第十七講拋物線（二大考向)一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)拋物線的考查，重點(diǎn)是（1）拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）。（3）直線和拋物線的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用。拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)2024·新高考Ⅱ卷，10拋物線的定義、直線與拋物線的綜合運(yùn)用2022·新高考Ⅰ卷，112022·新高考Ⅱ卷，102023·新高考Ⅱ卷，10二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷未考查拋物線，Ⅱ卷考查了拋物線與直線、圓知識(shí)點(diǎn)的綜合，涉及到拋物線的知識(shí)點(diǎn)主要有準(zhǔn)線和定義，難度適中。拋物線是高考考查的熱點(diǎn)，其中拋物線的定義、方程、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及其幾何性質(zhì)的應(yīng)用是考查的重點(diǎn)。而且拋物線在多選題中考查的比較頻繁，考生可以多多加強(qiáng)練習(xí)。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查拋物線的定義和直線與拋物線的綜合運(yùn)用。三：試題精講一、多選題1．（2024新高考Ⅱ卷·10）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)高考真題練一、多選題1．（2022新高考Ⅰ卷·11）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．2．（2022新高考Ⅱ卷·10）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．3．（2023新高考Ⅱ卷·10）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．注：若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn)．二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，，，，其中一次項(xiàng)與對(duì)稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向圖形標(biāo)準(zhǔn)方程頂點(diǎn)范圍，，，，對(duì)稱軸軸軸焦點(diǎn)離心率準(zhǔn)線方程焦半徑【拋物線常用結(jié)論】1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大．4、焦點(diǎn)弦若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：（1）．（2）．（3）焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長(zhǎng)度為．焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點(diǎn)為，則（1）弦長(zhǎng)公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的快速方法（法）（1）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為（2）焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為如，即，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點(diǎn)弦方程拋物線的切線方程為，為切點(diǎn)切點(diǎn)弦方程為，點(diǎn)在拋物線外與中點(diǎn)弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點(diǎn)（含焦點(diǎn)）是弦AB的中點(diǎn)，中點(diǎn)弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點(diǎn)差法也可以得到同樣的結(jié)果．9、拋物線的通徑過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長(zhǎng)為．10、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系：11、焦點(diǎn)弦的?？夹再|(zhì)已知、是過拋物線焦點(diǎn)的弦，是的中點(diǎn)，是拋物線的準(zhǔn)線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設(shè)，為垂足，則、、三點(diǎn)在一條直線上名校模擬練一、單選題1．（2024·重慶·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．-12．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，則該圓的面積為（

）A． B． C． D．3．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（

）A． B．3 C． D．24．（2024·北京順義·三模）設(shè)M是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O足坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則（

）A．5 B．4 C．3 D．25．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）過拋物線上的一點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，，則可能的取值是（

）A．1 B．4 C． D．56．（2024·河北張家口·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，直線與該拋物線交于M，N兩點(diǎn)，且，則（

）A．12 B．13 C．14 D．157．（2024·新疆·三模）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，在拋物線C上存在四個(gè)點(diǎn)P，M，Q，N，若弦與弦的交點(diǎn)恰好為F，且，則（

）A． B．1 C． D．28．（2024·山西運(yùn)城·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·廣東汕頭·三模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在上，若定點(diǎn)滿足，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．周長(zhǎng)的最小值為5C．四邊形可能是平行四邊形 D．的最小值為10．（2024·黑龍江·二模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與拋物線分別交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程是B．過拋物線的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為C．若弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為D．四邊形面積的最小值為11．（2024·遼寧大連·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)A、，使B．若點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值為C．平分D．以為直徑的圓與軸相切12．（2024·河北·二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線過點(diǎn)，過且與垂直的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)13．（2024·河南·二模）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中在第一象限，若，點(diǎn)在拋物線上，則（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為 B．C．直線的傾斜角為 D．14．（2024·河北滄州·二模）已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線過且與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，則（

）A．過點(diǎn)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條B．當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，C．為鈍角三角形D．的最小值為15．（2024·湖北襄陽(yáng)·二模）拋物線的焦點(diǎn)為，為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的方程為：B．拋物線的準(zhǔn)線方程為：C．當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，以AF為直徑的圓與軸相切D．16．（2024·河北·三模）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，，為拋物線上不同的兩動(dòng)點(diǎn)，分別過M，N作拋物線C的切線，兩切線交于點(diǎn)P，則（

）A．若，則直線MN的傾斜角為B．直線PM的方程為C．若線段MN的中點(diǎn)為Q，則直線PQ平行于y軸D．若點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上，則17．（2024·黑龍江佳木斯·三模）過拋物線C：上的一點(diǎn)作兩條直線，，分別交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．過點(diǎn)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有1條C．若，則D．若，則18．（2024·安徽·三模）已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的方程為B．已知點(diǎn)，則的最小值為3C．D．若，則與的面積相等三、填空題19．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為；過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則的面積為．20．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)B在C上.若，則直線AB的方程為.21．（2024·安徽·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)，直線過與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．22．（2024·陜西榆林·三模）若直線與拋物線和圓從左到右依次交于點(diǎn)，則.23．（2024·四川自貢·三模）已知圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，，則圓的半徑為．24．（2024·河北石家莊·二模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.斜率為的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，交于點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)（，在軸的兩側(cè)），