第27章反比例函數（單元測試·培優卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022秋·黑龍江·七年級校考期末）下列等式中，x，y這兩個量成反比例關系的是（

）A．x+y=15 B．y=7x C．x∶2=y∶3 D．x∶2=3∶y2．（2022·河北石家莊·石家莊二十三中校考模擬預測）兩個反比例函數和，且，交點個數為（

）A．0 B．2 C．4 D．無數個3．（2023春·江蘇·八年級期末）已知三個點都在一個反比例函數的圖像上，其中，則a的取值范圍是（）A． B．或 C． D．或4．（2023春·浙江溫州·八年級校考期末）小明學習了物理中的歐姆定律發現：電阻兩端的電壓＝電流強度×電流通過的電阻．已知某滑動變阻器兩端電壓恒定，當變阻器的電阻調節為10Ω時，測得通過該變阻器的電流為24A，則通過該滑動變阻器的電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）之間的函數關系圖像大致是（）A．B．C． D．5．（2023春·浙江嘉興·八年級統考期末）如圖，反比例函數（）、（）的圖像分別經過正方形、正方形的頂點D、A，連接、、．則的面積可表示為（

）

A． B． C． D．6．（2023·浙江紹興·校聯考三模）如圖，過原點O的直線l與雙曲線交于A、C兩點，將直線l繞點O順時針旋轉，與雙曲線交于B、D兩點，以下四種說法：①存在無數個平行四邊形；②存在無數個矩形；③存在菱形；④不存在正方形；其中正確的個數是（

）

A．1 B．2 C．3 D．47．（2023春·浙江嘉興·八年級統考期末）如圖，在第一象限內，點A是一次函數圖像上一動點，點B，C的坐標分別是，，若反比例函數和的圖像分別經過點A，D，則下列代數式的值為定值的是（

）

A． B． C． D．8．（2021·山東臨沂·統考二模）對于反比例函數（為任意實數），下列說法正確的是（

）A．隨的增大而增大 B．圖像是軸對稱圖形，對稱軸只有一條是直線C．當時， D．當時，9．（2022秋·九年級單元測試）已知函數y＝（m＜0），以下結論中正確的有（）個．①圖像位于一，三象限；②若點A（﹣1，a），點B（1，b）在圖像上，則a＜b；③對于不同的m值，反比例函數的圖像可能會相交；④若點P（x，y）在圖像上，則點P1（﹣y，﹣x）也在圖像上．A．4 B．3 C．2 D．110．（2023春·江西上饒·九年級統考階段練習）如圖1，這是一個電子體重秤，可變電阻可隨著人的質量的變化而變化；在圖2的電路圖中，電源電壓恒為8伏，定值電阻的阻值為30歐，接通開關，人站上踏板，電壓表顯示的讀數為，則（伏）關于（歐）的函數解析式為（

）

A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023春·四川成都·九年級四川省成都市第七中學初中學校校考階段練習）如圖，把雙曲線（虛線部分）沿x軸的正方向、向右平移2個單位，得一個新的雙曲線（實線部分），新的雙曲線與y軸的交點為．12．（2022·浙江溫州·統考一模）若A（a，a+5），B（b，b-5）是反比例圖像上的兩點，則線段AB的長為．13．（2022·山東青島·統考二模）寫出一個具有性質①②的函數．①當時，；②當時，的值隨值的增大而在增大．14．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考三模）如圖，反比例函數的圖像與的兩邊、分別交于點、，已知軸，點A在y軸上，點C在x軸上，F為的中點，則．

15．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，把雙曲線繞著原點逆時針旋轉與軸交于點，（1）若點B（0，2），則；（2）若點A（3，5）在旋轉后的曲線上，則．16．（2022·浙江杭州·模擬預測）已知反比例函數的圖像經過二、四象限．（1）點在第象限．（2）若點，是反比例函數圖像上兩點，則的大小關系是．（用符號“”連結）17．（2022秋·山東東營·九年級校聯考期中）如圖，，，，，，在軸上，縱坐標分別是1，2，3，4，，，分別過，，，，，作軸的平行線，交函數的圖像于，，，，，以，，，，，為邊向下作平行四邊形，其中，在軸上，，在直線上，，在直線上，，在直線上，，，，在直線上，每個平行四邊形的銳角都是，則的面積是．（用n表示）

18．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學校考三模）如圖，矩形的兩邊與分別落在x軸負半軸與y軸正半軸上．反比例函數與分別交于，兩點．點為上一點，P到直線的距離不大于3，則點P的橫坐標m的取值范圍是．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023秋·九年級課時練習）畫出反比例函數的大致圖像，結合圖像回答：(1)當時，y的值；(2)當時，y的取值范圍；(3)當且時，x的取值范圍．20．（8分）（2023·遼寧盤錦·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，，，反比例函數在第一象限的圖像經過點C，，，過點C作直線軸，交y軸于點E．

(1)求反比例函數的解析式．(2)若點D是x軸上一點（不與點A重合），的平分線交直線于點F，請直接寫出點F的坐標．21．（10分）（2023秋·廣西柳州·九年級統考期末）如圖，一次函數與反比例函數的圖像交于，兩點．

(1)求一次函數的解析式；(2)根據圖像直接寫出使成立的的取值范圍；(3)求得面積．22．（10分）（2023春·江蘇連云港·八年級統考期末）如圖，四邊形是平行四邊形且點，將平行四邊形繞點A逆時針旋轉得到平行四邊形，經過點，點恰好落在軸的正半軸上，若點A，在反比例函數的圖像上．

(1)證明：是等邊三角形，并求的值；(2)設，，，是雙曲線上的四點，，，試判斷，的大小，說明理由．23．（10分）（2023春·江蘇宿遷·八年級統考期末）通過實驗研究發現：初中生在數學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生興趣激增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩狀態，隨后開始分散，學生注意力指標y隨時間x分鐘）變化的函數圖像如圖所示，當和時，圖像是線段；當時，圖像是反比例函數圖像的一部分．

(1)求圖中點A的坐標；(2)王老師在一節數學課上講解一道數學綜合題需要16分鐘，他能否經過適當的安排，使學生在聽這道綜合題講解時，注意力指標都不低于36？請說明理由．24．（12分）（2023春·江蘇鹽城·八年級景山中學校考階段練習）參照學習的一次函數與反比例函數圖像與性質的過程與方法，探究函數的圖像與性質．(1)使用“描點法”作出函數的圖像．列表：恰當地選取自變量x的幾個值，計算y對應的值．x…0234……0432…描點：以表中各對x、y的值為點的坐標，在平面直角坐標系中描出相應的點，如圖，請將圖中直線兩側的各點分別用一條光滑的曲線順次連接起來：

(2)觀察圖像并分析表格，回答下列問題：①當時，y隨x的增大而．（填寫“增大”或“減小”）②函數的圖像關于點中心對稱．（填寫點的坐標）③小明發現，函數的圖像是雙曲線，他覺得函數的圖像是由一個反比例函數的圖像經過平移得來的，并進行了如下變形：，請試著在平面直角坐標系中畫出反比例函數的圖像，并觀察得出函數的圖像是由函數的圖像經過怎樣的平移變換得到的：．(3)若直線與函數的圖像相交于A、B兩點，A的橫坐標是m，B的縱坐標是n，則．(4)我們將第（2）題③中小明的變形過程稱為“分離常數”，請利用“分離常數”的方法，求出函數圖像上橫坐標、縱坐標均為整數的點的坐標．

參考答案1．D【分析】根據反比例關系的定義進行逐一判斷即可：兩種相關聯的變量，一個變量隨著另一個變量的變化而變化，如果這兩個變量對應的兩個數的乘積一定，那么它們的關系就叫做反比例關系．【詳解】解：A、，x與y的積不是定值，不是反比例關系，不符合題意；B、，x與y的積不是定值，不是反比例關系，不符合題意；C、，即，x與y的積不是定值，不是反比例關系，不符合題意；D、，即，x與y的積是定值，是反比例關系，符合題意；故選D．【點撥】本題主要考查了反比例關系，比例的性質，熟知反比例函數的關系的定義是解題的關鍵．2．A【分析】分m、n符號相反和m、m符號相同兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：兩個反比例函數y=和y=，且，當m、n符號相反時，雙曲線不在同一象限，故沒有交點；當m、m符號相同時，∵m≠m≠0，∴≠，故沒有交點；綜上，兩個反比例函數y=和y=，且，交點個數為0，故選：A．【點撥】本題考查了反比例函數的意義，解題時，要注意“分類討論”數學思想的應用．3．D【分析】根據三個點在一個反比例函數上，可知，再根據，可知，進而得出反比例函數的比例系數，然后根據反比例函數的性質，分和，兩種情況進行討論即可得解．【詳解】解：設三個點都在一個反比例函數的圖像上，則：，∴的符號相反，又∵，∴，∴，∴雙曲線過一，三象限，在每一個象限內，隨的增大而減小，∴當時，；當時，；綜上：或．故選：D．【點撥】本題考查比較反比例函數的函數值大小，熟練掌握反比例函數的圖像和性質是解題的關鍵．4．A【分析】根據電阻兩端的電壓＝電流強度×電流通過的電阻，得到，根據題意，求出的值，得到電流I與電阻R成反比例函數關系，即可得出結論．【詳解】解：∵電阻兩端的電壓＝電流強度×電流通過的電阻，∴，∵當時，，∴，∴，∴，∴電流I與電阻R成反比例函數關系，故答案A符合題意，答案B是一次函數，故不符合題意，答案C是正比例函數，故不符合題意，答案D是二次函數，故不符合題意，故選：A．【點撥】本題考查實際問題與函數圖像．解題的關鍵是確定電流I與電阻R成反比例函數關系．5．A【分析】連接，根據即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

四邊形與四邊形都是正方形，，，，，．故選：A．【點撥】本題考查了正方形的性質、反比例函數k的幾何意義，證明是解決問題的關鍵．6．C【分析】根據雙曲線和直線的中心對稱性質和平行四邊形，矩形，菱形和正方形的判定，結合圖形即可得到答案．【詳解】∵雙曲線和雙曲線是關于原點O對稱的中心對稱圖形，直線和直線是關于原點O的中心對稱圖形，∴∴四邊形為平行四邊形，故①正確，符合題意；∵如圖雙曲線在雙曲線的內側，∴以為圓心，為半徑作圓，交雙曲線于兩點，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴,∴，∴四邊形為矩形，故②正確，符合題意；∵A，B兩點都在第一象限，∴,∵四邊形要想成為菱形和正方形，對角線都需要互相垂直即，∴四邊形不可能是菱形和正方形，故③不正確，不符合題意，④正確，符合題意．故選：C

【點撥】本題考查了雙曲線的性質，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定和正方形的的判定等知識點，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．7．D【分析】設點A的坐標為，根據平行四邊形邊的性質可表示出點D的坐標為，從而表示出，，因此可判斷各選項．【詳解】∵點A是一次函數圖像上一動點∴設點A的坐標為∵在中，，即可以看做由平移得到∵，∴點D的坐標為∵反比例函數和的圖像分別經過點，∴，∴A選項：，不是定值；B選項：，不是定值；C選項：，不是定值；D選項：由于，，，是定值．故選：D【點撥】本題考查求反比例函數的比例系數k，二次根式的化簡，設點A的坐標，表示出點D的坐標是解題的關鍵．8．D【分析】根據反比例函數的增減性和對稱性確定A、B錯誤，把x=-1代入函數解析式判定C錯誤，根據反比例函數的增減性判定D正確.【詳解】解：∵t2≥0，∴t2+1＞0，即-t2-1＜0，故圖像在每個象限內y隨x的增大而增大，A錯誤；當y=-t2-1時，x=，當y=時，x=，根據圖像在每個象限內y隨x的增大而增大知1≤x≤2，D正確；反比例函數圖像的對稱軸有2條y=x或y=-x，故B錯誤；當x=-1時，y=≥1，故C錯誤，故選：D.【點撥】本題考查反比例函數的圖像和性質，注意函數圖像增減性的變化的前提條件是在每個象限內，這個是學生的易錯點.9．D【分析】根據m的符號則可判斷①；根據反比例函數圖像上點的坐標特征即可判斷②，根據反比例函數的性質即可判斷③，根據反比例函數的系數m＝xy即可判斷④．【詳解】解：∵函數y＝中，m＜0，∵圖像位于二，四象限，故①錯誤；∵點A（﹣1，a），點B（1，b）在圖像上，∴點A（﹣1，a）在第二象限，點B（1，b）在第四象限，∴a＞b，故②錯誤；對于不同的m值，反比例函數的圖像不會相交，故③錯誤；若點P（x，y）在圖像上，則m＝xy，∵﹣x?（﹣y）＝m，∴點P1（﹣y，﹣x）也在圖像上．故④正確；故選：D．【點撥】本題考查了反比例函數圖形上點的坐標特征，反比例函數的圖像和性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．10．D【分析】由可變電阻兩端的電壓=電源電壓電表電壓，可得可變電阻電壓，結合，可變電阻和定值電阻的電流大小相等，可得，再整理代入數據即可．【詳解】解：由題意得：可變電阻兩端的電壓=電源電壓電表電壓，即：可變電阻電壓，∵，可變電阻和定值電阻的電流大小相等，∴．化簡得：，∵，∴．故選D【點撥】本題以物理中的電路問題為背景，考查了學生對于求解反比例函數關系式的掌握情況，解題的關鍵是先要求找出兩個要求量之間的等量關系，然后化簡為要求的表達式，轉化過程中需要注意無關量的消去，一般情況下都是用代入法消元來解決這一問題的．11．【分析】先根據平移的性質得出雙曲線的解析式，再把代入求得y的值，即可求得新的雙曲線與y軸的交點．【詳解】解：把雙曲線（虛線部分）沿x軸的正方向、向右平移2個單位，得一個新的雙曲線：，令，則，∴新的雙曲線與y軸的交點為；故答案為：．【點撥】本題考查了反比例函數圖像上點的坐標特征、平移的性質，熟知左加右減的平移規律是解答此題的關鍵．12．【分析】根據反比例函數圖像上點的特征得到a(a+5)=b(b-5)，推出a-b=-5，再利用兩點之間的距離公式即可求得線段AB的長．【詳解】解：∵A（a，a+5），B（b，b-5）是反比例圖像上的兩點，∴a(a+5)=b(b-5)，整理得：b2-a2=5(a+b)，∵ab，∴a-b=-5，∵AB2=(a-b)2+(a+5-b+5)2=2(a-b)2+20(a-b)+102=2×25-100+100=2×25．∴AB=5(負值已舍)．故答案為：．【點撥】本題考查了反比例函數圖像上點的特征，兩點之間的距離公式，根據反比例函數圖像上點的特征求得a-b=-5是解題的關鍵．13．（答案不唯一）【分析】根據條件直接寫一個滿足條件的函數解析式即可．【詳解】解；若此函數是反比例函數時，當x=-3，y=3，則k=-9，則y=-，且滿足當時，的值隨值的增大而在增大．故函數-．故答案為：－（答案不唯一）．【點撥】本題屬開放性題目，考查了求反比例函數解析式，反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．14．10【分析】過點F作軸于點D，過點B作軸于點G，可得，再由軸，，可得，即，從而求得，再根據反比例函數解析式求得，即可求得結果．【詳解】解：過點F作軸于點D，過點B作軸于點G，∵軸，軸，∴，又∵F為的中點，，∴，∵軸，，∴，∴，∴，∴，即，∴．

【點撥】本題考查三角形的中位線的性質、用待定系數法求反比例函數解析式，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．15．28【分析】（1）根據旋轉的性質，求出點的對應點坐標，求出值即可；（2）根據旋轉的性質，求出點的對應點坐標，求出值即可；【詳解】解：（1）設點繞著原點逆時針旋轉后的對應點為點（0，2），則：，，過點作軸，交軸于點，則：為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；故答案為：2；（2）設點繞著原點逆時針旋轉后的對應點為點A（3，5），則：，，過點作，則：，∴，∴，∴，整理，得：，解得：或（不合題意，舍掉），把代入，得：，∵，∴，∴，∴；故答案為：8．【點撥】本題考查反比例函數，以及旋轉的性質．熟練掌握旋轉的性質，確定點的坐標，是解題的關鍵．16．四b>c>a【分析】（1）根據反比例函數的圖像經過二、四象限可知k＜0，再根據反比例函數的性質進行判斷即可；（2）根據反比例函數的圖像在二四象限可得點A、B在第二象限，再根據反比例函數的性質可得a-b與a-c的大小，即可求解．【詳解】解：（1）∵反比例函數的圖像經過二、四象限，∴k＜0，∴-k＞0，∴點P（-k，k）在第四象限，故答案為：四；（2）∵k＜0，點A（a-b，3），B（a-c，5），∴反比例函數，y隨x的增大而增大，點A、B在第二象限，∴a-b＜0，a-c＜0，a-b＜a-c，∴a＜b，a＜c，b＞c，∴b＞c＞a，故答案為：b＞c＞a．【點撥】本題考查了反比例函數圖像上點的坐標特征，根據反比例函數的圖像判斷出k的取值范圍是解答此題的關鍵．17．【分析】根據點，，，，，的縱坐標和反比例函數，可以求出、、、的坐標，進而可以求出每個平行四邊形的底和高，求出各個平行四邊形的面積，通過找規律得出答案；由題意可知，每個平行四邊形的高都是1，只要求出底就可以了，即求出、、、的長度即可．【詳解】解：把、2、3、4、分別代入得：、、、，、、、、、，、、、、、，又因為這些平行四邊形的高都是1，所以：這些平行四邊形的面積為：4、2、、、、．故答案為：．【點撥】主要考查反比例函數圖像上的點的坐標特征，平行四邊形的性質等知識；運用數形結合、反比例函數圖像上點的坐標特征和平行四邊形的性質求出平行四邊形的底和高，進而求出面積，得出答案．18．【分析】先求出反比例函數解析式，再根據圖像確點P的橫坐標m的取值范圍即可．【詳解】解：∵反比例函數與分別交于，兩點，∴，解得，，點的坐標為，點的坐標為，∴反比例函數解析式為當時，，此時，P到直線的距離等于3，當點P和點重合時，P到直線的距離等于3，所以，點P的橫坐標m的取值范圍是，故答案為：．【點撥】本題考查了反比例函數圖像與性質，解題關鍵是求出反比例函數解析式及點坐標．19．(1)；(2)(3)或【分析】作出反比例函數圖像，如圖所示，（1）把代入反比例解析式求出y的值即可；（2）分別求出與時y的值，結合圖像確定出y的范圍即可；（3）分別求出與時x的值，結合圖像確定出x的范圍即可．【詳解】（1）解：作出反比例函數的圖像，

把代入得：；（2）解：當時，；當時，，根據圖像得：當時，y的取值范圍為；（3）解：當時，；當時，，根據題意得：當且時，x的取值范圍為或．【點撥】此題考查了反比例函數圖像上點的坐標特征，畫反比例函數的圖像，熟練掌握反函數的圖像是解本題的關鍵．20．(1)(2)【分析】（1）作軸于點G，如圖，證明四邊形是矩形，得到，推出，證明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A、B的坐標求出，進而得到點C的坐標為，再代入反比例函數的解析式即可；（2）根據勾股定理和等腰直角三角形的性質求出，根據平行線的性質、角平分線的定義得到，進而得出，即得，即可求解．【詳解】（1）作軸于點G，如圖，

∵軸，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴矩形是正方形，

∴，∵，，∴，設，則，解得：，∴，∴點C的坐標為，代入，得；∴反比例函數的解析式為；（2）∵，，∴，∵，，∴，∵軸，∴，∵平分，∴，

∴，∴，∵，∴，∴點F的坐標是．【點撥】本題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數的解析式、矩形和正方形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，具有一定的綜合性，熟練掌握上述知識、靈活應用數形結合思想是解題的關鍵．21．(1)(2)或(3)【分析】（1）根據反比例函數的圖像過，，可求得點，的坐標，將點，的坐標代入，即可求得答案．（2）表示一次函數的圖像在反比例函數的圖像下方的部分，據此即可求得答案．（3）設直線與軸，軸分別交于點，點，根據，即可求得答案．【詳解】（1）因為反比例函數的圖像過點，得．解得：．所以，點的坐標為．同理可得，點的坐標為．因為一次函數的圖像過點，，得：．解得：．所以，一次函數解析式為．（2）根據題意可知，表示一次函數的圖像在反比例函數的圖像下方的部分，此時或．（3）如圖所示，設直線與軸，軸分別交于點，點，可求得點的坐標為，點的坐標為．

．【點撥】本題主要考查一次函數和反比例函數，牢記一次函數和反比例函數的圖像和性質是解題的關鍵．22．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，由旋轉性質可得，即可證明是等邊三角形，從而求出，即可求出的值；（2）先求出，代入，，即可求出．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由旋轉可知：，，∴，即，∵，∴，∴是等邊三角形．由題可知，∵經過點，點A，在反比例函數的圖像上，由反比例函數中心對稱性，可得，過點A作軸重線，垂足為，∵是等邊三角形