1/51.2數(shù)軸、相反數(shù)和絕對(duì)值1．?dāng)?shù)軸(1)數(shù)軸的概念規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸．如圖所示．(2)數(shù)軸的概念包涵的意思①數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；②數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度，三者缺一不可；③原點(diǎn)位置的選定，單位長度大小的確定都是根據(jù)實(shí)際而定的．一般取向右的方向?yàn)檎较颍?3)數(shù)軸的畫法：要正確迅速地畫出數(shù)軸，可按以下步驟進(jìn)行：①“畫”就是先畫一條水平的直線；②“取”就是在直線上選取一點(diǎn)表示原點(diǎn)(原點(diǎn)表示的數(shù)是0)；③“選”就是選擇向右的方向?yàn)檎较?用箭頭表示)，那么相反的方向，即從原點(diǎn)向左為負(fù)方向，然后選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度，用細(xì)短線在直線上畫出；④“標(biāo)”就是從原點(diǎn)向右，依次標(biāo)出1,2，3，…；從原點(diǎn)向左，依次標(biāo)出－1，－2，－3，….畫數(shù)軸的步驟可簡(jiǎn)單歸納為“一畫、二取、三選、四標(biāo)”．解技巧確定數(shù)軸的單位長度畫數(shù)軸時(shí)根據(jù)實(shí)際問題的需要可選取不同的距離作為單位長度，同一數(shù)軸上的單位長度必須一致．【例1】觀察下列圖形，數(shù)軸畫得正確的是______．解析：判斷一條直線是否為一數(shù)軸，關(guān)鍵看這條直線是否具有原點(diǎn)、正方向和單位長度這三要素．A沒有原點(diǎn)，B沒有正方向，C的單位長度不一致，E中負(fù)方向上所標(biāo)注的數(shù)字順序錯(cuò)誤，只有D滿足條件．答案：D辨誤區(qū)畫數(shù)軸常見的錯(cuò)誤畫數(shù)軸常出現(xiàn)的錯(cuò)誤：(1)沒有方向；(2)沒有原點(diǎn)；(3)單位長度不一致；(4)標(biāo)出的數(shù)值排列錯(cuò)誤．2．有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的關(guān)系(1)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)：任何一個(gè)有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示．(2)在數(shù)軸上，正數(shù)和負(fù)數(shù)分別位于原點(diǎn)的兩側(cè)，所有正數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在數(shù)軸上原點(diǎn)的右側(cè)，所有負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在數(shù)軸上原點(diǎn)的左側(cè)，與正數(shù)對(duì)稱．(3)找出數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)的步驟是：①確定點(diǎn)與原點(diǎn)的位置關(guān)系(左負(fù)右正)；②確定點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．辨誤區(qū)有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但不能說數(shù)軸上所有的點(diǎn)都表示有理數(shù)，因?yàn)閿?shù)軸上除了表示所有的有理數(shù)的點(diǎn)之外，還有表示所有的無理數(shù)的點(diǎn)(以后會(huì)學(xué)習(xí))．【例2－1】指出數(shù)軸上A，B，C，D，E，F(xiàn)各點(diǎn)分別表示什么數(shù)？分析：先確定已知點(diǎn)的位置是在原點(diǎn)的左邊還是右邊，再確定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值，特別是B，E兩點(diǎn)，要看準(zhǔn)它們所表示的數(shù)在哪兩個(gè)數(shù)之間．解：A表示4；B表示2.5；C表示1；D表示0；E表示－1.5；F表示－3.【例2－2】把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來：eq\f(3,2)，－5,0,3.6，－3，－eq\f(1,2)，－1eq\f(1,2).分析：第一步，畫出數(shù)軸(按三要素)；第二步，把這些數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)找出來；0在原點(diǎn)，容易找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)．正數(shù)在原點(diǎn)的右邊，所以eq\f(3,2)，3.6在原點(diǎn)的右邊，且分別距原點(diǎn)eq\f(3,2)個(gè)單位長度、3.6個(gè)單位長度．負(fù)數(shù)在原點(diǎn)的左邊，所以－5，－3，－eq\f(1,2)，－1eq\f(1,2)在原點(diǎn)的左邊，且分別距原點(diǎn)5個(gè)單位長度、3個(gè)單位長度、eq\f(1,2)個(gè)單位長度、1eq\f(1,2)個(gè)單位長度．解：解技巧確定數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)確定有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，要先根據(jù)正負(fù)確定該點(diǎn)在原點(diǎn)的哪一邊，然后再確定距原點(diǎn)多少個(gè)單位長度；(2)一般情況下，原數(shù)軸上的表示單位長度的數(shù)要標(biāo)在數(shù)軸的下方，而要表示的數(shù)應(yīng)標(biāo)在數(shù)軸的上方．3.相反數(shù)(1)相反數(shù)的定義只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，這就是說，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)，特別規(guī)定：0的相反數(shù)是0.辨誤區(qū)相反數(shù)的意義①“0的相反數(shù)是0”②“只有符號(hào)不同”指的是除符號(hào)不同以外，其他完全相同，不能理解為只要符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)就互為相反數(shù)，例如：－2和＋3符號(hào)不同，但它們不互為相反數(shù)．(2)相反數(shù)的幾何意義兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)在數(shù)軸上所表示的點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)的距離相等．如：＋3和－3，＋4.4和－4.4互為相反數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：(3)相反數(shù)的表示方法一般地，數(shù)a的相反數(shù)是－a，這里a表示任意一個(gè)數(shù)，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者零．析規(guī)律相反數(shù)的表示方法在任意一個(gè)數(shù)前面添上“－”號(hào)，所得的數(shù)是原數(shù)的相反數(shù)，在一個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“＋”號(hào)，仍是原數(shù)．【例3】填空題：(1)－5的相反數(shù)是__________；(2)－(－6)的相反數(shù)__________；(3)__________的相反數(shù)是0.7；(4)eq\f(1,8)與__________互為相反數(shù)；(5)若a＝13，則－a＝__________.解析：根據(jù)相反數(shù)的意義求出各數(shù)的相反數(shù)．(1)－5的相反數(shù)為5；(2)－(－6)表示－6的相反數(shù)，即－(－6)＝6，所以求－(－6)的相反數(shù)就是求6的相反數(shù)；(3)－0.7的相反數(shù)是0.7；(4)eq\f(1,8)與－eq\f(1,8)互為相反數(shù)；(5)－a表示a的相反數(shù)，即求13的相反數(shù)，所以－a＝－13.答案：(1)5(2)－6(3)－0.7(4)－eq\f(1,8)(5)－134．絕對(duì)值(1)絕對(duì)值的概念在數(shù)軸上，表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.表示數(shù)0的點(diǎn)即原點(diǎn)，到原點(diǎn)的距離是0，故|0|＝0.(2)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)數(shù)的關(guān)系①一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.②絕對(duì)值實(shí)際上和四則運(yùn)算“加、減、乘、除”一樣，也是一種運(yùn)算，絕對(duì)值運(yùn)算的本質(zhì)就是要把帶有絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)化為不帶絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)(即去絕對(duì)值)．注意：既可以說0的絕對(duì)值是它本身，也可以說0的絕對(duì)值是它的相反數(shù)．故絕對(duì)值是它本身的數(shù)是正數(shù)和0；絕對(duì)值是它的相反數(shù)的數(shù)是負(fù)數(shù)和0.③互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等；絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．談重點(diǎn)絕對(duì)值的意義絕對(duì)值是初中代數(shù)中的重要概念，從數(shù)軸上看，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，絕對(duì)值越大，離原點(diǎn)的距離越近，絕對(duì)值越小．由于距離總是正數(shù)或零，則有理數(shù)的絕對(duì)值不可能是負(fù)數(shù)．也就是說，任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即a取任意有理數(shù)，都有|a|≥0，所以絕對(duì)值最小的數(shù)是0.【例4－1】下列說法正確的是()．A．|－5|表示－5的絕對(duì)值，等于－5B．負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身C．－4距離原點(diǎn)4個(gè)單位長度，所以－4的絕對(duì)值是4D．絕對(duì)值等于它本身的數(shù)有兩個(gè)，是0和1解析：絕對(duì)值是一個(gè)距離，不能為負(fù)數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是它在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，C正確；正數(shù)的絕對(duì)值都等于它本身，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．答案：C【例4－2】回答問題：(1)絕對(duì)值是3的數(shù)有幾個(gè)？各是什么？(2)絕對(duì)值是0的數(shù)有幾個(gè)？各是什么？(3)絕對(duì)值是－2的數(shù)是否存在？若存在，請(qǐng)寫出來．分析：本題要正確理解絕對(duì)值的概念，尤其要理解絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．(1)表示到原點(diǎn)距離等于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)有幾個(gè)，顯然，表示數(shù)3和－3的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都等于3，所以絕對(duì)值等于3的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．(2)到原點(diǎn)的距離為0的點(diǎn)只有原點(diǎn)本身，它對(duì)