第31頁（共31頁）2024-2025學年下學期高二數學人教A版（2019）期末必刷?？碱}之列聯表與獨立性檢驗一．選擇題（共7小題）1．（2025?金川區校級二模）某公司男、女職工人數相等，該公司為了了解職工是否接受去外地長時間出差，在男、女職工中各隨機抽取了100人進行調查，數據顯示男職工和女職工接受去外地長時間出差的人數分別為40和20．下列結論正確的是（）附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2=n(ad-bc)2(aA．依據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，不能認為是否接受去外地長時間出差與性別有關 B．依據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，可以認為是否接受去外地長時間出差與性別有關 C．有99.9%的把握認為是否接受去外地長時間出差與性別有關 D．是否接受去外地長時間出差與性別無關2．（2025春?遼寧期中）為了了解性別與視力之間的關系，一個調查機構得到2×2列聯表如表，則當m取下面何值時，性別與視力無關的可能性最大（）男女近視240200不近視m50A．40 B．60 C．100 D．2403．（2025?遼寧模擬）某醫療研究機構為了解某種地方性疾病與當地居民的生活習慣（生活習慣分良好和不夠良好）的關系，現從該地區隨機抽取4n（n∈N*）名居民，統計數據如下：生活習慣合計良好不夠良好患有該疾病居民0.6n1.4n2n未患有該疾病居民1.2n0.8n2n合計1.8n2.2n4n若根據小概率值α＝0.01（x0.01＝6.635）的獨立性檢驗，分析發現居民是否患有該疾病與生活習慣有關聯，則從該地區抽取居民人數至少為（）附：χ2=n(ad-bc)2(aA．60 B．76 C．80 D．1004．（2025春?溫州期中）為了考查一種新疫苗預防某X疾病的效果，研究人員對一地區某種動物進行試驗，從該試驗群中隨機進行了抽查，已知抽查的接種疫苗的動物數量是沒接種疫苗的2倍，接種且發病占接種的16，沒接種且發病的占沒接種的13，若本次抽查得出“在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為接種該疫苗與預防某χ2α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8415.6357.87910.828A．35 B．36 C．37 D．385．（2025?遼寧二模）某實驗中學為調查本校高三學生的學習成績是否與堅持體育鍛煉有關，隨機選取了高三300名學生的某次聯考成績進行統計，得到如下表格：分數鍛煉合計堅持鍛煉不堅持鍛煉分數≥60010080180分數＜6005070120合計150150300依據小概率值α＝m的獨立性檢驗，可以認為高三學生的學習成績與堅持進行體育鍛煉有關，則m的值可能是（）附：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.056．（2025?西城區二模）小明在某印刷服務公司看到如下廣告：“本公司承接圖紙復印業務，規格可達A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1復印紙有多大呢？據查：所有的復印紙均為矩形，其長與寬的比值不變，且兩張A4紙可以拼接成一張A3紙，兩張A3紙可以拼接成一張A2紙…．已知A4紙的寬為210mm，那么A1紙的長和寬約為（）A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm7．（2025春?煙臺期中）根據吸煙與患肺癌這兩個分類變量的樣本數據，計算得出χ2≈6.816，經查閱χ2獨立性檢驗的小概率值和相應的臨界值x0.01＝6.635，則下列說法正確的是（）A．在100個吸煙的人中就會有99人患肺癌 B．若某人吸煙，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能為吸煙者 D．吸煙與患肺癌有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于1%二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?遼寧期中）統計學中，常用的顯著性水平α以及對應的分位數k如表所示．α＝P（χ2≥k）0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828在檢驗A與B是否有關的過程中，根據已知數據計算得χ2，則（）A．若χ2＝12.502，則在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下認為A與B有關 B．若χ2＝11.483，則在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下認為A與B無關 C．若χ2＝11.004，則有95%的把握認為A與B有關 D．若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，則a≤b（多選）9．（2025春?天心區校級期中）下列結論中，正確的有（）A．數據4，1，6，2，9，5，8的第70百分位數為5 B．若隨機變量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，則P（ξ≤4）＝0.79 C．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（D）＝1﹣P（D|C），則C，D相互獨立 D．根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到χ2＝9.632，依據小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗（x0.001＝10.828），可判斷X與Y有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001（多選）10．（2025?內蒙古二模）下列結論正確的是（）A．根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到χ2＝4.245，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，則在犯錯誤不超過1%的前提下，認為X與Y相關 B．已知隨機變量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，則n＝48 C．擲一枚質地均勻的骰子兩次．事件A＝“第一次向上的點數是1”，事件B＝“兩次向上的點數之和是7”，則事件A與事件B相互獨立 D．根據一組樣本數據的散點圖判斷出兩個變量線性相關，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y?=0.4x+a，若其中一個散點坐標為（﹣a，5.4），則a三．填空題（共3小題）11．（2025春?浦東新區校級期中）隨著工業化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴重，空氣質量指數API一直居高不下，對人體的呼吸系統造成了的嚴重的影響．現調查了某市500名居民的工作場所和呼吸系統健康狀況，得到2×2列聯表如下，則χ2＝．（結果精確到0.001）室外工作室內工作總計有呼吸系統疾病150無呼吸系統疾病100總計20012．（2025?昆明模擬）某研究性學習小組針對“使用大綠書APP的用戶是否存在性別差異”，向40n（n∈N*）個人進行調查．用Ω表示所有調查對象構成的集合．以Ω為樣本空間建立古典概型，并定義一對分類變量X和Y如下：對于Ω中的每一名學生，X=0，調查對象為女性是大綠書APP的用戶（Y＝1）不是大綠書APP的用戶（Y＝0）男性（X＝1）8n12n女性（X＝0）12n8n若根據α＝0.05的獨立性檢驗認為P（Y＝1|X＝0）＞P（Y＝1|X＝1）（其中x0.05＝3.841），則n的最小值為.（參考公式：χ2=n(ad-bc)2(a13．（2025?長寧區二模）為了研究吸煙習慣與慢性氣管炎患病的關系，某疾病預防中心對相關調查數據進行了研究，假設H0：患慢性氣管炎與吸煙沒有關系，并通過計算得到統計量χ2≈3.468，則可推斷原假設H0．（填“拒絕”或“接受”，規定顯著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）四．解答題（共2小題）14．（2025?湖州模擬）中國春節檔電影《哪吒之魔童鬧海》票房突破百億，是中國第一部沖入全球影史票房前5的作品．同學小華在某影院用簡單隨機抽樣的方法調查了200位觀影人觀看該電影的次數，并對他們的觀影次數作出統計，具體如下：年齡（歲）少年組（18及以下）青年組（19﹣35）中年組（36﹣60）老年組（61及以上）調查人數70803020少年組、青年組、中年組、老年組分別有27，12，（1）求這200位觀眾觀看該電影的平均次數；（2）小華記少年組與青年組為“A組”，記中年組和老年組為“B組”．請完成以下列聯表，依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為觀影次數與年齡層次有關聯？觀影次數年齡層次合計A組B組1次2次合計附表：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635參考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b15．（2025?景德鎮校級模擬）某商店為了解消費者對某產品不同品牌（A，B）的偏好是否與他們的性別有關，隨機調查收集了100名消費者對該產品這兩個品牌的偏好數據，同時記錄了他們的性別，得到如下所示的列聯表：品牌性別AB男性1530女性3025（1）根據上表，用頻率估計概率，求女性消費者偏好品牌B的概率；（2）根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷消費者對該產品品牌的偏好是否與性別有關聯．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879

2024-2025學年下學期高二數學人教A版（2019）期末必刷?？碱}之列聯表與獨立性檢驗參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案BBCBDAD二．多選題（共3小題）題號8910答案ACDBCBC一．選擇題（共7小題）1．（2025?金川區校級二模）某公司男、女職工人數相等，該公司為了了解職工是否接受去外地長時間出差，在男、女職工中各隨機抽取了100人進行調查，數據顯示男職工和女職工接受去外地長時間出差的人數分別為40和20．下列結論正確的是（）附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2=n(ad-bc)2(aA．依據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，不能認為是否接受去外地長時間出差與性別有關 B．依據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，可以認為是否接受去外地長時間出差與性別有關 C．有99.9%的把握認為是否接受去外地長時間出差與性別有關 D．是否接受去外地長時間出差與性別無關【考點】獨立性檢驗．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】B【分析】求得卡方值，比對臨界值，逐個判斷即可．【解答】解：在男、女職工中各隨機抽取了100人進行調查，數據顯示男職工和女職工接受去外地長時間出差的人數分別為40和20，由題意，列出2×2列聯表：接受不接受合計男4060100女2080100合計60140200零假設為H0：是否接受去外地長時間出差與性別相互獨立，即是否接受去外地長時間出差與性別無關，所以χ2根據小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為是否接受去外地長時間出差與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005．故選：B．【點評】本題考查獨立性檢驗相關知識，屬于中檔題．2．（2025春?遼寧期中）為了了解性別與視力之間的關系，一個調查機構得到2×2列聯表如表，則當m取下面何值時，性別與視力無關的可能性最大（）男女近視240200不近視m50A．40 B．60 C．100 D．240【考點】獨立性檢驗．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】B【分析】依題意，要使性別與視力無關的可能性最大，則240×50＝200m，進而求出m的值．【解答】解：依題意，要使性別與視力無關的可能性最大，則240×50＝200m，解得m＝60．故選：B．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，屬于基礎題．3．（2025?遼寧模擬）某醫療研究機構為了解某種地方性疾病與當地居民的生活習慣（生活習慣分良好和不夠良好）的關系，現從該地區隨機抽取4n（n∈N*）名居民，統計數據如下：生活習慣合計良好不夠良好患有該疾病居民0.6n1.4n2n未患有該疾病居民1.2n0.8n2n合計1.8n2.2n4n若根據小概率值α＝0.01（x0.01＝6.635）的獨立性檢驗，分析發現居民是否患有該疾病與生活習慣有關聯，則從該地區抽取居民人數至少為（）附：χ2=n(ad-bc)2(aA．60 B．76 C．80 D．100【考點】獨立性檢驗．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】C【分析】由卡方的計算結合題意可得．【解答】解：某醫療研究機構為了解某種地方性疾病與當地居民的生活習慣的關系，現從該地區隨機抽取4n（n∈N*）名居民，根據題意，χ2又n∈N*，所以n≥19，且0.6n，1.4n，1.2n，0.8n均為整數，所以n的最小值為20，則從該地區抽取居民人數至少為80．故選：C．【點評】本題考查獨立性檢驗相關知識，屬于中檔題．4．（2025春?溫州期中）為了考查一種新疫苗預防某X疾病的效果，研究人員對一地區某種動物進行試驗，從該試驗群中隨機進行了抽查，已知抽查的接種疫苗的動物數量是沒接種疫苗的2倍，接種且發病占接種的16，沒接種且發病的占沒接種的13，若本次抽查得出“在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為接種該疫苗與預防某χ2α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8415.6357.87910.828A．35 B．36 C．37 D．38【考點】獨立性檢驗．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】B【分析】設沒接種只數為k，依題意，得2×2列聯表，計算χ2的值，令χ2＞3.841求出k的取值范圍即可．【解答】解：設沒接種只數為k，依題意，得2×2列聯表如下：發病沒發病合計接種k35k2k沒接種k32kk合計2k7k3k則χ2的觀測值χ2=3因為本次測查得出“在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結論，于是χ2＞3.841，即χ2=3k即3k＞3.841×28，解得k＞35.85，所以kmin＝36．故選：B．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，屬于基礎題．5．（2025?遼寧二模）某實驗中學為調查本校高三學生的學習成績是否與堅持體育鍛煉有關，隨機選取了高三300名學生的某次聯考成績進行統計，得到如下表格：分數鍛煉合計堅持鍛煉不堅持鍛煉分數≥60010080180分數＜6005070120合計150150300依據小概率值α＝m的獨立性檢驗，可以認為高三學生的學習成績與堅持進行體育鍛煉有關，則m的值可能是（）附：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05【考點】獨立性檢驗．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】D【分析】計算χ2的值，再與臨界值比較即可．【解答】解：零假設H0：高三學生的學習成績與堅持進行體育鍛煉無關，由題意可知，χ2=300×(100×70-80×50)因為3.841＜5.556＜6.635，因為依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即可以認為高三學生的學習成績與堅持進行體育鍛煉有關．故選：D．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，屬于基礎題．6．（2025?西城區二模）小明在某印刷服務公司看到如下廣告：“本公司承接圖紙復印業務，規格可達A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1復印紙有多大呢？據查：所有的復印紙均為矩形，其長與寬的比值不變，且兩張A4紙可以拼接成一張A3紙，兩張A3紙可以拼接成一張A2紙…．已知A4紙的寬為210mm，那么A1紙的長和寬約為（）A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm【考點】實際推斷原理和假設檢驗；歸納推理．【專題】對應思想；歸納法；推理和證明；邏輯思維．【答案】A【分析】由復印紙的拼接關系以及長與寬比值不變的特點，代入計算，即可得到結果．【解答】解：A4紙的寬為210mm，設其長為xmm，若兩張A4紙的寬拼在一起，則A3紙的寬為210mm，長為2xmm，且210x若兩張A4紙的長拼在一起，即A3紙的寬為xmm，長為420mm，A2紙的寬為420mm，長為2xmm，A1紙的寬為2xmm，長為840mm，由所有的復印紙均為矩形，其長與寬的比值不變，可得210x=x420，解得x≈297，則2所以A1紙的長和寬約為840mm，594mm．故選：A．【點評】本題考查利用歸納推理求解實際問題，屬中檔題．7．（2025春?煙臺期中）根據吸煙與患肺癌這兩個分類變量的樣本數據，計算得出χ2≈6.816，經查閱χ2獨立性檢驗的小概率值和相應的臨界值x0.01＝6.635，則下列說法正確的是（）A．在100個吸煙的人中就會有99人患肺癌 B．若某人吸煙，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能為吸煙者 D．吸煙與患肺癌有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于1%【考點】獨立性檢驗．【專題】函數思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】D【分析】根據獨立性檢驗的性質求解．【解答】解：因為計算得出χ2≈6.816＞6.635，所以吸煙與患肺癌有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于1%，即有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關聯，但是并不是在100個吸煙的人中就會有99人患肺癌．故選：D．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025春?遼寧期中）統計學中，常用的顯著性水平α以及對應的分位數k如表所示．α＝P（χ2≥k）0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828在檢驗A與B是否有關的過程中，根據已知數據計算得χ2，則（）A．若χ2＝12.502，則在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下認為A與B有關 B．若χ2＝11.483，則在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下認為A與B無關 C．若χ2＝11.004，則有95%的把握認為A與B有關 D．若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，則a≤b【考點】獨立性檢驗．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】ACD【分析】根據獨立性檢驗的性質判斷．【解答】解：對于A，若χ2＝12.502＞10.828，則在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下認為A與B有關，故A正確；對于B，若χ2＝11.483＞10.828，則在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下認為A與B有關，故A錯誤；對于C，若χ2＝11.004＞3.841，則有95%的把握認為A與B有關，故C正確；對于D，若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，則a≤b，故D正確．故選：ACD．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，屬于基礎題．（多選）9．（2025春?天心區校級期中）下列結論中，正確的有（）A．數據4，1，6，2，9，5，8的第70百分位數為5 B．若隨機變量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，則P（ξ≤4）＝0.79 C．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（D）＝1﹣P（D|C），則C，D相互獨立 D．根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到χ2＝9.632，依據小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗（x0.001＝10.828），可判斷X與Y有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001【考點】獨立性檢驗；正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義；百分位數．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】BC【分析】根據百分位數的定義可判斷A，根據正態分布曲線的對稱性可判斷B，根據條件概率公式，以及獨立事件的定義可判斷C，根據獨立性檢驗的性質可判斷D．【解答】解：對于A，數據4，1，6，2，9，5，8從小到大排列為：1，2，4，5，6，8，9，因為7×70%＝4.9，所以數據的第70百分位數為6，故A錯誤；對于B，若隨機變量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，則P（ξ≤﹣2）＝P（ξ≥4）＝0.21，所以P（ξ≤4）＝1﹣0.21＝0.79，故B正確；對于C，若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（D）＝1﹣P（D|C），則1﹣P（D）＝1-P所以P（C）﹣P（C）P（D）＝P（C）﹣P（DC），所以P（DC）＝P（C）P（D），所以C，D相互獨立，故C正確；對于D，因為χ2＝9.632＜10.828，所以依據小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗（x0.001＝10.828），可判斷X與Y沒有關聯，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查了百分位數的定義，考查了正態分布曲線的對稱性，以及獨立性檢驗的性質，屬于基礎題．（多選）10．（2025?內蒙古二模）下列結論正確的是（）A．根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到χ2＝4.245，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，則在犯錯誤不超過1%的前提下，認為X與Y相關 B．已知隨機變量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，則n＝48 C．擲一枚質地均勻的骰子兩次．事件A＝“第一次向上的點數是1”，事件B＝“兩次向上的點數之和是7”，則事件A與事件B相互獨立 D．根據一組樣本數據的散點圖判斷出兩個變量線性相關，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y?=0.4x+a，若其中一個散點坐標為（﹣a，5.4），則a【考點】獨立性檢驗；樣本相關系數；經驗回歸方程與經驗回歸直線．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】BC【分析】根據獨立性檢驗的性質可判斷A，根據二項分布的期望公式和方差公式可判斷B，根據獨立事件的定義可判斷C，根據回歸直線的性質可判斷D．【解答】解：對于A，因為P（χ2≥6.635）＝0.01，而χ2＝4.245＜6.635，所以認為X與Y獨立，故A錯誤；對于B，由題意可知，E(X)=np=36對于C，由題意可知，P（A）=1×66×6=16，P（B）=66×6所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A與事件B相互獨立，故C正確；對于D，散點圖中的散點不一定在回歸直線方程上，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，考查了二項分布的期望公式和方差公式，以及獨立事件的定義，屬于基礎題．三．填空題（共3小題）11．（2025春?浦東新區校級期中）隨著工業化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴重，空氣質量指數API一直居高不下，對人體的呼吸系統造成了的嚴重的影響．現調查了某市500名居民的工作場所和呼吸系統健康狀況，得到2×2列聯表如下，則χ2＝3.968．（結果精確到0.001）室外工作室內工作總計有呼吸系統疾病150無呼吸系統疾病100總計200【考點】獨立性檢驗．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】3.968．【分析】由題意，根據2×2列聯表中所給數據補全列表，將數據代入公式得χ2【解答】解：根據題意，補全列聯表：室外工作室內工作總計有呼吸系統疾病150200350無呼吸系統疾病50100150總計200300500則χ2故答案為：3.968．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，屬于基礎題．12．（2025?昆明模擬）某研究性學習小組針對“使用大綠書APP的用戶是否存在性別差異”，向40n（n∈N*）個人進行調查．用Ω表示所有調查對象構成的集合．以Ω為樣本空間建立古典概型，并定義一對分類變量X和Y如下：對于Ω中的每一名學生，X=0，調查對象為女性是大綠書APP的用戶（Y＝1）不是大綠書APP的用戶（Y＝0）男性（X＝1）8n12n女性（X＝0）12n8n若根據α＝0.05的獨立性檢驗認為P（Y＝1|X＝0）＞P（Y＝1|X＝1）（其中x0.05＝3.841），則n的最小值為3.（參考公式：χ2=n(ad-bc)2(a【考點】獨立性檢驗．【專題】轉化思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】3．【分析】根據題意，由χ2的公式代入計算，列出不等式，即可得到結果．【解答】解：根據題意可知，χ2即n＞3.841×58故答案為：3．【點評】本題考查了獨立性檢驗，屬于基礎題．13．（2025?長寧區二模）為了研究吸煙習慣與慢性氣管炎患病的關系，某疾病預防中心對相關調查數據進行了研究，假設H0：患慢性氣管炎與吸煙沒有關系，并通過計算得到統計量χ2≈3.468，則可推斷拒絕原假設H0．（填“拒絕”或“接受”，規定顯著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）【考點】獨立性檢驗．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解．【答案】拒絕．【分析】根據獨立性檢驗的性質求解．【解答】解：由題意可知，χ2≈3.468＞2.707，所以可推斷拒絕原假設H0．故答案為：拒絕．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，屬于基礎題．四．解答題（共2小題）14．（2025?湖州模擬）中國春節檔電影《哪吒之魔童鬧?！菲狈客黄瓢賰|，是中國第一部沖入全球影史票房前5的作品．同學小華在某影院用簡單隨機抽樣的方法調查了200位觀影人觀看該電影的次數，并對他們的觀影次數作出統計，具體如下：年齡（歲）少年組（18及以下）青年組（19﹣35）中年組（36﹣60）老年組（61及以上）調查人數70803020少年組、青年組、中年組、老年組分別有27，12，（1）求這200位觀眾觀看該電影的平均次數；（2）小華記少年組與青年組為“A組”，記中年組和老年組為“B組”．請完成以下列聯表，依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為觀影次數與年齡層次有關聯？觀影次數年齡層次合計A組B組1次2次合計附表：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635參考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b【考點】獨立性檢驗；離散型隨機變量及其分布列．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】（1）1.36；（2）依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為觀影次數與年齡層次有關聯．【分析】（1）根據平均數定義可解；（2）根據獨立性檢驗相關知識可解．【解答】解：（1）已知少年組、青年組、中年組、老年組分別有27，12，則少年組看了2次有70×27=20人，看了青年組看了2次有80×12=40人，看了中年組看了2次有30×415=8人，看了老年組看了2次有20×15=4人，看了平均次數為20×2+50+40×2+40+8×2+22+4×2+16200=（2）根據題意可得：觀影次數年齡層次合計A組B組1次90381282次601272合計15050200由列聯表可得χ2=200×(90×12-38×60)2128×72×150×50故依據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，認為觀影次數與年齡層次有關聯．【點評】本題考查平均數以及獨立性檢驗相關知識，屬于中檔題．15．（2025?景德鎮校級模擬）某商店為了解消費者對某產品不同品牌（A，B）的偏好是否與他們的性別有關，隨機調查收集了100名消費者對該產品這兩個品牌的偏好數據，同時記錄了他們的性別，得到如下所示的列聯表：品牌性別AB男性1530女性3025（1）根據上表，用頻率估計概率，求女性消費者偏好品牌B的概率；（2）根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，判斷消費者對該產品品牌的偏好是否與性別有關聯．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879【考點】獨立性檢驗．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；運算求解．【答案】（1）511（2）根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，消費者對該產品品牌的偏好與性別有關聯．【分析】（1）根據表格數據，應用古典概型的概率求法求概率即可；（2）應用卡方公式求卡方值，結合獨立檢驗的基本思想得結論．【解答】解：已知為了解消費者對某產品不同品牌（A，B）的偏好是否與他們的性別有關，隨機調查收集了100名消費者對該產品這兩個品牌的偏好數據，（1）由表格數據知，女性消費者偏好品牌B的概率P=（2）列聯表如下，品牌性別AB男性153045女性3025554555100由題設，χ2所以根據小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，消費者對該產品品牌的偏好與性別有關聯．【點評】本題考查獨立性檢驗相關知識，屬于中檔題．

考點卡片1．離散型隨機變量及其分布列【知識點的認識】1、相關概念；（1）隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數，則η也是隨機變量．（3）連續型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．2．正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認識】1．正態曲線及性質（1）正態曲線的定義函數φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中實數（2）正態曲線的解析式①指數的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數：π和e，這是兩個無理數．③解析式中含有兩個參數：μ和σ，其中μ可取任意實數，σ＞0這是正態分布的兩個特征數．④解析式前面有一個系數為12πσ，后面是一個以e為底數的指數函數的形式，冪2．正態分布（1）正態分布的定義及表示如果對于任何實數a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態分布，記作N（μ，（2）正態總體在三個特殊區間內取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態曲線的性質正態曲線φμ，σ（x）=12πσe（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值12（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態總體在三個特殊區間內取值的概率值結合正態曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產品進行質量檢測的理論依據．【解題方法點撥】正態分布是高中階段唯一連續型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現，其中數值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤．對正態分布N（μ，σ2）中兩個參數對應的數值及其意義應該理解透徹并記住，且注意第二個數值應該為σ2而不是σ，同時，記住正態密度曲線的六條性質．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎考察典例1：設有一正態總體，它的概率密度曲線是函數f（x）的圖象，且f（x）=18πA．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知隨機變量ξ服從正態分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機變量X服從正態分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態曲線性質知，其圖象關于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝題型二：正態曲線的性質典例1：若一個正態分布的概率密度函數是一個偶函數，且該函數的最大值為14（1）求該正態分布的概率密度函數的解析式；（2）求正態總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個正態分布的概率密度函數的解析式，關鍵是求解析式中的兩個參數μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關．解（1）由于該正態分布的概率密度函數是一個偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點評：解決此類問題的關鍵是正確理解函數解析式與正態曲線的關系，掌握函數解析式中參數的取值變化對曲線的影響．典例2：設兩個正態分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根據正態分布N（μ，σ2）函數的性質：正態分布曲線是一條關于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭，故選A．答案：A．題型三：服從正態分布的概率計算典例1：設X～N（1，22），試求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：將所求概率轉化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態密度曲線的對稱性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服從正態分布的隨機變量在某個區間取值的概率，只需借助正態曲線的性質，把所求問題轉化為已知概率的三個區間上．典例2：隨機變量ξ服從正態分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝．解析：由題意可知，正態分布的圖象關于直線x＝1對稱，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．題型4：正態分布的應用典例1：2011年中國汽車銷售量達到1700萬輛，汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個汽車制造企業積極采用新技術降低耗油量，某汽車制造公司為調查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1200名車主，據統計該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有輛．解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態分布曲線以μ＝8為對稱軸，又因為P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1200×0.15＝180輛．點評：服從正態分布的隨機變量在一個區間上的概率就是這個區間上，正態密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據正態密度曲線的對稱性，當P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時必然有x1+典例2：工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態分布N（4，19），問在一次正常的試驗中，取1000個零件時，不屬于區間（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不屬于區間（3，5]的概率為P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（個），即不屬于區間（3，5]這個尺寸范圍的零件大約有3個．3．百分位數【知識點的認識】百分位數的定義：一般地，當總體是連續變量時，給定一個百分數p∈（0，1），總體的p分位數有這樣的特點，總體數據中的任意一個數小于或等于它的可能性是p．四分位數：25%，50%，75%分位數是三個常用的百分位數．把總體數據按照從小到大排列后，這三個百分位數把總體數據分成了4個部分，在這4個部分取值的可能性都是14【解題方法點撥】一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有（100﹣p）%的數據大于或等于這個值．計算一組n個數據的第p百分位數步驟如下：①按從小到大排列原始數據；②計算i＝n×p%；③若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第（i+1）項數據的平均數．【命題方向】理解連續變量的百分位數的統計含義，考察百分位數的計算，學會用樣本估計總體的百分位數．4．樣本相關系數【知識點的認識】1、概念：相關表和相關圖可反映兩個變量之間的相互關系及其相關方向，但無法確切地表明兩個變量之間相關的程度．于是，著名統計學家卡爾?皮爾遜設計了統計指標﹣﹣相關系數．相關系數是用以反映變量之間相關關系密切程度的統計指標．相關系數是按積差方法計算，同樣以兩變量與各自平均值的離差為基礎，通過兩個離差相乘來反映兩變量之間相關程度；著重研究線性的單相關系數．2、相關系數用r表示，計算公式為其中：當r＞0時，表明兩個變量正相關；當r＜0時，表明兩個變量負相關；|r|≤1，且|r|越接近于1，相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越?。?、殘差：相關指數R2用來刻畫回歸的效果，其計算公式是在含有一個解釋變量的線性模型中，R2恰好等于相關系數r的平方．顯然，R2取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是模型的擬合效果越好．【解題方法點撥】建立回歸模型的基本步驟：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個是預報變量；（2）畫出解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系；（3）由經驗確定回歸方程的類型（如觀察到數據呈線性關系，則選用線性回歸方程：y?=b（4）按一定規則估計回歸方程中的參數（如最小二乘法）；（5）得出結果分析殘差圖是否有異常，若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否適當．當回歸方程不是形如：y?=b5．經驗回歸方程與經驗回歸直線【知識點的認識】線性回歸是利用數理統計中的回歸分析，來確定兩種或兩種以上變數間相互依賴的定量關系的一種統計分析方法之一，運用十分廣泛．分析按照自變量和因變量之間的關系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析．如果在回歸分析中，只包括一個自變量和一個因變量，且二者的關系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析．如果回歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關系，則稱為多元線性回歸分析．變量的相關關系中最為簡單的是線性相關關系，設隨機變量與變量之間存在線性相關關系，則由試驗數據得到的點將散布在某一直線周圍．因此，可以認為關于的回歸函數的類型為線性函數．【解題方法點撥】例：對于線性回歸方程y?=1.5解：x=1+7+5+13+195所以y=1.5×9+45=13.5+45=58.5故答案為：58.5．方法就是根據線性回歸直線必過樣本中心（x，y），求出x，代入即可求y．這里面可以看出線性規劃這類題解【命題方向】這類題記住公式就可以了，也是高考中一個比較重要的點．6．獨立性檢驗【知識點的認識】1、分類變量：如果某種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．2、原理：假設性檢驗（類似反證法原理）．一般情況下：假設分類變量X和Y之間沒有關系，通過計算K2值，然后查表對照相應的概率P，發現這種假設正確的概率P很小，從而推翻假設，最后得出X和Y之間有關系的可能性為（1﹣P），也就是“X和Y有關系”．（表中的k就是K2的觀測值，即k＝K2）．其中n＝a+b+c+d（考試給出）3、2×2列聯表：4、范圍：K2∈（0，+∞）；性質：K2越大，說明變量間越有關系．5、解題步驟：（1）認真讀題，取出相關數據，作出2×2列聯表；（2）根據2×2列聯表中的數據，計算K2