人教2019A版必修

第二冊第十章概率10.2事件的相互獨立性

我們知道，積事件AB就是事件A與事件B同時發生.因此，積事件AB發生的概率一定與事件A、B發生的概率有關.那么，這種關系會是怎樣的呢?

下面我們來討論一類與積事件有關的特殊問題.復習引入：事件的關系或運算含義符號表示概率表示包含并事件(和事件)交事件(積事件)互斥(互不相容)互為對立A發生導致B發生A與B至少一個發生A與B同時發生A與B不能同時發生A與B有且僅有一個發生A?BAUB或A+BA∩B或ABA∩B=ΦA∩B=Φ,AUB=ΩP(A)≤P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)P(AB)=P(A)P(B)P(A)+P(B)=1？？

前面我們研究過互斥事件、對立事件的概率性質,還研究過和事件的概率計算方法.對于積事件的概率，還有什么值得研究的問題?

探究

下面兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件A和B，你覺得事件A發生與否會影響事件B發生的概率嗎?

試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1,2,3,4的四個球，除標號外沒有其他差異，采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.

對于試驗1，因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結果與第二枚硬幣的拋擲結果互相不受影響，所以事件A發生與否不影響事件B發生的概率.

對于試驗2，因為是有放回摸球，第一次摸球的結果與第二次摸球的結果互相不受影響，所以事件A發生與否也不影響事件B發生的概率.試驗1：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，

B=“第二枚硬幣反面朝上”.

顯然有P(AB)=P(A)P(B).也就是積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.并把這種互不影響的事件稱為相互獨立事件.試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1,2,3,4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.分別計算P(A),P(B),P(AB)，你有什么發現?思考：以上試驗中事件AB與A和B的概率有何聯系?

通俗地說，對于兩個事件A，B，

如果其中一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨立事件．

若事件A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)．相互獨立事件的定義：

對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.獨立事件概率乘法公式新課講解：

根據相互獨立事件的定義，必然事件總會發生，不受任何事件是否發生的影響；

同樣，不可能事件總不會發生，也不受任何事件是否發生的影響，當然，他們也不影響其他事件的發生．

必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立嗎？思考：因此，必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立．并且顯然P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A?)=P(?)=P(A)P(?)成立．

思考：互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件關系.如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立?思考：

我們知道，如果三個事件A,B,C兩兩互斥，那么概率加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但當三個事件A,B,C兩兩獨立時，等式

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否也成立？一般不成立課下自己證明

例1一個袋子中有標號分別為1,2,3,4的4個球,除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設事件A=“第一次摸出球的標號小于3”,事件B=“第二次摸出球的標號小于3”,那么事件A與事件B是否相互獨立?B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，解：樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共12個樣本點.A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，AB={(1,2),(2,1)}.因此，事件A與事件B不獨立.例題解析：

判斷兩個事件是否相互獨立的方法：1.直接法：直接判斷一個事件發生與否是否影響另一事件發生的概率.2.定義法：判斷P(AB)=P(A)P(B)是否成立.解：

例2甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，

乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.例題解析：解：

例2甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，

乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率:(1)兩人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)兩人都脫靶；(4)至少有一人中靶.例題解析：解：

例3

甲、乙兩人參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為

，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響.求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率.例題解析：變式解：變式解：1.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個相互獨立？課堂練習2.設樣本空間Ω={a,b,c,d}含有等可能的樣本點，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.請驗證A,B,C三個事件兩兩獨立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).課堂練習解:A={a,b},B={a,c},C={a,d},AB={a},AC={a},BC={a},ABC={a}.

∴P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(AC)=P(BC)=.P(A)P(B)P(C)=,P(ABC)=.∴P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

即A,B,C三個事件兩兩獨立,但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).3.天氣預報元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在這段時間內兩地是否降雨相互之間沒有影響，計算在這段時間內:(1)甲、乙兩地都降雨的概率;(2)甲、乙兩地都不降雨的概率;(3)至少一個地方降雨的概率.解：(1)甲、乙兩地都降雨的概率為0.2×0.3=0.06.(2)甲、乙兩地都不降雨的概率為(1-0.2)×(1-0.3)=0.8×0.7=0.56.(3)解法一:至少一個地方降雨的概率為0.2×0.3+(1-0.2)×0.3+0.2×(1-0.3)=0.44.

解法二:由(2)知,甲、乙兩地都不降雨的概率為0.56,

所以至少一個