第19頁（共19頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷常考題之事件的相互獨(dú)立性一．選擇題（共7小題）1．（2024秋?西湖區(qū)校級期末）從集合{1，2，3，4，5}中依次不放回的任取兩個數(shù)，記事件A＝“第一次取出的數(shù)字是1”，事件B＝“取出的兩個數(shù)之和為7”，下列說法不正確的是（）A．事件A，B相互獨(dú)立 B．P(C．AB為不可能事 D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）2．（2025春?沈陽期中）已知事件A，B相互獨(dú)立，且P(A)=A．12 B．14 C．16 3．（2025春?三明期中）數(shù)軸上一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點O出發(fā)，每隔1秒向左或向右移動一個單位，已知向右移動的概率為23，向左移動的概率為13，共移動8次，則質(zhì)點位于﹣A．(23)4(C．C83(24．（2025春?長寧區(qū)校級期中）甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨(dú)立，若甲、乙各射擊一次，則（）A．兩人都中靶的概率為0.12 B．兩人都不中靶的概率為0.42 C．恰有一人中靶的概率為0.46 D．至少一人中靶的概率為0.745．（2025春?東城區(qū)校級期中）進(jìn)行衛(wèi)星通信時，通常是將所傳送的信息轉(zhuǎn)化為0，1信號數(shù)碼進(jìn)行發(fā)送與接收的．在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時，接收方收到0（正確）的概率為α，收到1（錯誤）的概率為1﹣α；發(fā)送1時，接收方收到1（正確）的概率為β，收到0（錯誤）的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三重傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三重傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．無論哪種方案，接收方收到的信號都需要譯碼．譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的數(shù)碼即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)最多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）．下列結(jié)論中正確的是（）A．采用單次傳輸時，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）×β2 B．采用三重傳輸時，若發(fā)送數(shù)碼0，則譯碼為0的概率為（1﹣α）α2+α3 C．發(fā)送0，若0.5＜α＜1，則三重傳輸譯碼正確的概率大于單次傳輸譯碼正確的概率 D．當(dāng)α＝β時，譯碼正確的概率與傳輸方案以及傳輸數(shù)碼內(nèi)容無關(guān)6．（2025春?新泰市校級期中）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，下列說法正確的是（）A．2次傳球后球在丙手上的概率是12B．3次傳球后球在乙手上的概率是14C．11次傳球后球在甲手上的概率是13D．n次傳球后球在甲手上的概率是17．（2025春?濟(jì)南校級期中）甲、乙兩人各自獨(dú)立射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次．若甲每次射擊命中目標(biāo)的概率為45，乙每次射擊命中目標(biāo)的概率為2A．14 B．12 C．34 二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?景德鎮(zhèn)校級模擬）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)，甲擅長乒乓球，乙擅長籃球，丙既擅長乒乓球又擅長籃球，丁擅長足球與羽毛球，現(xiàn)從這四名同學(xué)中任選一位，記事件M＝“所選學(xué)生擅長乒乓球”，事件N＝“所選學(xué)生擅長籃球”，事件H＝“所選學(xué)生擅長足球”，則（）A．M與N互斥 B．M與H互斥 C．M與N相互獨(dú)立 D．M與H相互獨(dú)立（多選）9．（2025春?邢臺期中）甲、乙兩人競爭某公司同一個崗位，公司設(shè)計了一個面試方案：公司準(zhǔn)備了4個問題，先從這4個問題中隨機(jī)選取3個問題讓甲、乙分別作答，回答正確個數(shù)多的一方獲勝，若回答正確的個數(shù)相同，則甲、乙對剩下1個問題進(jìn)行搶答，搶到問題并回答正確的一方獲勝，否則對方獲勝．已知甲在4個問題中有3個問題能回答正確，乙每個問題回答正確的概率都是23A．只回答完前3個問題，甲獲勝的概率為1027B．只回答完前3個問題，乙獲勝的概率為3154C．進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲搶到問題并獲勝的概率為16D．進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲獲勝的概率為19（多選）10．（2025春?沈陽期中）如圖所示，P，Q為數(shù)軸上兩點，初始位置的數(shù)字分別為2，0，它們每隔1秒鐘都在數(shù)軸上獨(dú)立地向左或向右移動一個單位，已知點P向左或向右移動的概率均為12；點Q向左移動的概率為13，向右移動的概率為23，分別記點P、Q在n秒后所在位置的數(shù)字為xn，A．P(B．P(C．P(D．P三．填空題（共3小題）11．（2025?綿陽模擬）在一次知識競賽中，小張需要按順序依次回答甲、乙、丙3個問題，已知他答對甲、乙、丙的概率分別為0.8，0.5，0.2，各題回答正確與否相互獨(dú)立．若至少能夠連續(xù)將2道題都答對，可獲得額外加分，則小張獲得額外加分的概率為．12．（2025春?遼寧期中）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，采用五局三勝制（當(dāng)一人贏得三局時，該同學(xué)獲勝，比賽結(jié)束）．根據(jù)以往比賽成績，每局比賽中甲獲勝的概率都是p（0＜p＜1），且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．若甲以3：1獲勝的概率不高于甲以3：2獲勝的概率，則p的取值范圍為．13．（2025春?崇川區(qū)校級月考）“端午節(jié)”是我國四大傳統(tǒng)節(jié)日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、歡慶娛樂和飲食為一體的民俗大節(jié)，其民間活動也是豐富多彩，有賽龍舟、鳳舟、吃粽子、飲雄黃、懸艾葉、驅(qū)五毒等等．某市為迎接端午，組織各式活動，其中賽龍舟競爭最為激烈，最終兩隊爭奪賽事第一，若奪標(biāo)賽為“三局兩勝制”，甲隊在每局比賽中獲勝的概率為35，且每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲隊獲得冠軍的條件下，甲、乙兩隊進(jìn)行了3局比賽的概率為四．解答題（共2小題）14．（2025?桐鄉(xiāng)市模擬）甲、乙兩選手進(jìn)行羽毛球比賽，比賽采用5局3勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率是35，乙獲勝的概率是2（1）賽完4局且甲獲勝的概率；（2）在第3局乙獲勝的情況下，最終是甲獲勝的概率．15．（2025春?通州區(qū)期中）甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，甲、乙射擊中靶與否互不影響，甲、乙每次射擊中靶與否也互不影響．（Ⅰ）甲、乙各射擊1次，兩人都脫靶的概率；（Ⅱ）甲射擊2次，恰有1次中靶的概率；（Ⅲ）甲、乙各射擊2次，記4次射擊中至少有1次中靶”為事件M，記“4次射擊中至多有1次中靶”為事件N．判斷M與N是否相互獨(dú)立．（結(jié)論不要求證明）

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）期末必刷常考題之事件的相互獨(dú)立性參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）題號1234567答案ABDCCCC二．多選題（共3小題）題號8910答案BCACDAC一．選擇題（共7小題）1．（2024秋?西湖區(qū)校級期末）從集合{1，2，3，4，5}中依次不放回的任取兩個數(shù)，記事件A＝“第一次取出的數(shù)字是1”，事件B＝“取出的兩個數(shù)之和為7”，下列說法不正確的是（）A．事件A，B相互獨(dú)立 B．P(C．AB為不可能事 D．P（A∪B）＝P（A）+P（B）【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)列舉出所有情況及事件A，B的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件判定，判定各項的正誤．【解答】解：從集合{1，2，3，4，5}中依次不放回的任取兩個數(shù)，記事件A＝“第一次取出的數(shù)字是1”，事件B＝“取出的兩個數(shù)之和為7”，所有情況有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共20種，其中事件A有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），共4種，則P(事件B有（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），共4種，則P(顯然AB不存在，即P（AB）＝0，故P（AB）≠P（A）P（B），A錯，B、C對，由A∪B有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），故P(所有P（A∪B）＝P（A）+P（B），D對．故選：A．【點評】本題考查相互獨(dú)立事件以及古典概型相關(guān)知識，屬于中檔題．2．（2025春?沈陽期中）已知事件A，B相互獨(dú)立，且P(A)=A．12 B．14 C．16 【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】先求出P（B），再由獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可．【解答】解：因為P（B）=23，所以P（B）＝1﹣P（B）因為事件A，B相互獨(dú)立，所以P（AB）＝P（A）P（B）=3故選：B．【點評】本題考查獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?三明期中）數(shù)軸上一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點O出發(fā)，每隔1秒向左或向右移動一個單位，已知向右移動的概率為23，向左移動的概率為13，共移動8次，則質(zhì)點位于﹣A．(23)4(C．C83(2【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實驗相關(guān)知識可解．【解答】解：已知向右移動的概率為23，向左移動的概率為1根據(jù)題意，要使質(zhì)點位于﹣2的位置，則8次移動中需要5次向左3次向右即可，則移動8次，則質(zhì)點位于﹣2的位置的概率是C8故選：D．【點評】本題考查相互獨(dú)立事件概率相關(guān)知識，屬于中檔題．4．（2025春?長寧區(qū)校級期中）甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.7，且兩人是否中靶相互獨(dú)立，若甲、乙各射擊一次，則（）A．兩人都中靶的概率為0.12 B．兩人都不中靶的概率為0.42 C．恰有一人中靶的概率為0.46 D．至少一人中靶的概率為0.74【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；對立事件的概率關(guān)系及計算．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】設(shè)出事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計算求解．【解答】解：設(shè)甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則P（A）＝0.6，P（B）＝0.7，則兩人都中靶的概率為P（A）×P（B）＝0.7×0.6＝0.42，故A錯誤；兩人都不中靶的概率為（1﹣P（A））×（1﹣P（B））＝0.3×0.4＝0.12，故B錯誤；恰有一人中靶的概率為（1﹣P（A））×P（B）+P（A）（1﹣P（B））＝0.3×0.6+0.7×0.4＝0.46，故C正確；至少一人中靶的概率為1﹣0.3×0.4＝0.88，故D錯誤．故選：C．【點評】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、對立事件概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?東城區(qū)校級期中）進(jìn)行衛(wèi)星通信時，通常是將所傳送的信息轉(zhuǎn)化為0，1信號數(shù)碼進(jìn)行發(fā)送與接收的．在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時，接收方收到0（正確）的概率為α，收到1（錯誤）的概率為1﹣α；發(fā)送1時，接收方收到1（正確）的概率為β，收到0（錯誤）的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三重傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三重傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．無論哪種方案，接收方收到的信號都需要譯碼．譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的數(shù)碼即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)最多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）．下列結(jié)論中正確的是（）A．采用單次傳輸時，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）×β2 B．采用三重傳輸時，若發(fā)送數(shù)碼0，則譯碼為0的概率為（1﹣α）α2+α3 C．發(fā)送0，若0.5＜α＜1，則三重傳輸譯碼正確的概率大于單次傳輸譯碼正確的概率 D．當(dāng)α＝β時，譯碼正確的概率與傳輸方案以及傳輸數(shù)碼內(nèi)容無關(guān)【考點】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】應(yīng)用題；整體思想；分析法；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式依次求出各項中對應(yīng)事件的概率，即可得．【解答】解：選項A，發(fā)送0時，收到0的概率為α；發(fā)送1時，收到1的概率為β，所以采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為αβ2，故選項A錯誤；選項B，發(fā)送0時，接收方收到0（正確）的概率為α，收到1（錯誤）的概率為1﹣α，采用三次傳輸方案，發(fā)送數(shù)碼0，譯碼為0的情況有0，0，1、0，1，0、1，0，0、0，0，0，對應(yīng)概率依次為α2（1﹣α）、α2（1﹣α）、α2（1﹣α）、α3，故所求概率為3（1﹣α）α2+α3，故選項B錯誤；選項C：由B分析，三重傳輸時，發(fā)送數(shù)碼0，譯碼為0的概率為3（1﹣α）α2+α3單次傳輸時，發(fā)送數(shù)碼0，譯碼為0的概率為α，所以3（1﹣α）α2+α3﹣α＝3α2（1﹣α）﹣α（1+α）（1﹣α）＝α（2α﹣1）（1﹣α），又0.5＜α＜1，則α（2α﹣1）（1﹣α）＞0，即三重傳輸譯碼正確的概率大于單次傳輸譯碼正確的概率，故選項C正確；選項D：單次傳輸時，發(fā)送0，收到0的概率為α，發(fā)送1時，收到1的概率為β，三重傳輸時，發(fā)送0，收到0的概率為3（1﹣α）α2+α3發(fā)送1，收到1的概率為3（1﹣β）β2+β3，所以α＝β時，譯碼正確的概率與傳輸數(shù)碼內(nèi)容無關(guān)，結(jié)合C分析，顯然α＝β＝0.5或1時，譯碼正確的概率才與傳輸方案無關(guān)，故選項D錯誤．故選：C．【點評】本題考查相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．6．（2025春?新泰市校級期中）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，下列說法正確的是（）A．2次傳球后球在丙手上的概率是12B．3次傳球后球在乙手上的概率是14C．11次傳球后球在甲手上的概率是13D．n次傳球后球在甲手上的概率是1【考點】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】列舉出經(jīng)2次、3次傳球后的所有可能，再利用古典概型概率公式計算，即可判斷A，B；記An表示n次傳球后球在甲手中的事件，Pn＝P（An），利用相互獨(dú)立事件概率及條件概率探求Pn+1與Pn的關(guān)系，再借助等比數(shù)列求解作答，從而可判斷C，D．【解答】解：第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4個結(jié)果，它們等可能，2次傳球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1個結(jié)果，所以概率是14，故A第一次甲將球傳出后，3次傳球后的所有結(jié)果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個結(jié)果，它們等可能，3次傳球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3個結(jié)果，所以概率為38，故B設(shè)n次傳球后球在甲手上的事件記為An，則有An+1=AnAn+1+則P(∴P(∴pn+1=而第一次由甲傳球后，球不可能在甲手中，即p1＝0，則有p1數(shù)列{pn-13∴pn-1∴11次傳球后球在甲手上的概率是p11=13[1-故選：C．【點評】本題考查古典概型、獨(dú)立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（2025春?濟(jì)南校級期中）甲、乙兩人各自獨(dú)立射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次．若甲每次射擊命中目標(biāo)的概率為45，乙每次射擊命中目標(biāo)的概率為2A．14 B．12 C．34 【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由獨(dú)立事件概率乘法公式求出P（A），P（AB），再根據(jù)條件概率公式求解．【解答】解：甲、乙兩人各自獨(dú)立射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次，甲每次射擊命中目標(biāo)的概率為45，乙每次射擊命中目標(biāo)的概率為2甲、乙兩人每次射擊是否命中目標(biāo)互不影響，設(shè)甲、乙兩人三次射擊中至少命中目標(biāo)兩次為事件A，甲恰好命中目標(biāo)兩次為事件B，則P(P(∴P(故選：C．【點評】本題考查條件概率公式、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）8．（2025?景德鎮(zhèn)校級模擬）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)，甲擅長乒乓球，乙擅長籃球，丙既擅長乒乓球又擅長籃球，丁擅長足球與羽毛球，現(xiàn)從這四名同學(xué)中任選一位，記事件M＝“所選學(xué)生擅長乒乓球”，事件N＝“所選學(xué)生擅長籃球”，事件H＝“所選學(xué)生擅長足球”，則（）A．M與N互斥 B．M與H互斥 C．M與N相互獨(dú)立 D．M與H相互獨(dú)立【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)已知寫出各事件對應(yīng)情況并寫出概率值，結(jié)合互斥事件、獨(dú)立事件的定義判斷各項的正誤．【解答】解：甲擅長乒乓球，乙擅長籃球，丙既擅長乒乓球又擅長籃球，丁擅長足球與羽毛球，現(xiàn)從這四名同學(xué)中任選一位，記事件M＝“所選學(xué)生擅長乒乓球”，事件N＝“所選學(xué)生擅長籃球”，事件H＝“所選學(xué)生擅長足球”，由題設(shè)，M事件所選學(xué)生為甲或丙，且P(N事件所選學(xué)生為乙或丙，且P(H事件所選學(xué)生為丁，且P(顯然M，N不互斥，存在都選丙的可能，且P(MN)=14M，H互斥，即P（MH）＝0≠P（M）P（H），B對、D錯．故選：BC．【點評】本題考查互斥事件，相互獨(dú)立事件相關(guān)知識，屬于中檔題．（多選）9．（2025春?邢臺期中）甲、乙兩人競爭某公司同一個崗位，公司設(shè)計了一個面試方案：公司準(zhǔn)備了4個問題，先從這4個問題中隨機(jī)選取3個問題讓甲、乙分別作答，回答正確個數(shù)多的一方獲勝，若回答正確的個數(shù)相同，則甲、乙對剩下1個問題進(jìn)行搶答，搶到問題并回答正確的一方獲勝，否則對方獲勝．已知甲在4個問題中有3個問題能回答正確，乙每個問題回答正確的概率都是23A．只回答完前3個問題，甲獲勝的概率為1027B．只回答完前3個問題，乙獲勝的概率為3154C．進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲搶到問題并獲勝的概率為16D．進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲獲勝的概率為19【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)古典概型和二項分布的概率公式，以及獨(dú)立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：記前3個問題甲、乙回答正確的個數(shù)分別為X，Y，甲搶到問題為事件A，甲回答正確為事件B，乙搶到問題為事件C，乙回答正確為事件D，則P(X=2)=C32C43=34，P（X＝3）=C33C43=對于A，只回答完前3個問題，甲獲勝的概率為P（X＝2）P（Y＜2）+P（X＝3）P（Y≤2）=34×對于B，只回答完前3個問題，乙獲勝的概率為P（X＝2）P（Y＝3）=34×對于C，進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲搶到問題并獲勝的概率為P（X＝2）P（Y＝2）P（A）P（B）=34×對于D，P（X＝2）P（Y＝2）P（A）P（B）=3P（X＝2）P（Y＝2）P（C）P（D）=3P（X＝3）P（Y＝3）P（C）P（D）=1所以進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲獲勝的概率為16+1故選：ACD．【點評】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了古典概型和二項分布的概率公式，屬于中檔題．（多選）10．（2025春?沈陽期中）如圖所示，P，Q為數(shù)軸上兩點，初始位置的數(shù)字分別為2，0，它們每隔1秒鐘都在數(shù)軸上獨(dú)立地向左或向右移動一個單位，已知點P向左或向右移動的概率均為12；點Q向左移動的概率為13，向右移動的概率為23，分別記點P、Q在n秒后所在位置的數(shù)字為xn，A．P(B．P(C．P(D．P【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】分類討論；分類法；概率與統(tǒng)計；邏輯思維．【答案】AC【分析】x1﹣y1＝2，即1秒后P，Q同時向左或向右一步，求出概率判斷A；若x2+y2＝2，則x2＝0，y2＝2，或x2＝2，y2＝0，或x2＝4，y2＝﹣2，計算每種情況下的概率，再相加判斷B；若x2＝y(tǒng)2，則x2＝y(tǒng)2＝0，或x2＝y(tǒng)2＝2，計算每種情況下的概率，再相加判斷C；舉反例令x＝1，判斷D．【解答】解：對于A，由題意x1﹣y1＝2，即1秒后P，Q同時向左或向右一步，所以P（x1﹣y1＝2）=12×對于B，若x2+y2＝2，則x2＝0，y2＝2，或x2＝2，y2＝0，或x2＝4，y2＝﹣2，所以P（x2+y2＝2）=12×12×2對于C，若x2＝y(tǒng)2，則x2＝y(tǒng)2＝0，或x2＝y(tǒng)2＝2，所以P（x2＝y(tǒng)2）=12×12×2對于D，P（x1＝y(tǒng)1）=12×23=13，所以P（x1＝y(tǒng)1）＝P（故選：AC．【點評】本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．三．填空題（共3小題）11．（2025?綿陽模擬）在一次知識競賽中，小張需要按順序依次回答甲、乙、丙3個問題，已知他答對甲、乙、丙的概率分別為0.8，0.5，0.2，各題回答正確與否相互獨(dú)立．若至少能夠連續(xù)將2道題都答對，可獲得額外加分，則小張獲得額外加分的概率為0.42．【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】0.42．【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求解即可．【解答】解：已知他答對甲、乙、丙的概率分別為0.8，0.5，0.2，各題回答正確與否相互獨(dú)立．由題意，至少能夠連續(xù)將2道題都答對，包含的情況有：甲乙都對，丙正誤都可；甲錯誤，乙丙對，則小張獲得額外加分的概率為0.8×0.5+（1﹣0.8）×0.5×0.2＝0.42．故答案為：0.42．【點評】本題考查相互獨(dú)立事件相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．12．（2025春?遼寧期中）甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，采用五局三勝制（當(dāng)一人贏得三局時，該同學(xué)獲勝，比賽結(jié)束）．根據(jù)以往比賽成績，每局比賽中甲獲勝的概率都是p（0＜p＜1），且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．若甲以3：1獲勝的概率不高于甲以3：2獲勝的概率，則p的取值范圍為（0，12]【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】計算題；對應(yīng)思想；分析法；概率與統(tǒng)計；數(shù)據(jù)分析．【答案】(0，【分析】分別求得甲以3：1獲勝的概率p1，甲以3：2獲勝的概率p2，再由p1≤p2求解．【解答】解：題意可知，甲以3：1獲勝的概率為p1甲以3：2獲勝的概率為p2因為p1≤p2，所以p1解得p≤故p的取值范圍為(0，故答案為：(0【點評】本題考查相互獨(dú)立事件的乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．13．（2025春?崇川區(qū)校級月考）“端午節(jié)”是我國四大傳統(tǒng)節(jié)日之一，是集拜神祭祖、祈福辟邪、歡慶娛樂和飲食為一體的民俗大節(jié)，其民間活動也是豐富多彩，有賽龍舟、鳳舟、吃粽子、飲雄黃、懸艾葉、驅(qū)五毒等等．某市為迎接端午，組織各式活動，其中賽龍舟競爭最為激烈，最終兩隊爭奪賽事第一，若奪標(biāo)賽為“三局兩勝制”，甲隊在每局比賽中獲勝的概率為35，且每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則在甲隊獲得冠軍的條件下，甲、乙兩隊進(jìn)行了3局比賽的概率為49【考點】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；條件概率．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】49【分析】根據(jù)條件概率的公式求解．【解答】解：設(shè)甲隊獲得冠軍的概率為事件A，則P（A）=3甲乙兩隊進(jìn)行了3局比賽記為事件B，則P（AB）=3則在甲隊獲得冠軍的條件下，甲、乙兩隊進(jìn)行了3局比賽的概率為P（B|A）=P故答案為：49【點評】本題考查條件概率的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共2小題）14．（2025?桐鄉(xiāng)市模擬）甲、乙兩選手進(jìn)行羽毛球比賽，比賽采用5局3勝制，如果每局比賽甲獲勝的概率是35，乙獲勝的概率是2（1）賽完4局且甲獲勝的概率；（2）在第3局乙獲勝的情況下，最終是甲獲勝的概率．【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】對應(yīng)思想；定義法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】（1）162625（2）5943125【分析】（1）根據(jù)題意只需要前三局甲任意贏兩場即可，利用相互獨(dú)立事件乘法公式即可；（2）分比賽4局或比賽5局，再結(jié)合相互獨(dú)立事件乘法公式即可．【解答】解：（1）已知如果每局比賽甲獲勝的概率是35，乙獲勝的概率是2若賽完4局且甲獲勝，則概率為C3（2）在第3局乙獲勝的情況下，最終是甲獲勝，若比賽4局，則P=3若比賽5局，則P=C則在第3局乙獲勝的情況下，最終是甲獲勝的概率為54625【點評】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式，屬于中檔題．15．（2025春?通州區(qū)期中）甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，甲、乙射擊中靶與否互不影響，甲、乙每次射擊中靶與否也互不影響．（Ⅰ）甲、乙各射擊1次，兩人都脫靶的概率；（Ⅱ）甲射擊2次，恰有1次中靶的概率；（Ⅲ）甲、乙各射擊2次，記4次射擊中至少有1次中靶”為事件M，記“4次射擊中至多有1次中靶”為事件N．判斷M與N是否相互獨(dú)立．（結(jié)論不要求證明）【考點】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】分類討論；分類法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）0.02；（Ⅱ）0.32；（Ⅲ）M與N不相互獨(dú)立．【分析】（Ⅰ）設(shè)事件A＝“甲射擊中靶”，事件B＝“乙射擊中靶”，求P（A）P（B）即可；（Ⅱ）利用二項分布求概率公式求解即可；（Ⅲ）分別求出P（MN），P（M），P（N），再由獨(dú)立事件的概率乘法公式判斷即可．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)事件A＝“甲射擊中靶”，事件B＝“乙射擊中靶”，甲、乙各射擊1次，兩人都脫靶的概率P1＝P（A）P（B）＝（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.02；（Ⅱ）甲射擊2次，恰有1次中靶的概率P2=C21×0.8×（1﹣（Ⅲ）M與N不相互獨(dú)立．事件MN表示4次射擊恰有1次中靶，則P（M）＝1﹣（0.22×0.12）＝0.9996，P（N）＝0.22×0.12+C21×0.2×0.8×0.12+C21×0.1P（MN）=C21×0.2×0.8×0.12+C21×0.1所以P（MN）≠P（M）P（N），事件M與N不相互獨(dú)立．【點評】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式，結(jié)合二項分布求概率等相關(guān)知識，屬于中檔題．

考點卡片1．對立事件的概率關(guān)系及計算【知識點的認(rèn)識】﹣對立事件的概率關(guān)系是P(【解題方法點撥】﹣利用對立事件的公式計算對立事件的概率．【命題方向】﹣主要考察對立事件概率計算的問題，適用于概率計算的補(bǔ)集部分．2．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式【知識點的認(rèn)識】1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨(dú)立事件．2．相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式：將事件A和事件B同時發(fā)生的事件即為A?B，若兩個相互獨(dú)立事件A、B同時發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個不同的概念：（1