房價問題的數學建模汪茵蕓、史明、蔣漓摘要隨著我國房地產市場的不斷升溫，其伴隨的相關產業也紅火起來，例如新興了一些研究機構對房產造價評估，價格走勢預測等。要達到這些目的都要用到數學模型來進行量化。在本文中，我們經研究解決了城市房價模型，找出了影響房價的主要因素，并預測出了下一階段的昆山房價均價，同時擬出了同一地區“二手記”房價、租金與房價之間的關系，也對政策對調控房價所起的作用作了詳細的分析說明。在解決房價模型問題時，我們用了多元線性回規模型和蛛網模型同時對相關變量進行分析和處理，最終找出了影響房價的主要因素為生產成本和供需關系。并對房價的形成、演化機理和房地產投機進行了深入細致的分析。對于問題二，我們通過分析確定了可以利用華中科技大學控制科學與工程系教授，博士生導師鄧聚龍于1982年提出的灰色模型【1】來進行求解。通過確立變量，建立模型，最終我們通過預測得到了北京市接下來三年的房價數據：2010年房產均價為14149.9887元/平方米，2011年房產均價為16227.60531元/平方米，2012年房產均價為18610.27455元/平方米。在第三問中，我們通過對北京地區房價，“二手房”套價，房屋租金套價的分析，找出相關數據，利用matlab軟件進行擬合，得出二手房套價與房價的關系圖，房屋租金套價與房價的關系圖。并在結果分析中作出了具體而詳實的分析。使它們之間的關系更為明晰。針對第四問，我們取定一個時間段內某幾個房價新政，結合新政出臺時間前后某地房價的變化情況分析了房價新政對房價的調控作用。我們選取房價新政的標準是根據政策內容對相關經濟指標有直接作用效果。如地產商的拿地首付規定不得低于50%；二套房貸首付至少50%等政策。最終我們發現，新政出臺后，雖然房價依然是居高不下，但房價上漲速率得到了一定的控制，變化漸緩。第五問是一個開放性的題目，對此，我們根據前面所得出的結果，結合自身感受，選定主要針對購房（新房）來提出一些拙見。關鍵詞：房地產估計預測蛛網模型灰色模型線性回歸目錄HYPERLINK摘要 1HYPERLINK一、問題重述 3HYPERLINK二、問題分析 3HYPERLINK2-1：問題1分析 3HYPERLINK2-2：問題2分析 4HYPERLINK2-3：問題3分析 4HYPERLINK2-4：問題4分析 5HYPERLINK2-5：問題5分析 5HYPERLINK三、模型建立與求解 5HYPERLINK3-1-1：問題①的模型假設與符號說明 5HYPERLINK3-1-2：問題①的模型建立 6HYPERLINK3-1-3：問題①的模型求解 7HYPERLINK3-2-1：問題②的模型假設與符號說明 9HYPERLINK3-2-2：問題②的模型建立與求解 9HYPERLINK3-3-1：問題③的模型假設與符號說明 12HYPERLINK3-3-2：問題③的模型建立 13HYPERLINK3-3-3：問題③的模型求解 14HYPERLINK3-4：問題④的解答 15HYPERLINK四、結果分析 17HYPERLINK4-1：問題一結果分析 17HYPERLINK4-2：問題二結果分析 17HYPERLINK4-3：問題三結果分析 18HYPERLINK4-4：問題四結果分析 18HYPERLINK4-5：問題五結果分析 19HYPERLINK參考文獻： 20HYPERLINK附錄： 21越多假設七、供應量受到地產商預測的本周期的房價和理想房價的影響。預測價格與理想價格的比值越大，供應量越多；反之，預測價格與理想價格的比值越小，供應量越少假設八、理想房價=(地價+建安造價)×(1+稅費率)[3]假設九、供需平衡指：供應量=需求量符號說明：：房價(元/平方米)：理想房價（元/平方米）：第n個周期的房價（n=1,2,3）：第n個周期的預測房價（n=1,2,3）：需求曲線和供應曲線的交點處的房價：地價（元/平方米）：建安造價（元/平方米）：稅率（%）：容積率（%）：第n個周期，居民對房子的需求量（n=1,2,3）：第n個周期，地產商的供應量（n=1,2,3）3-1-2：問題=1\*GB3①的模型建立通過分析我們知道以下幾個關系，成本決定理想價格；理想價格和房價決定需求量；理想價格和地產商的預測價格決定了供應量；需求量和供應量又共同決定了房價。那么首先我們來求理想房價，根據理想房價的求法得出其表達式為：

………………=1\*GB3①令,，和均不為正常數，則可得：…………=2\*GB3②從公式=1\*GB3①和=2\*GB3②中可以看出，地價與理想房價之間為線性正相關關系，同時地價與理想房價之間影響的程度因建安成本、稅率和容積率的不同而不同，再者我們可以籠統地說理想房價就是成本費用的具體體現，根據假設，成本不變，所以理想房價也不變。下面我們來分析供需關系：1、首先建立一個需求函數。根據假設六：需求量會受本周期的實際房價和理想房價的影響。實際價格與理想價格的比值越大，需求量越少；反之，需求量越多。我們用取極限法來驗證假設的合理性，取實際價格與理想價格的比值為無窮大，那么實際的價格就是無窮大；反之，比值為0，需求量自然就大。由此說明我們的假設正確。現列出需求方程如下：其中和為正常數，為理想價格，需求函數斜率為。2、接著建立一個供應函數。根據假設七：供應量受到地產商預測的本周期的房價和理想房價的影響。預測價格與理想價格的比值越大，供應量越多；反之，供應量越少。因為房屋的供應量是由地產商所決定的，而地產商是以盈利為目的的，所以地產商們總會前階段的價格數據來估計下一階段的價格，再將預測的價格與成本比較，最終確定供應數量。由此可知假設合理。下面我們來給出預測房價的模型。模型為：表明：本期的價格是上一期的實際價格加上一個修正量，為修正系數。比較方法：預測價格與成本的比值越大，利潤越高，供應量越大。那么本期的供應量為：其中和是正常數，為理想價格，供應函數斜率為近似為。3、根據以上所得結論我們便可以建立一個供需平衡方程如下：即：3-1-3：問題=1\*GB3①的模型求解設方程的一個特解為，將其帶入方程后得到等式得到：接下來求通解：（齊次方程）（特征方程）即為：很顯然，是其中的一個解。整理得得：若：則解得和為：線性差分方程穩定的條件：方程的特征根均在單位圓內。即，時，則為穩定點，即，，……趨于；否則漸漸遠離。方程的解的一般形式為：其中和是兩個任意常數視情況而定。將，帶入得由以上分析過程我們便得到了房價的表達式：至此整個過程的求解結束。3-2-1：問題=2\*GB3②的模型假設與符號說明假設：假設1：選取的數據是北京市2000-2009年房產的完全均價；假設2：所取數據不考慮政策等各種人為因素的干擾；假設3：數據的波動屬于合理的范圍內；假設4：“信息不完全”是絕對的。符號說明：a：待估參數向量；：原始數據序列；：的生成數據序列；：的緊鄰均值生成；：的模擬值序列；：為的模擬值序列；：的灰色關聯度；：的灰色關聯度；：小誤差概率；3-2-2：問題=2\*GB3②的模型建立與求解首先，我們找到了2000-2009年北京房產均價數據，如下表：年份房價（元/平方米）年份房價（元/平方米）200045362005672520014838200679542002408420071145420035575200810117.520045642200912067.3下面我們來建立GM（1，1）模型我們可以記原始數據序列為：=（4536，4838，4084，5575，5642，6725，7954，11454，10117.5，12067.3）其相應的生成數據序列為：=（4536，9374，13458，19033，24675，31400，39354，50808，60925.5，72992.8）為的緊鄰均值生成序列：，其中：=(4536，6955，11416，16245.5，21854，28037.5，35377，45081，55866.75，66959.15)于是有接下來，我們就可以確定模型：以及時間響應式：=那么可以求出的模擬值：=（4536，8659.54744476631，13388.5477261837，18811.898363274，25031.5495331852，32164.4205688172，40344.5978522459，49725.8554207689，60484.5456688712，72822.9144866069）還原的模擬值，由得：=（4536，4123.54744476631，4729.00028141736，5423.35063709033，6219.65116991122，7132.87103563202，81809381.25756852307，10758.6902481023，12338.3688177356）下面我們就可以計算X與的灰色關聯度了：精度為一級，可以用：進行預測。到此，模型已建立完成。那么2010年的房價可以這樣預測：當K=10時，；當K=11時，；當K=12時，。由此，我們可以得出預測結果：房價（元/平方米）2010年14149.98872011年16227.605312012年18610.274553-3-1：問題=3\*GB3③的模型假設與符號說明假設：假設一：在同一地區房價為銷售均價，沒有街道區域差異假設二：在同一地區房屋租金沒有街道差異，以均價計算假設三：房型對房價沒有影響符號說明：a：2009年北京市十二個月份的房價均價（為每平米的單價）b：2009年北京市十二個月份的二手房套均價c：2009年北京市十二個月份的租金套均價x：房價y1：二手房套價y2：房屋租金套價3-3-2：問題=3\*GB3③的模型建立1、根據題目要求，我們首先找到以下數據：房價（元）二手房套價（元）房屋租金套價（元）1月15825102555023082月1591493418522903月1592095951123184月16370110096322945月16472112662422936月17143113734723737月17541121189624278月18506127836024869月190501174379251410月197401181252250311月215121251224250012月2295913056472458根據以上數據我們擬出一下三條“時間—價格“變動曲線圖一：“2009年北京房價均價”曲線圖二：“2009年北京二手房套均價”曲線圖三：“2009年北京租金套均價”曲線2、由以上數據，我們利用matlab軟件對其兩兩進行擬合，分別找出二手房套價與房價的關系，房屋租金套價與房價關系。以上數據我們可以分別做線性擬合。即對多項式：進行擬合。3-3-3：問題=3\*GB3③的模型求解據以上式子和數據，并經過多次擬合后，最終得出以下結果。圖四：二手房套價與房價的關系圖五：房屋租金套價與房價的關系經過多次擬合，我們算得圖一中的多項式為9階的，而圖二中的多項式為8階的。3-4：問題=4\*GB3④的解答近年，我國樓市異常火爆，居民對購置房產的熱情空前高漲，從而導致了很多地方房源不足。很多地產商便趁此機會哄抬房價，致使商品房價格成倍的增長。使很多本來有能力購房的人成為了門外看客。為此，國家連續出臺了多項商品房房價調控政策，以此來干預地產商對商品房價格的制定。為了方便突顯國家房價調控政策對房價調控的能力和起到的作用，我們特意選取了三個不同時間點出臺的調控政策來加以說明。從2008年3月至2010年6月，從時間的跨度上來講這樣的選取是可行的。從2008年3月至2010年6月，國家和有關地方出臺的房價的主要調控政策的大致內容見附錄。經分析我們需要選取對相關經濟指標有直接影響的調控政策，這樣能更為直觀的看出政策調控作用。同時，由于2008年開始的經融風暴等相關因素的影響，我國的房貸利率在這一年經過了多次調整（兩率下調政策），并在2009年開始呈現平穩上升的趨勢。隨著時間的推移，房價持續的上漲給人民生活帶來了巨大的經濟壓力，針對愈演愈烈的房價風暴，2009年末至2010年初，國家出臺了一系列強勢的調控政策，以求減緩房價過快的上漲速率，方便給于中低收入家庭以更多的購房空間。理據以上分析，我們分別選取了2008年9月16日發布的“兩率”下調政策，2009年12月17日中國五部委聯合發布的收緊土地受讓政策，2010年1月10日國務院出臺的嚴格二套房貸款管理政策。通過這三條政策的發布時間與發布前后房價的波動情況來分析，觀察國家調控房價政策對各地房價過快上漲的控制作用。以下為數據分析過程：從2008年3月至2010年6月北京內城四區的房價：時間房價時間房價08年3月2105109年5月2100808年4月2105109年6月2111308年5月2113509年7月2117708年6月2119809年8月2147308年7月2100909年9月2175208年8月2103109年10月2183908年9月2099609年11月2197008年10月2093909年12月2295908年11月203432010年1月2353308年12月202822010年2月2372109年1月203872010年3月2419609年2月204922010年4月2482509年3月208832010年5月2504809年4月209252010年6月25048據以上實際數據，我們利用matlab軟件畫出了“時間—房價”關系曲線：圖六2008年9月16日：“圖六2008年9月16日：“兩率”下調政策，2009年12月17日：收緊土地受讓政策，2010年1月10日：二套房貸款管理政策。08年9月09年12月10年1月四、結果分析4-1：問題一結果分析通過對假設的實際驗證，我們確定了影響房價的主要因素，即是成本與供需關系的變化。下面，我們就根據這一結果來分析一下房價的形成、演化機理及房地產投機。實際上整個過程在模型的建立和求解中已經簡要的用數學表達式描述了一遍，這里我們把結果更明顯的提出來。在模型的建立過程，我們發現地價與理想房價之間為線性正相關關系，地價是成本的一部分，而成本的其它成分大致還有稅費，建安造價等，由此可以推出，房價的形成主要由這些因素所決定。而房地產商對房價的預測也是成本費用的具體體現。當成本越高，直接導致房價升高，反之也成立。當然，房價與成本的變化比例就是一個不確定量了。當成本升高時，房價固然升高，但升高多少，在國家宏觀調控的大環境下，是由房地產商決定的，當你，我都惡性升高房價時，就有意識的進入了房地產投機時期。在不斷惡意炒高房價的同時賺取大筆資金再循環到這一過程中，許多投機者由此開始了這一惡性循環，導致房價居高不下。所謂投機就是存在一個價值與價格不等的投資機會。房地產投機者就是把握住了這個機會。以較低價格購進房產或土地修建房產，屯積待價格上漲或完工后高標價格直接銷售，賺取大量差價而贏取暴利。4-2：問題二結果分析想知道2010年房價怎么走，一定要分析一下2009年房價是怎么漲起來的。中國社會的高速發展，社會財富的迅猛增加，在中國高速發展的大背景下，導致房價在長期趨勢中的單邊上升是必然的趨勢，道理很簡單，社會財富以每年10%左右的速度增加，單位貨幣就以相同的速度縮水，以該貨幣標價的房價自然應該上漲。然后國家對貨幣投放量的增加，使社會資金供應十分充裕，2009年房價上漲過快和2009年貨幣投放量太大有直接關系，貨幣投放量增加一是導致單位幣值的貨幣加速貶值，二是使市場流動性增加，這些都加速了房價的上漲。還有一個很關鍵的因素是國家出臺的相關政策。08年底09年初，國家各種鼓勵投資和消費的政策出臺，包括二手房的稅收優惠，大力支持“房貸”，甚至對于按揭降低首付款比例、降低利率，這一切都是國家政策引導資金流向房地產業。下面再看看2010及接下來幾年的房價趨勢。2010年北京地區總的發展速度即各項社會經濟指標應該高于2009年，因此上升的大方向應該是不變的，也就是說2010年的房價依然是呈現上漲趨勢的。從政策方面考慮，國家在2010年對貨幣的投放量會比2009年有所下降，因此單位貨幣貶值速度降低，流動性也相應縮減，也就是說2010年房價上漲的勢頭會有所減小。同時取消了對二手房稅收的優惠，某種程度上抑制了投機者炒房。對開發商方面來說，國家取消了相關的稅收優惠，以及拿地首付要求提高到了50%。這樣就抑制了開發商大量屯地建房的勢頭。當然，房價上漲是經多種社會因素相互作用的，以上列舉了一些主要影響因素。從上面的分析我們可以明確的看出，2010年北京的房價依然存在上漲空間，只是上漲的速率將會變緩。到此，可以充分的肯定在本題通過我們對模型的建立的求解所預測出的北京接下來三年的房價是合理的。房價（元/平方米）2010年14149.98872011年16227.605312012年18610.274554-3：問題三結果分析從北京市房地產的數據計量分析結果可以看出：（1）北京市二手房與北京市房價呈一個不太穩定的線性關系，但整體上走勢還是正相關的。（2）北京市的房價與房屋租金的關系不明顯，說明房價和租金之間沒有直接的因果關系，當房價呈一路上漲趨勢時租金卻顯得有升有降，租金在市場內有著一定程度的獨立發展空間。同時說明，租金的變化對房價的波動有一定的依存關系。4-4：問題四結果分析據題目與背景分析，加上對具體數據的軟件處理，我們得到了如圖六的結果。根據圖中所得到曲線，我們可以清楚的發現，我們選取的于2008年9月發布的“兩率”下調政策頒布之后的時間段里，房價有明顯的波動。但是，聯系當時的社會經濟大環境，即2008年爆發的全球金融風暴，對我國樓市的影響十分嚴重的情況，我們可以理解曲線在短時間內急劇下降的原因了。但下降之后，房價在短期內又迅速升溫，即下降過程得到有效遏制。這些因素說明，“兩率”下調政策有效調控了房價波動的不規律性。但從此后的曲線來看，房價的的波動又有了明顯變化，即開始了持續上漲的過程。由于房價持續無節制地上漲，于2009年12月，國家又出臺收緊土地受讓政策，次年1月，又出臺了二套房貸款管理政策。國家連續的出臺房價調控政策，表達出了國家對房價調控的決心。從圖六的曲線上看，2010年以后曲線上升有減緩的趨勢，在4月開始，減緩趨勢愈加明顯。綜上所述，國家宏觀調控政策在短期內可以取得一定的成效，即在一定程度上能夠有效控制市場經濟中房價的異常變動，但由于價格是由市場決定的，在長期效果和整體趨勢上，政府調控不能夠改變價格變動的本質和性質。我們可以得出這樣的結論：國家宏觀調控政策可以調整減緩房價的劇烈變化，但不能改變房價變化的發展方向。在市場經濟環境下，除非改變國家基本經濟政策與市場的本質定位，才可能改變市場對價格的絕對作用。由此我們分析第四題的結果后可以與第一題結論相互呼應，即影響房價的主要因素是供給關系，成本等。4-5：問題五結果分析在前面的幾個小問中，我們解決了城市房價模型，找出了影響房價的主要因素，并預測出了北京下一階段的房產均價，同時擬出了同一地區“二手記”房價、租金與房價之間的關系，也對政策對調控房價所起的作用作了詳細的分析說明。根據以上結果，我們主要對購房（新房）提出一些建議。購房，無非考慮的就是地域條件和價格問題。那么，首先要明確的就是購房動機。比如，確定購買來為自已居住；或居住或觀望價格上漲后轉手售出；直接買賣，賺取差價等等情況。前面分析我們知道，影響房價的主要因素是房產成本和供需關系，當然這是大的方面。從小的方面講就還有很多因素了，這也是需要購房者加以考慮的因素，像地理位置，環境經濟的發展程度，區域發展前景等等。都可以考慮進來。同樣，這些因素也是針對不同人群而定的。針對剛性購房者，即買來就為了自已居住的人。這一類的購房者不必考慮太多的因素，在排除價格因素之后只是環境及周邊設施自已覺得滿意即可，任何時候想買都可以出手。房地產價格長期趨勢必然是向上的，而且是螺旋上升的過程，任志強先生說：“漲幅永遠大于跌幅”，因此任何時