10.1.3古典概型

第十章

概率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用古典概型試驗(yàn)闡釋古典概型的特征：樣本點(diǎn)有限性和等可能性，并能利用具體實(shí)例辨析古典概型概念，尤其是對(duì)“等可能性”進(jìn)行辨析；能通過具體實(shí)例說明建立概率模型的一般方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。2.通過對(duì)具體問題的分析，歸納求解古典概型問題的一般思路，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

背景引入擲100、1000、10000次硬幣，得到正面向上的頻率在0.5左右，

由此估計(jì)擲一枚硬幣正面向上的概率為0.5通過試驗(yàn)和觀察的方法，我們可得到一些事件的概率估計(jì)。但此法耗時(shí)多，而且得到的僅是概率的近似值。在一些特殊的情況下，我們可以構(gòu)造出計(jì)算事件概率的通用方法。研究隨機(jī)現(xiàn)象，最重要的是知道隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示。

新知1-古典概型的特點(diǎn)找出下列試驗(yàn)的樣本點(diǎn)及樣本空間的共性.

【試驗(yàn)1】擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，出現(xiàn)的結(jié)果：【試驗(yàn)2】

擲一顆質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)的結(jié)果：

(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．鞏固練習(xí)判斷下列概率模型是否是古典概型：(1)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到實(shí)數(shù)2的概率；(2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個(gè)整數(shù)，求取到2的概率；(3)向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率；(4)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中，求事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)”的概率；(5)某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果有：“命中10環(huán)”、“命中9環(huán)”、“命中8環(huán)”、“命中7環(huán)”、“命中6環(huán)”、“命中5環(huán)”和“不中環(huán)”。新知2-古典概型的概率計(jì)算【思考】考慮下列隨機(jī)試驗(yàn)，如何度量事件發(fā)生的可能性大??？（1）一個(gè)班級(jí)中有18名男生、22名女生。采用抽簽的方式，從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生，事件A=“抽到男生”；析：從40名學(xué)生中選1名學(xué)生，即樣本點(diǎn)是有限個(gè)；隨機(jī)選取，即選到每個(gè)學(xué)生的可能性都相等；故這是一個(gè)古典概型.抽到男生的可能性大小，取決于男生數(shù)在班級(jí)學(xué)生數(shù)中所占的比例大小。因此，可以用男生數(shù)與班級(jí)學(xué)生數(shù)的比值來度量。

事件A=“抽到男生”包含18個(gè)樣本點(diǎn)樣本空間包含40個(gè)樣本點(diǎn)新知2-古典概型的概率計(jì)算【思考】考慮下列隨機(jī)試驗(yàn)，如何度量事件發(fā)生的可能性大??？（2）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件B=“恰好一次正面朝上”；用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，則試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}．共8個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型．事件B發(fā)生的可能性大小，取決于這個(gè)事件包含的樣本點(diǎn)在樣本空間包含的樣本點(diǎn)中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)與樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)的比值來度量．

新知2-古典概型的概率計(jì)算【思考】考慮下列隨機(jī)試驗(yàn)，如何度量事件發(fā)生的可能性大小？（3）某同學(xué)投籃1次，事件C=“投籃命中”.試驗(yàn)的樣本空間Ω={命中，不命中}．共2個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)不是等可能發(fā)生的，所以這不是一個(gè)古典概型．無法用這個(gè)事件包含的樣本點(diǎn)在樣本空間包含的樣本點(diǎn)中所占的比例大小度量事件發(fā)生的可能性大小.新知2-古典概型的概率計(jì)算古典概型的概率計(jì)算公式：一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率.典例解析【例7】單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案．如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案．假設(shè)考生有一題不會(huì)做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率是多少?思考：在標(biāo)準(zhǔn)化考試中也有多選題，多選題是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案(四個(gè)選項(xiàng)中至少有一個(gè)選項(xiàng)是正確的)．你認(rèn)為單選題和多選題哪種更難選對(duì)?為什么?典例解析【變式訓(xùn)練】典例解析【例8】拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為Ⅰ號(hào)和Ⅱ號(hào))，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果．(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；列表法一般適用于分兩步完成的結(jié)果的列舉。典例解析(2)求下列事件的概率：A=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；B=“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”；C=“Ⅰ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”．典例解析【思考】在上例中，為什么要把兩枚骰子標(biāo)上記號(hào)？如果不給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)，會(huì)出現(xiàn)什么情況?你能解釋其中的原因嗎?【思考】同一事件的概率，為什么會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不同的結(jié)果呢？36個(gè)結(jié)果都是等可能的；而合并為21個(gè)可能結(jié)果時(shí)，(1,1)和(1,2)發(fā)生的可能性大小不等，這不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式計(jì)算概率?？偨Y(jié)歸納求古典概型問題的一般思路（1）用適當(dāng)?shù)姆?hào)（字母、數(shù)字、數(shù)組等）表示試驗(yàn)的可能結(jié)果或樣本空間（借助樹狀圖或列表，不重不漏）；（2）根據(jù)實(shí)際問題情境判斷樣本點(diǎn)的等可能性；關(guān)鍵詞：質(zhì)地均勻、隨機(jī)選擇（3）計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)n(Ω)及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n(A)，求出事件A的概率P(A)。

注：無論是同時(shí)擲還是先后擲兩個(gè)骰子，都必須先對(duì)兩個(gè)骰子加以標(biāo)號(hào)，區(qū)分順序，以保證每個(gè)樣本點(diǎn)的等可能性。鞏固練習(xí)袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到紅球”；(2)B=“第二次摸到紅球”；(3)C=“兩次都摸到紅球”．典例解析例10：(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率．抽樣類型總樣本個(gè)數(shù)事件A包含的樣本點(diǎn)P(A)有放回簡單隨機(jī)抽樣無放回簡單隨機(jī)抽樣按性別等比例分層抽樣抽樣方法不同，則樣本空間不同，某個(gè)事件發(fā)生的概率也可能不同．典例解析基于例4的計(jì)算，請(qǐng)思考：在抽樣中如何提高樣本的代表性?課堂小結(jié)請(qǐng)帶著以下問