第28章圓（單元測試·培優卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（22·23下·朔州·模擬預測）已知命題“同圓中，相等角所對的弦相等”，在如圖所示的圖形中找出一個反例，可以判斷該命題錯誤的是（

）

A．B．C． D．2．（21·22上·周口·期末）如圖，在平面直角坐標系中，AB是⊙M的直徑，若，，則點B的坐標是（

）A． B． C． D．3．（21·22下·石家莊·模擬預測）如圖，是半圓O的直徑，C為半圓上一點，，過O作交于點E，則的長為（

）

A． B． C． D．4．（22·23下·武漢·模擬預測）如圖，等腰的頂點在圓上，點A在圓外，于點，若，則圓的半徑為（

）

A．3 B．4 C．5 D．65．（21·22下·荊門·模擬預測）如圖，是的弦，直徑，垂足為，是的直徑，分別連接，交于點，若點為的中點，，，則的長為（）A． B． C． D．6．（22·23上·呂梁·期末）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，小正方形的頂點叫格點，格點A，B的連線與格點C，D的連線交于點E，若經過點B，D，E作圓，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．7．（22·23下·南寧·二模）如圖，AB是的直徑，點C是上一點，將劣弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D，連接CD，若，則下列式子正確的是（

）

A． B． C． D．8．（22·23下·合肥·模擬預測）如圖，點P為矩形的外接圓上的動點，連接，，，當平分時，的度數為（）

A． B． C．或 D．或9．（22·23上·石家莊·期末）如圖，是的外接圓，在弧上找一點M，使點M平分弧．以下是甲乙丙三種不同的作法：作法正確的個數是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個10．（22·23下·泉州·模擬預測）如圖，是以斐波那契數列的每一項的數為邊長畫6個小正方形組成的一個大長方形．每個小正方形畫出四分之一圓弧，使相鄰的圓弧首尾相連，這些圓弧組成的平滑曲線稱為斐波那契螺旋線．試求圖中斐波那契螺旋線的長．（取3.14）（

）

A．15.7 B．31.4 C．9.8596 D．37.68填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（22·23·長春·一模）將一個含30°角的三角尺按如圖方式放置在量角器上，使點A恰好落在量角器的弧上，三角尺與量角器交于B，C兩點，其中點，C的讀數為22°，則點B的讀數為．

12．（22·23上·泰州·階段練習）如圖，P為半徑OD上一動點，∠ACB=140°，若∠APB=β，則β的取值范圍是.13．（22·23下·長春·二模）已知如圖，是等邊三角形，分別以點A、B、C為圓心，長為半徑作圓，得到弧、弧、弧，，D為弧上任一點，連接，則=．

14．（22·23·浙江·一模）在中，交于點交于．若，則．

15．（21·22上·泰州·階段練習）如圖，AB是圓O的直徑，將AB繞點B旋轉后交圓O于D點，點E是弦BD上一個動點，連接AE并延長交圓O于點F，若圓O的半徑為5，則的最小值為．16．（22·23上·無錫·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，交x軸于，兩點，交y軸于C，兩點，點S是上一動點，N是的中點，則線段的最小值是．17．（22·23下·衡水·模擬預測）如圖，關于對稱的經過所在圓的圓心，已知，點為上的點，則（1）；（2）點到的最大距離是；（3）若點、分別是的中點，則的長為．18．（22·23下·鄭州·二模）黃金分割比是讓無數科學家、數學家、藝術家為之著迷的數字．黃金矩形的長寬之比為黃金分割比，即矩形的短邊為長邊的倍．黃金分割比能夠給畫面帶來美感，令人愉悅，在很多藝術品以及大自然中都能找到它．比如蝸牛殼的螺旋中就隱藏了黃金分割比．如下圖，用黃金矩形框住整個蝸牛殼，之后作正方形，得到黃金矩形，再作正方形，得到黃金矩形……，這樣作下去，我們以每個小正方形邊長為半徑畫弧線，然后連接起來，就是黃金螺旋．已知，則陰影部分的面積為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（22·23上·溫州·期中）如圖，，為⊙O直徑，弦，分別交半徑，于點G，H，且．（1）求證：．（2）若，且，求的度數．20．（8分）（21·22下·臨沂·一模）（1）如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB，點M是的中點，MD⊥BC，垂足為D．求證：CD＝DB+BA．（2）如圖2，BC是半⊙O的直徑，點A是半圓上一定點，點D是半圓上一動點，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝5，⊙O的半徑為6.5，①請在圖2上作出D點，說明理由；②結合（1）的結論，求AD的長．21．（10分）（21·22下·福州·模擬預測）如圖，是O的內接四邊形，為直徑，連接，且．

（1）求證：；（2）過點B作于點E，延長交于點F，若，，請補全圖形并求的長．22．（10分）（22·23下·衡水·模擬預測）如圖，在半徑為6的扇形中，點C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點E，F，設所在的圓的圓心為，且．（1）求的大小及的長；（2）請在圖中畫出線段，用其長度表示劣弧上的點到弦的最大距離（不說理由），并求弦的長．23．（10分）（21·22上·武漢·階段練習）如圖，為的直徑，弧弧，E為弧上一點，延長至點A，使，連接．

（1）求證：；（2）延長交于點B，連接，若，，求的長．24．（12分）（22·23下·長春·一模）如圖，為的直徑，．動點在上且位于直線上方，連結．作點關于直線的對稱點，連結．

（1）當點與點重合時，的大小為________度；（2）當時，求的長；（3）當平分線段時，求扇形的面積；（4）連接，當時，直接寫出線段的長．

參考答案：1．D【分析】根據圓周角的定義、圓周角定理判斷即可．解：A、當時，，不能判斷命題“同圓中，相等角所對的弦相等”是假命題，故此選項不符合題意；B、當時，，不能判斷命題“同圓中，相等角所對的弦相等”是假命題，故此選項不符合題意；C、當時，，不能判斷命題“同圓中，相等角所對的弦相等”是假命題，故此選項不符合題意；D、當時，，能判斷命題“同圓中，相等角所對的弦相等”是假命題，故此選項符合題意；故選：D．【點撥】本題考查的是命題的真假判斷，圓周角定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．2．A【分析】設點B的坐標為（x，y），利用M點為AB的中點得到1＝，0＝，然后求出x、y得到B點坐標．解：設點B的坐標為（x，y），∵AB是⊙M的直徑，∴M點為AB的中點，∵A（a，b），M（1，0），，∴1＝，0＝，解得：x＝2?a，y＝?b，∴B點坐標為（2?a，?b）．故選：A．【點撥】本題考查了坐標與圖形性質，靈活運用線段的中點坐標公式是解決問題的關鍵．3．B【分析】連接，由是半圓O的直徑得到，則，由題意可知垂直平分，則，設，則，在中，由勾股定理得到，即，求出x的值即可．解：連接，如圖所示：

∵是半圓O的直徑，∴，∴，∵過O作交于點E，是的中點，∴垂直平分，∴，設，則，在中，，即，解得，即的長為，故選：B．【點撥】此題考查了圓周角定理、勾股定理、線段垂直平分線的性質等知識，熟練掌握直徑所對的圓周角是直角是解題的關鍵．4．C【分析】過點A作于點E，連接、，根據等腰三角形性質得出垂直平分，根據，得出點O在上，根據三角函數求出，，，求出，根據勾股定理求出，即可得出答案．解：過點A作于點E，連接、，如圖所示：

∵，，∴，，∴垂直平分，∵，∴點O在上，∵，∴設，則，根據勾股定理得：，∵，∴，解得：，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，根據勾股定理得：，故C正確．故選：C．【點撥】本題主要考查了垂直平分線的判定和性質，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握基本的性質和判斷．5．B【分析】依題意，則，得出，即可求解．解：，，，，，點為的中點，，直徑，，在中，，即，解得．故選：B．【點撥】本題考查了正切的定義，圓周角定理，掌握正且的定義是解題的關鍵．6．D【分析】首先推出，證明，求出，，再用半圓面積減去直角的面積即可．解：由圖可知：為直徑，則，∵，，∴，∴，∵，∴，解得：，，∴圖中陰影部分的面積為：，故選D．

【點撥】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，解題的關鍵是判斷出直角三角形，通過相似求出直角邊長．7．B【分析】連，由AB是的直徑，可知，由折疊，和所在的圓為等圓，可推得，再利用正弦定義求解即可．解：連，

∵是的直徑，∴，由折疊，和所在的圓為等圓，又∵，∴和所對的圓周角相等，∴，∴，在中，，故選：B．【點撥】本題考查圓周角定理和圓心角、弦、弧之間的關系以及正弦、余弦定義，解答關鍵是通過折疊找到公共的圓周角推出等弦．8．C【分析】連接，推出是的直徑，利用三角函數的定義求得，再分類討論，當點P在上方和點P在下方時，據此求解即可．解：連接，∵點P為矩形的外接圓上的動點，∴，∴是的直徑，∴，∵，，∴，∴，當點P在上方時，∵平分，

∴，∵，∴，∴；當點P在下方時，

同理可得，∴；綜上，的度數為或故選：C．【點撥】本題考查了圓周角定理，銳角三角函數，根據矩形的性質證明是的直徑是解題的關鍵．9．D【分析】根據基本作圖得到所做圖形的性質，再結合圓周角定理和垂徑定理判斷正確與否．解：如圖甲，作的平分線，則，所以，所以作法正確；如圖乙，過點O作的垂線，根據垂徑定理的推論，可得，所以作法正確；如圖丙，垂直平分，則必過圓心，所以，所以作法正確；故選：D．【點撥】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質和圓周角定理以及垂徑定理的推論．10．B【分析】分別計算6段圓弧的長，然后求和即可．解：若半徑為，則四分之一圓弧長為，由圖可知，，1，2，3，5，8，則6段圓弧的長分別為：，，，，，，∴圖中斐波那契螺旋線的長為6段弧長之和，即．故選：B．【點撥】本題考查了數字的變化規律及弧長公式，找出這組數列中的規律是解決本題的關鍵．11．/82度【分析】連接，圓周角定理得到，再利用點B的讀數為C的讀數加上的度數，即可得出結論．解：由圖可知，，

連接，則：，∴點B的讀數為，故答案為：．【點撥】本題考查圓周角定理．熟練掌握同弧所對的圓周角是圓心角的一半，是解題的關鍵．12．40°≤β≤80°【分析】連接AO，BO，AD，BD，根據圓內接四邊形的性質和圓周角定理，求得∠ADB=40°，∠AOB=80°，進而即可求解．解：連接AO，BO，AD，BD，∵四邊形ACBD是圓的內接四邊形，∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-140°=40°，∠AOB=2∠ADB=80°，∵∠APB=β，∴β的取值范圍是：40°≤β≤80°，故答案為：40°≤β≤80°．【點撥】本題主要考查圓周角定理和圓的內接四邊形的性質，掌握圓內接四邊形的對角互補是關鍵．13．【分析】根據等邊三角形的三線合一得出，設，則，，根據勾股定理得出，然后根據圓的定義可知，從而得出答案．解：是等邊三角形，，，設則，在中，點A、D、C都在弧上，且弧是以B為圓心，長為半徑作的圓，故答案為：．【點撥】本題考查了圓的概念，等邊三角形的性質以及勾股定理，熟練掌握性質和概念是解題的關鍵．14．【分析】設的半徑為x，則，，利用含30度角的直角三角形的性質列方程求得，再利用含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理求得，根據垂徑定理即可求解．解：設的半徑為x，則，，∵中，，，∴，即，解得，∴，設交于點F，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴．

故答案為：．【點撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理，垂徑定理，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．15．2【分析】由旋轉的性質可得，由直角三角形的性質可得的長，通過證明可得，即可求解．解：如圖，連接，過點O作，交于N，交于M，過點F作于H，∵是直徑，∴∵將繞點B旋轉30°后交圓O于D點，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴，∵，∴取最大值時，有最小值，∴當點F與點M重合時，有最大值為，∴的最小值為2，故答案為：2．【點撥】本題考查了旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，直角三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．16．【分析】在y軸上截取，連接，根據，，求出點M的坐標為，根據，，得出，當取最小值時，才能取得最小值，當且僅當E、S、M三點共線時，才能取得最小值，求出，得出，即可得出答案．解：在y軸上截取，連接，如圖所示：∵，，∴圓心M在的垂直平分線上，∴M點的橫坐標為1，設M點的縱坐標為n，∴，∵，∴，解得：，，∴，∵，，∴，∴當取最小值時，才能取得最小值，當且僅當E、S、M三點共線時，才能取得最小值，如圖所示：∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，中位線定理，作出相應的輔助線，求出點M的坐標，解題的關鍵是找出當取最小值時，才能取得最小值，當且僅當E、S、M三點共線時，才能取得最小值．17．120【分析】過作于，交于，根據垂徑定理得到，，根據軸對稱的性質得到，根據圓周角定理即可得到結論；當點為的中點時，點到的距離最大，即點與點重合時，點到的距離最大，根據垂徑定理得到，求得，，于是得到結論；連接，，，根據圓周角定理和弧長的計算公式即可得到結論．解：過作于，交于，，，∵關于對稱的經過所在圓的圓心，，，，，故答案為：；當點為的中點時，點到的距離最大，即點與點重合時，點到的距離最大，，，，，，，故點到的最大距離是；故答案為：；連接，，，點、分別是、的中點，，，，由知，的長為，故答案為：．【點撥】本題考查了弧長的計算，圓周角定理，直角三角形的性質，垂徑定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．18．【分析】根據黃金矩形的定義可得的長，從而得到的長，再由陰影部分的面積，即可求解．解：∵四邊形是黃金矩形，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴陰影部分的面積．故答案為：【點撥】本題主要考查了求扇形面積，理解黃金矩形的定義是解題的關鍵．19．（1）見分析；（2）108°【分析】（1）連接，，根據圓周角定理得出，根據直角三角形的性質得到，根據弧、圓周角關系得出，進而得到，則，根據弧、弦的關系即可得解；（2）根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理、圓周角定理推出，根據弧、圓周角的關系得出，即，求出，根據三角形內角和定理、對頂角性質求解即可．解：（1）證明：如圖，連接，∵為⊙O直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵∠FBA＝∠EDC，∴，∴，即，∴，即，∴；（2））解：如圖，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵為⊙O直徑，∴度數之和為：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的度數為108°．【點撥】本題考查圓周角定理，等弧，等弦，等角．熟練掌握圓周角定理，以及等弧，等弦，等角是解題的關鍵．同時考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理以及外角的性質．20．（1）見分析；（2）①作圖見分析，理由：∠DAC＝∠DOC＝45°；②【分析】（1）在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．根據M是的中點，可得MA＝MC，在根據圓周角定理可得∠A＝∠C，可證得△MAB≌△MCG，從而得到MB＝MG，可得到BD＝DG，即可求證；（2）①根據圓周角定理，即可求解；②過點D作DM⊥AC，可得D為半圓弧的中點，從而得到CM＝AM+BA，進而得到，再由∠DAC＝45°，即可求解．解：（1）證明：如圖，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M是的中點，∴MA＝MC，又∵∠A＝∠C，∴△MAB≌△MCG∴MB＝MG又∵MD⊥BC，∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG，即CD＝DB+BA；（2）①如圖2，過點O作DO⊥BC交半圓于點D，即為所求．理由：∠DAC＝∠DOC＝45°②過點D作DM⊥AC，∵DO⊥BC，∴D為半圓弧的中點，由（1）得，CM＝AM+BA，∵BC是半⊙O的直徑，⊙O的半徑為6.5，∴∠CAB=90°，BC=13，∵AB＝5，∴，∴AM=AC-CM=AC-（AM+AB），∴=（12-5）=，∵∠DAC＝45°，∴AD=AM=．【點撥】本題主要考查了圓周角定理，解直角三角形，勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．21．（1）見分析；（2）圖見分析，20．【分析】（1）由平行得，，由圓內接四邊形得，，于是，進一步得，由圓周角定理，，所以，；（2）由直徑，得，由圓周角定理，，可得，在中，解得，；可證，得，即可求得答案．解：（1）∵，∴，∵是⊙O的內接四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）補圖如下：∵為直徑，∴，∴，∵，∴，，又，∴，∴，∴，

在中，，∴，∴，∴，∵為直徑，∴，即，∴，∴，∴，∴,∴．【點撥】本題考查圓周角定理及推論，相似三角形的判定和性質，三角函數，勾股定理；靈活運用相似三角形求得線段間的數量關系是解題的關鍵．22．（1），；（2）見分析；【分析】（1）連接、、OD，由對稱性可知，即，根據與，相切于點E，F得，，則，，在四邊形中，，根據，，得平分，即；（2）過O作交于P，延長與交于點Q，由折疊可知：垂直平分，則是所在弓形的高，即的長度是劣弧上的點到弦的最大距離，則O、、P三點共線，在中，根據銳角三角函數得，由對稱性可知，在中，根據勾股定理得，即可得．（1）解：如圖