4.3.1等比數列的概念（第1課時）第四章數列

新課引入問題1：類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以下數列的取值規律？你發現了什么規律？

取值規律：從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于9．共同規律：從第2項起，每一項與前一項的比都等于同一個常數.問題引入新知探究1.等比數列的定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列.

問題2：類差等差數列的概念，你能抽象出等比數列的概念嗎？

注意：連等式出現分式結構問：數列a,a,a,a,…(a∈R)是否為等比數列？如果是,a必須滿足什么條件？(1)a＝0;它只是等差數列。(2)a≠0;它既是等差數列又是等比數列。辨析1：等差數列的項、公差均可以是0嗎？等比數列呢？辨析2：常數列是等差數列嗎？是等比數列嗎？辨析3：是否存在既是等差數列又是等比數列的數列？常數列一定是等差數列，公差為0；非零常數列是等比數列，公比為1.非零常數列既是等差數列又是等比數列，公差為0，公比為1.等差數列的項、公差均可以是0，但等比數列的每一項和公比都不為0.新知探究如：1,1,1,1,…；0,0,0,0,…；是等差數列，也是等比數列；是等差數列，不是等比數列；注：對定義的認識1.等比數列的首項不為0,即a1≠0。2.等比數列的每一項都不為0，即an≠0。3.公比不為0，即q≠0。數學語言：an+1:an=q(q≠0的常數)。學習新知q>10<q<1q=1q<0遞增遞減常數列遞增遞減常數列a1<0a1>0擺動數列擺動數列4.單調性：1.判斷下列數列是否是等比數列.如果是，寫出它的公比.

a≠0時，是等比數列，公比為aa=0時，不是等比數列練習鞏固問題3：類比等差中項的概念，你能抽象出等比中項的概念嗎？等差中項

如果三個數a,A,b組成等差數列，

那么A叫做a和b的等差中項.

等比中項

如果三個數a,G,b組成

，

那么G叫做a和b的

.等比數列等比中項追問：任意兩個實數a，b都有等比中項嗎？

若a，b異號則無等比中項.若a，b同號(且均不為0)則有兩個等比中項.

一個等比數列從第2項起，每一項an是它的前一項an－1與后一項an+1的等比中項.2.等比中項:注意：若a,b同號,則有兩個等比中項;若a,b異號,則無等比中項.a,G,b成等比數列等比數列的常用判定方法：例：

若a,G,b組成等比數列，則必有G2=ab；而G2=ab并不能說明a,G,b組成等比數列，如a=G=0,b=5時不成等比.新知探究等差數列的常用判定方法：問題4：根據等比數列的定義及推導它的通項公式嗎？

∴a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，??????∴an=a1qn-1

(n≥2).又a1=a1q1-1，這就是說，當n=1時上式也成立.因此，首項為a1,公差為q的等比數列{an}的通項公式為新知探究不完全歸納法累乘法累加法等差數列

等比數列

探究新知探究3：類比等差數列的通項公式，你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎？回顧學習：累加法、

累乘法問題4：根據等比數列的定義及推導它的通項公式嗎？

新知探究累乘法……n-1個又a1=a1q0=a1q1-1，即當n=1時上式也成立.

精細化推導過程

等比數列{an}的通項公式：新知探究3.等比數列的通項公式：an=a1qn-1(n∈

N*)a1

、an、n、q知三求一典型例題例1.若等比數列{an}的第4項和第6項分別為48和12,求{an}的第5項分析：等比數列{an}由a1,q唯一確定,可利用條件列出關于a1,q的方程（組）,進行求解

1.的等比中項是2.如果三角形的三邊成等比數列，則公比q的取值范圍是3.已知正數等比數列中，對所有的自然數n都成立，則公比q=4.已知等差數列的公差數列，且成等比數列，則鞏固練習典型例題例2已知等比數列{an}的公比為q,試用{an}的第m項am表示an.

例3.數列{an}共有5項，前三項成等比數列，后三項成等差數列，第3項等于80,第2項與第4項的和等于136,第1項與第5項的和等于132.求這個數列.

如果{an}{bn}是項數相同的等比數列，那么{an·bn}也是等比數列

證明：設數列的公比為p，的公比為q，那么數列的第n項與第n+1項分別為與，即與．因為它是一個與n無關的常數，所以是一個以pq為公比的