高考仿真重難點訓練04三角函數一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．下列角中與終邊相同的角是（

）A． B． C． D．2．下列函數中，以2π為周期，為對稱軸，且在上單調遞增的函數是A． B．C． D．3．已知，則（

）A． B． C． D．4．已知函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則在下列區間上函數單調遞增的是（

）

A． B． C． D．5．將塑料瓶底部扎一個小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸，把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖像．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標）隨時間t（橫坐標）變化的情況．如圖所示，已知一根長為lcm的線一端固定，另一端懸一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系是，其中，，則估計線的長度應當是（精確到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm6．已知函數在區間上有且僅有3個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．若，則下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．8．已知，若存在實數，當時，滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列化簡正確的是（

）A．若，則B．C．D．10．已知函數，則（

）A．若的圖象向右平移個單位長度后與的圖象重合，則的最小值為1B．若的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則的最小值為5C．若函數的最小正周期為，則D．當時，若的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，則方程有無窮多個解11．已知，則（

）A．的圖象關于點對稱B．的值域為C．在區間上有33個零點D．若方程在（）有4個不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），則的取值范圍是三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知點，將繞坐標原點O逆時針旋轉至，則點的橫坐標為13．已知函數．直線與曲線的兩個交點如圖所示，若，且在區間上單調遞減，則；．14．已知函數，對于任意的，，，且函數在區間上單調遞增，則的值為．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知，，（1）求的值；（2）求的值．16．已知函數．(1)求函數的最小正周期和單調區間；(2)若關于的方程在上有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍．17．已知函數.(1)若時，恒成立，求實數的取值范圍；(2)將函數的圖象的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將其向右平移個單位，得到函數的圖象.若，函數有且僅有4個零點，求實數的取值范圍.18．筒車亦稱“水轉筒車”，是利用水力轉動的筒車，必須架設在水流湍急的岸邊．水激輪轉，浸在水中的小筒裝滿了水帶到高處，筒口向下，水即自筒中傾瀉入輪旁的水槽而匯流入田．某鄉間有一筒車，其最高點到水面的距離為6m，筒車直徑為8m，設置有8個盛水筒，均勻分布在筒車轉輪上，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉一周需要24s，如圖，盛水筒A（視為質點）的初始位置P0距水面的距離為4m.(1)盛水筒A經過ts后距離水面的高度為h（單位：m），求筒車轉動一周的過程中，h關于t的函數h＝f（t）的解析式；(2)盛水筒B（視為質點）與盛水筒A相鄰，設盛水筒B在盛水筒A的順時針方向相鄰處，求盛水筒B與盛水筒A的高度差的最大值（結果用含π的代數式表示），及此時對應的t.（參考公式：sinθ－sinφ＝2cos·sin，cosθ－cosφ＝2sinsin）19．如果函數的導數，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．(1)若，且，求；(2)已知，證明：，并解釋其幾何意義；(3)證明：1n1+cos高考仿真重難點訓練04三角函數一、選擇題1．下列角中與終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由角度制與弧度制的互化公式得到，結合終邊相同角的表示，即可求解.【解析】由角度制與弧度制的互化公式，可得，與角終邊相同的角的集合為，令，可得，所以與角終邊相同的角是.故選：D.2．下列函數中，以2π為周期，為對稱軸，且在上單調遞增的函數是A． B．C． D．【答案】C【分析】結合題意分別判斷選項中三角函數的周期性、對稱軸和單調性【解析】,，故不滿足周期為，故排除：，，令,即，當時，為對稱軸，當時為單調減函數，故排除:，，但是正切函數不具有對稱軸，故排除綜上，故選【點睛】本題考查了三角函數圖像的周期性、對稱性以及單調性，熟練運用三角函數知識來求出結果，屬于基礎題3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】使用誘導公式和二倍角公式，結合已知條件即可求解.【解析】.故選：A.4．已知函數的部分圖象如圖所示，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則在下列區間上函數單調遞增的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由的圖象，棱臺三角函數的性質求得，進而得到，結合正弦型函數的性質，即可求解.【解析】由函數的圖象，可得，解得，所以，所以，又由，即，可得，即，因為，所以，所以，所以，令，解得，所以函數的單調增區間是.故選：C.5．將塑料瓶底部扎一個小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸，把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖像．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標）隨時間t（橫坐標）變化的情況．如圖所示，已知一根長為lcm的線一端固定，另一端懸一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系是，其中，，則估計線的長度應當是（精確到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm【答案】C【分析】利用題中的函數圖象，分析出函數的周期，由周期公式得到的關系式即可求解.【解析】由，得.由函數的圖象可知函數的周期為，所以，即.故選：C.6．已知函數在區間上有且僅有3個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二倍角公式得，進而根據求方程得或，即可列舉出正的零點，列不等式即可求解.【解析】由可得，令,所以或，故函數的正零點從小到大排列為：，要使在區間上有且僅有3個零點，需要滿足且，解得，故選：C7．若，則下列大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，利用對數函數的單調性，以及正弦函數的性質，分別求得的取值范圍，即可求解.【解析】由對數函數單調性，可得，所以；因為，所以，又因為，所以，即，所以.故選：B.8．已知，若存在實數，當時，滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數性質，得，，將問題轉化為求的取值范圍，構造函數，利用導數求函數的值域即可.【解析】作出函數的圖象如圖，當時，，由得，由可得，由圖可知，，點、關于直線對稱，則，點、關于直線對稱，則，所以，令，其中，，當時，，在上單調遞減，當時，，即函數在上單調遞增，所以，當時，，當時，；當時，，則，所以的取值范圍為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：解本題的關鍵就是利用正弦型函數的周期性和對稱性，將問題轉化為求函數的值域，求值域時，除函數的單調性外還要注意函數的取值特點.二、多選題9．下列化簡正確的是（

）A．若，則B．C．D．【答案】AB【分析】根據誘導公式以及同角三角函數的基本關系逐一證明即可.【解析】，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：AB10．已知函數，則（

）A．若的圖象向右平移個單位長度后與的圖象重合，則的最小值為1B．若的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則的最小值為5C．若函數的最小正周期為，則D．當時，若的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，則方程有無窮多個解【答案】BC【分析】對于A，B，根據圖象平移規則得到的取值，再由，即可得到的最值；對于C，根據函數的最小正周期求解即可；對于D，先求出的解析式，再對方程進行換元化簡，討論即可得到方程解的個數.【解析】對于A項，因為，所以，，即，，又，所以的最小值為8，故A項錯誤；對于B項，因為，所以，，即，，又，所以的最小值為，故B項正確.對于C項，因為函數的最小正周期是的最小正周期的一半，所以的最小正周期為，所以，解得，故C項正確.對于D項，當時，，所以，方程.令，則，，當時，，即，所以（舍）或（舍）；當時，，即，無解.綜上，無解，故D項錯誤.故選：BC.11．已知，則（

）A．的圖象關于點對稱B．的值域為C．在區間上有33個零點D．若方程在（）有4個不同的解（，2，3，4），其中（，2，3），則的取值范圍是【答案】AB【分析】根據題意可得，從而可對A判斷；由題意可得，則為的一個周期，不妨討論內的值域情況，從而可對B判斷；令，可得或，即（），從而可對C判斷；根據分情況討論得到，，從而可對D判斷.【解析】對A：由，所以，則的圖象關于對稱，故A正確；對B：由，因為，所以的一個周期為，不妨討論一個周期的值域情況，當，此時，則，因為，所以，則，則；當，此時，則，因為，所以，則，則，當，此時，則，因為，所以，則，則，當，此時，則，因為，所以，則，則，綜上所述，故B正確；對C：，令得或，可得（），所以，，所以在上有31個零點，故C錯誤；對D：是以為周期的周期函數，當時，則在上有2個實根，，且與關于對稱，所以；當時，則在上沒有實根，則在上有2個實根，，且與關于對稱，且，且，，當時，則在上沒有實根，當時，有2個實根，但只需有4個零點，所以，又因為，所以的取值范圍是，故D錯誤，故選：AB．【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.三、填空題12．已知點，將繞坐標原點O逆時針旋轉至，則點的橫坐標為【答案】/【分析】根據三角函數的定義求解即可.【解析】設點的坐標為，則，設為終邊上的一點，則，則，解得，故答案為：.13．已知函數．直線與曲線的兩個交點如圖所示，若，且在區間上單調遞減，則；．【答案】【分析】根據和，可構造方程求得，并確定為半個周期，根據正弦函數單調性可構造方程組求得.【解析】設，由得：，，又，，解得：，此時的最小正周期，，在區間上單調遞減，和分別為單調遞減區間的起點和終點，當時，，，，又，；綜上所述：，.故答案為：；.14．已知函數，對于任意的，，，且函數在區間上單調遞增，則的值為．【答案】3【分析】根據函數在區間上單調遞增得到的大致取值范圍，再根據，得到函數圖象的對稱性，利用正弦函數的圖象與性質分情況求解的值并驗證，即可得解.【解析】設函數的最小正周期為，因為函數在區間上單調遞增，所以，得，因此．由知的圖象關于直線對稱，由知的圖象關于點對稱．①由，得，即，解得，又，故，當時，所以，則，即，又，所以，故，，滿足函數在區間上單調遞增；②由，得，即，解得，又，故，當時，所以，則，即，又，求得，故，因為，不滿足函數在區間上單調遞增．故．故答案為：3.【點睛】關鍵點睛：本題解題關鍵是根據，得到函數圖象關于直線對稱，關于點對稱．利用正弦函數的圖象與性質分和兩種情況討論，求解的值并驗證.四、解答題15．已知，，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據兩角差的正切公式可求得的值；（2）利用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡得到，再用兩角差的正切公式展開代值進去計算即可.【解析】（1），，，解得.（2）.16．已知函數．(1)求函數的最小正周期和單調區間；(2)若關于的方程在上有兩個不同的實數解，求實數的取值范圍．【答案】(1)最小正周期；單調遞增區間為；單調遞減區間為.(2)【分析】（1）利用降冪公式和輔助角公式化簡函數解析式，用周期公式求周期，整體代入法求函數單調區間；（2）由區間內函數的單調性和函數值的變化范圍求解實數的取值范圍．【解析】（1），則函數的最小正周期；令，解得，可得函數的單調遞增區間為·令，解得，可得因數的單調遞減區間為；（2）由（1）可知，時，在上單調遞增，在上單調遞減，當，，由增大到1，當，，由1減小到，若關于的方程在上有兩個不同的實數解，則實數的取值范圍為17．已知函數.(1)若時，恒成立，求實數的取值范圍；(2)將函數的圖象的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將其向右平移個單位，得到函數的圖象.若，函數有且僅有4個零點，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變形，轉化為正弦型函數，然后利用相位整體思想，結合正弦曲線，求出最值，即可得到答案；（2）根據伸縮和平移變換，得到新的函數解析式，再同樣把相位看成一個整體，利用正弦曲線，數形結合，就可以判定端點值的取值范圍，從而得到解答.【解析】（1）因為，當時，可得，當，即時，取得最小值，因為時，恒成立，所以，即實數的取值范圍為.（2）由圖象的橫坐標縮小為原來的，可得：，再將其向右平移，可得：，即函數，因為，所以，在給定區間的正弦函數的零點是，再由函數有且僅有4個零點，則滿足，解得，所以實數的取值范圍.18．筒車亦稱“水轉筒車”，是利用水力轉動的筒車，必須架設在水流湍急的岸邊．水激輪轉，浸在水中的小筒裝滿了水帶到高處，筒口向下，水即自筒中傾瀉入輪旁的水槽而匯流入田．某鄉間有一筒車，其最高點到水面的距離為6m，筒車直徑為8m，設置有8個盛水筒，均勻分布在筒車轉輪上，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運動，筒車轉一周需要24s，如圖，盛水筒A（視為質點）的初始位置P0距水面的距離為4m.(1)盛水筒A經過ts后距離水面的高度為h（單位：m），求筒車轉動一周的過程中，h關于t的函數h＝f（t）的解析式；(2)盛水筒B（視為質點）與盛水筒A相鄰，設盛水筒B在盛水筒A的順時針方向相鄰處，求盛水筒B與盛水筒A的高度差的最大值（結果用含π的代數式表示），及此時對應的t.（參考公式：sinθ－sinφ＝2cos·sin，cosθ－cosφ＝2sinsin）【答案】(1)h＝4sin（t＋）＋2，t∈[0，24](2)8sinm，t＝11.5或t＝23.5.【解析】解：（1）以筒車轉輪的中心O為原點，與水面平行的直線為x軸建立平面直角坐標系．設h＝Msin（ωt＋φ）＋N，t∈[0，24].由題意知，2M＝8，M＋N＝6，∴M＝4，N＝2，即h＝4sin（ωt＋φ）＋2.當t＝0時，h＝4sinφ＋2＝4，解得sinφ＝，結合圖象初始位置可知φ＝.∵T＝＝24，∴ω＝.綜上，h＝4sin（t＋）＋2，t∈[0，24].（2）經過ts后A距離水面的高度h＝4sin（t＋）＋2.由題意知∠AOB＝＝，所以經過ts后B距離水面的高度h′＝4sin（t－）＋2，則盛水筒B與盛水筒A的高度差為H＝|h－h′|＝4|sin（t＋）－sin（t－）|，利用sinθ－sinφ＝2cossin，H＝4|sin（t＋）－sin（t－）|＝8sin|cos（t＋）|，當t＋＝kπ，k∈Z，即t＝－＋12k，k