準線，比較四種方法得到濾波器對于設計指標的符合度以及通阻帶特點，并將圖和觀察到的結果記于總結報告中。情境任務及步驟（3）畫相頻響應圖進行對比。調用函數angle和unwrap，在同一個新的圖形窗口中畫出四種濾波器的相頻響應曲線，并粗略判斷各濾波器相頻響應曲線上基本滿足線性變化的區間范圍，將圖和觀察到的結果記于總結報告中。3）方波信號濾波器效果對比（1）濾波處理。調用函數filter，以bi、ai和x為輸入參數，將結果分別記為filteredxi，其中i=1,2,3,4。在用FIR濾波器對信號進行濾波時可以調用函數conv。（2）濾波效果對比。同一新的圖形窗口中分別用不同顏色顯示filteredxi，其中i=1,2,3,4。通過與x的波形對比觀察，主觀上對各濾波器的濾波后的效果（比如脈沖幅度的波動性、寬度變化等）評價，并將結果記于總結報告中。情境任務及步驟二、聽覺體驗帶通濾波器對聲音信號濾波的效果1．準備聲音信號（1）調用MATLAB函數audioread，讀取一個wav類型的聲音信號（推薦使用Windows啟動聲音文件），聲音數據存入y，采樣率存入Fs。（2）調用sound函數，聽聲音信號的效果。2．設計帶通濾波器帶通濾波的通帶最大允許衰減、阻帶允許最小衰減、通帶和阻帶截止頻率這樣進行設置，

p=1，

st=60，fp1=800Hz，fp2=1500Hz，fst1=500Hz，fst2=2500Hz。（1）用窗函數法設計滿足指標要求的FIR帶通濾波器，濾波器單位脈沖響應序列長度記為N1，返回分子分母多項式系數分別記為b1和a1。設計方法與步驟參見案例二十。（2）設計滿足指標要求的Butterworth型IIR濾波器，濾波器階數記為N2，返回分子分母多項式系數分別記為b2和a2。設計方法與步驟參見案例二十五和案例二十七。情境任務及步驟（3）設計滿足指標要求的Chebyshev型（I型II型依據個人喜好自選）IIR濾波器，濾波器階數記為N3，返回分子分母多項式系數分別記為b3和a3。設計方法與步驟參見案例二十五和案例二十七。（4）設計滿足指標要求的橢圓型IIR濾波器，濾波器階數記為N4，返回分子分母多項式系數分別記為b4和a4。設計方法與步驟參見案例二十五和案例二十七。3．多視角對比濾波階數對比、頻率響應對比方法參見前述情境一中的“多視角對比”，不同的是幅頻響應橫軸顯示范圍為0～3000Hz，縱軸顯示范圍為

100～5。下面只討論濾波效果對比部分。（1）對聲音信號進行濾波。調用函數filter，以bi、ai和y(:,1)為輸入參數，并將結果分別記為filteredyi，其中i=1,2,3,4。在用FIR濾波器對信號進行濾波時可以調用函數conv。（2）調用sound函數，對比試聽原始y(:,1)和濾波后信號filteredyi，其中i=1,2,3,4，并憑主觀感覺判斷哪個濾波器濾波后的信號與原始信號差別較大，并將結果記于總結報告中。思考題（1）分析總結線性相位FIR濾波器和非線性相位IIR濾波器對相同信號進行濾波后，波形或聲效上存在的差異？（2）總結同性能指標下FIR濾波器和IIR濾波器的階數差異、相頻特性差異。（3）查閱資料總結濾波器階數大小對于濾波器軟硬件實現的影響。（4）總結四類濾波器幅頻特性的特點、過渡帶特點等?？偨Y報告要求（1）情境任務總結報告中原理部分要描述用數字濾波器對數字信號進行濾波器的具體方法步驟，書寫情境任務時