§2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用考情考向分析考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的能力，常與函數(shù)圖象、單調(diào)性、最值及方程、不等式交匯命題，題型以解答題為主，中高檔難度．1．幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax知識(shí)拓展1．解函數(shù)應(yīng)用題的步驟2．“對(duì)勾”函數(shù)形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的函數(shù)模型稱為“對(duì)勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上單調(diào)遞減．(2)當(dāng)x>0時(shí)，x＝eq\r(a)時(shí)取最小值2eq\r(a)，當(dāng)x<0時(shí)，x＝－eq\r(a)時(shí)取最大值－2eq\r(a).題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利．(×)(2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(×)(3)不存在x0，使<<logax0.(×)(4)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)的增長(zhǎng)速度．(√)(5)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻．(×)題組二教材改編2．[P104習(xí)題T1]某縣目前人口100萬(wàn)人，經(jīng)過(guò)x年后為y萬(wàn)人，若人口年增長(zhǎng)率是1.2%，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是．答案y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)解析本題屬于簡(jiǎn)單的指數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，依題意有y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．3．[P104習(xí)題T2]生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬(wàn)元)．一萬(wàn)件售價(jià)為20萬(wàn)元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為萬(wàn)件．答案18解析利潤(rùn)L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值．4．[P77例2]用長(zhǎng)度為24的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為．答案3解析設(shè)隔墻的長(zhǎng)度為x(0<x<6)，矩形面積為y，則y＝x×eq\f(24－4x,2)＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大．題組三易錯(cuò)自糾5．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長(zhǎng)率為p，第二年的增長(zhǎng)率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為．答案eq\r(p＋1q＋1)－1解析設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.6．已知某種動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到只．答案200解析由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)．當(dāng)x＝8時(shí)，y＝100log39＝200.題型一已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題典例(1)加工爆米花時(shí)，爆開(kāi)且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為分鐘．答案3.75解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))消去c化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a＋b＝0.1，,9a＋b＝－0.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(15,2)t＋\f(225,16)))＋eq\f(45,16)－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16)，所以當(dāng)t＝eq\f(15,4)＝3.75時(shí)，p取得最大值，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘．(2)某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)元．答案23000解析設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p)元，則由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．當(dāng)p∈(0,30)時(shí)，L′(p)>0，當(dāng)p∈(30，＋∞)時(shí)，L′(p)<0，故L(p)在p＝30時(shí)取得極大值，即最大值，且最大值為L(zhǎng)(30)＝23000.思維升華求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練(1)擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m>0，[m]是不超過(guò)m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費(fèi)為元．答案4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，則f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元．又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，則總利潤(rùn)L(Q)的最大值是萬(wàn)元．答案2500解析L(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2－10Q－2000＝－eq\f(1,20)Q2＋30Q－2000＝－eq\f(1,20)(Q－300)2＋2500.則當(dāng)Q＝300時(shí)，L(Q)的最大值為2500萬(wàn)元．題型二構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題命題點(diǎn)1構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)模型典例(1)某航空公司規(guī)定，乘飛機(jī)所攜帶行李的質(zhì)量x(kg)與其運(yùn)費(fèi)y(元)之間的關(guān)系由如圖所示的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量最大為kg.答案19解析由圖象可求得一次函數(shù)的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)將進(jìn)貨單價(jià)為80元的商品按90元一個(gè)出售時(shí)，能賣出400個(gè)，已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷售量就要減少20個(gè)，為了賺得最大利潤(rùn)，每個(gè)售價(jià)應(yīng)定為元．答案95解析設(shè)每個(gè)售價(jià)定為x元，則利潤(rùn)y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．∴當(dāng)x＝95時(shí)，y最大．命題點(diǎn)2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型典例一片森林原來(lái)面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).(2)設(shè)經(jīng)過(guò)m年剩余面積為原來(lái)的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年．引申探究本例的條件不變，試計(jì)算：今后最多還能砍伐多少年？解設(shè)從今年開(kāi)始，以后砍了n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年．命題點(diǎn)3構(gòu)造y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)型函數(shù)典例(1)某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系如圖所示(拋物線的一段)，則為使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大，每輛客車營(yíng)運(yùn)年數(shù)為．答案5解析根據(jù)圖象求得y＝－(x－6)2＋11，∴年平均利潤(rùn)eq\f(y,x)＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，∵x＋eq\f(25,x)≥10，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號(hào)成立，∴要使平均利潤(rùn)最大，客車營(yíng)運(yùn)年數(shù)為5.(2)某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米，外周長(zhǎng)(梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y米．要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即橫斷面的外周長(zhǎng)最小)，則防洪堤的腰長(zhǎng)x＝.答案2eq\r(3)解析由題意可得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，∴y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≥2eq\r(\f(18,x)×\f(3x,2))＝6eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(18,x)＝eq\f(3x,2)(2≤x<6)，即x＝2eq\r(3)時(shí)等號(hào)成立．命題點(diǎn)4構(gòu)造分段函數(shù)模型典例(2017·山西孝義模擬)某景區(qū)提供自行車出租，該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車的日租金不超過(guò)6元，則自行車可以全部租出；若超出6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？解(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，∵x為整數(shù)，∴3≤x≤6，x∈Z.當(dāng)x>6時(shí)，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，結(jié)合x(chóng)為整數(shù)得6<x≤20，x∈Z.∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－115，3≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－115，6<x≤20，x∈Z.))(2)對(duì)于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，顯然當(dāng)x＝6時(shí)，ymax＝185；對(duì)于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))2＋eq\f(811,3)(6<x≤20，x∈Z)，當(dāng)x＝11時(shí)，ymax＝270.∵270>185，∴當(dāng)每輛自行車的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多．思維升華構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過(guò)程中不要忽略實(shí)際問(wèn)題對(duì)變量的限制．跟蹤訓(xùn)練(1)某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不超過(guò)0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少eq\f(1,3)，至少應(yīng)過(guò)濾次才能達(dá)到市場(chǎng)要求．(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)答案8解析設(shè)至少過(guò)濾n次才能達(dá)到市場(chǎng)要求，則2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))n≤0.1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,20)，所以nlgeq\f(2,3)≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.(2)大學(xué)畢業(yè)生小趙想開(kāi)一家服裝專賣店，經(jīng)過(guò)預(yù)算，該門面需要裝修費(fèi)為20000元，每天需要房租、水電等費(fèi)用100元，受經(jīng)營(yíng)信譽(yù)度、銷售季節(jié)等因素的影響，專賣店銷售總收益R與門面經(jīng)營(yíng)天數(shù)x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，該門面經(jīng)營(yíng)的天數(shù)是．答案300解析由題意知，總利潤(rùn)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2－100x－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))當(dāng)0≤x≤400時(shí)，y＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，所以當(dāng)x＝300時(shí)，ymax＝25000；當(dāng)x>400時(shí)，y＝60000－100x<20000.綜上，當(dāng)門面經(jīng)營(yíng)的天數(shù)為300時(shí)，總利潤(rùn)最大為25000元．函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題典例(14分)已知美國(guó)某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬(wàn)美元，每生產(chǎn)1萬(wàn)部還需另投入16萬(wàn)美元．設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬(wàn)部并全部銷售完，每萬(wàn)部的銷售收入為R(x)萬(wàn)美元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(7400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)美元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)部)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．思維點(diǎn)撥根據(jù)題意，要利用分段函數(shù)求最大利潤(rùn)．列出解析式后，比較二次函數(shù)和“對(duì)勾”函數(shù)的最值的結(jié)論．規(guī)范解答解(1)當(dāng)0<x≤40時(shí)，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，[2分]當(dāng)x>40時(shí)，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360.所以W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋7360，x>40.))[6分](2)①當(dāng)0<x≤40時(shí)，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；[8分]②當(dāng)x>40時(shí)，W＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360，由于eq\f(40000,x)＋16x≥2eq\r(\f(40000,x)×16x)＝1600，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(40000,x)＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)時(shí)，取等號(hào)，所以此時(shí)W的最大值為5760.[12分]綜合①②知，當(dāng)x＝32時(shí)，W取得最大值6104萬(wàn)美元．[14分]解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：第一步：(審題)弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：(建模)將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：(解模)求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：(還原)將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義；第五步：(反思)對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性．1．一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過(guò)8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過(guò)min，容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一．答案16解析當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a，當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，∴e－8b＝eq\f(1,2)，當(dāng)容器中的沙子只有開(kāi)始時(shí)的八分之一時(shí)，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－24b，則t＝24，∴再經(jīng)過(guò)16min.2．某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過(guò)3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過(guò)3km但不超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過(guò)8km時(shí)，超過(guò)部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了km.答案9解析設(shè)出租車行駛xkm時(shí)，付費(fèi)y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8，))由y＝22.6，解得x＝9.3．國(guó)家規(guī)定某行業(yè)征稅如下：年收入在280萬(wàn)元及以下的稅率為p%，超過(guò)280萬(wàn)元的部分按(p＋2)%征稅，有一公司的實(shí)際繳稅比例為(p＋0.25)%，則該公司的年收入是萬(wàn)元．答案320解析設(shè)該公司的年收入為x萬(wàn)元(x>280)，則有eq\f(280×p%＋x－280p＋2%,x)＝(p＋0.25)%，解得x＝320.故該公司的年收入為320萬(wàn)元．4．某大型民企為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該民企2016年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該民企全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)年．答案2020解析設(shè)從2016年起，過(guò)了n(n∈N*)年該民企全年投入的研發(fā)資金超過(guò)200萬(wàn)元，則130×(1＋12%)n≥200，則n≥eq\f(lg\f(20,13),lg1.12)≈eq\f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，由題意取n＝4，則n＋2016＝2020.5．某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過(guò)10m3的，按每立方米m元收費(fèi)；用水超過(guò)10m3的，超過(guò)部分加倍收費(fèi)．某職工某月繳水費(fèi)16m元，則該職工這個(gè)月實(shí)際用水為m3.答案13解析設(shè)該職工用水xm3時(shí)，繳納的水費(fèi)為y元，由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx0<x≤10，,10m＋x－10·2mx>10，))則10m＋(x－10)·2m＝16m，解得x＝13.6．某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤(rùn)是萬(wàn)元．答案43解析設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤(rùn)y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×(10.5)2＋32.因?yàn)閤∈[0,16]且x∈N，所以當(dāng)x＝10或11時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值43萬(wàn)元．7．某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來(lái)的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間，單位：小時(shí)，y表示病毒個(gè)數(shù))，則k＝，經(jīng)過(guò)5小時(shí)，1個(gè)病毒能繁殖為個(gè)．答案2ln21024解析當(dāng)t＝0.5時(shí)，y＝2，∴2＝e，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，當(dāng)t＝5時(shí)，y＝e10ln2＝210＝1024.8．西北某羊皮手套公司準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)其生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行促銷．在一年內(nèi)，根據(jù)預(yù)算得羊皮手套的年利潤(rùn)L萬(wàn)元與廣告費(fèi)x萬(wàn)元之間的函數(shù)解析式為L(zhǎng)＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x>0)．則當(dāng)年廣告費(fèi)投入萬(wàn)元時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大．答案4解析由題意得L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))≤eq\f(51,2)－2eq\r(\f(x,2)·\f(8,x))＝eq\f(43,2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,2)＝eq\f(8,x)，即x＝4時(shí)等號(hào)成立．故當(dāng)年廣告費(fèi)投入4萬(wàn)元時(shí)，該公司的年利潤(rùn)最大．9.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為m.答案20解析設(shè)內(nèi)接矩形另一邊長(zhǎng)為ym，則由相似三角形性質(zhì)可得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，解得y＝40－x，所以矩形面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0<x<40)，所以當(dāng)x＝20時(shí)，Smax＝400.10．某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以vkm/h的速度直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知某市到災(zāi)區(qū)公路線長(zhǎng)400km，為了安全起見(jiàn)，兩輛汽車的間距不得小于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2km，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最少時(shí)間是h(車身長(zhǎng)度不計(jì))．答案12解析設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為th，由題意可知，t相當(dāng)于最后一輛車行駛了eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400))km所用的時(shí)間，因此，t＝eq\f(36×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20)))2＋400,v)≥12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(36v,400)＝eq\f(400,v)，即v＝eq\f(200,3)時(shí)取“＝”．故這些汽車以eq\f(200,3)km/h的速度勻速行駛時(shí)，所需時(shí)間最少，最少時(shí)間為12h.11．聲強(qiáng)級(jí)Y(單位：分貝)由公式Y(jié)＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))給出，其中I為聲強(qiáng)(單位：W/m2)．(1)平常人交談時(shí)的聲強(qiáng)約為10－6W/m2，求其聲強(qiáng)級(jí)；(2)一般常人能聽(tīng)到的最低聲強(qiáng)級(jí)是0分貝，求能聽(tīng)到最低聲強(qiáng)為多少？(3)比較理想的睡眠環(huán)境要求聲強(qiáng)級(jí)Y≤50分貝，已知熄燈后兩位同學(xué)在宿舍說(shuō)話的聲強(qiáng)為5×10－7W/m2，問(wèn)這兩位同學(xué)是否會(huì)影響其他同學(xué)休息？解(1)當(dāng)聲強(qiáng)為10－6W/m2時(shí)，由公式Y(jié)＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))得Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10－6,10－12)))＝10lg106＝60(分貝)．(2)當(dāng)Y＝0時(shí)，由公式Y(jié)＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))得10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(I,10－12)))＝0.所以eq\f(I,10－12)＝1，即I＝10－12W/m2，則常人能聽(tīng)到的最低聲強(qiáng)為10－12W/m2.(3)當(dāng)聲強(qiáng)為5×10－7W/m2時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)Y＝10lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5×10－7,10－12)))＝10lg(5×105)＝50＋10lg5，因?yàn)?0＋10lg5>50，所以這兩位同學(xué)會(huì)影響其他同學(xué)休息．12．某書(shū)商為提高某套叢書(shū)的銷售量，準(zhǔn)備舉辦一場(chǎng)展銷會(huì)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)每套叢書(shū)售價(jià)定為x元時(shí)，銷售量可達(dá)到15－0.1x萬(wàn)套．現(xiàn)出版社為配合該書(shū)商的活動(dòng)，決定進(jìn)行價(jià)格改革，將每套叢書(shū)的供貨價(jià)格分成固定價(jià)格和浮動(dòng)價(jià)格兩部分，其中固定價(jià)格為30元，浮動(dòng)價(jià)格(單位：元)與銷售量(單位：萬(wàn)套)成反比，比例系數(shù)為10.假設(shè)不計(jì)其他成本，即銷售每套叢書(shū)的利潤(rùn)＝售價(jià)－供貨價(jià)格，問(wèn)：(1)每套叢書(shū)售價(jià)定為100元時(shí)，書(shū)商能獲得的總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？(2)每套叢書(shū)售價(jià)定為多少元時(shí)，單套叢書(shū)的利潤(rùn)最大？解(1)每套叢書(shū)售價(jià)定為100元時(shí)，銷售量為15－0.1×100＝5(萬(wàn)套)，此時(shí)每套供貨價(jià)格為30＋eq\f(10,5)＝32(元)，書(shū)商所獲得的總利潤(rùn)為5×(100－32)＝340(萬(wàn)元)．(2)每套叢書(shū)售價(jià)定為x元時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15－0.1x>0，,x>0，))解得0<x<150.依題意，單套叢書(shū)利潤(rùn)P＝x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30＋\f(10,15－0.1x)))＝x－eq\f(100,150－x)－30，所以P＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(150－x＋\f(100,150－x)))＋120.因?yàn)?<x<150，所以150－x>0，則(150－x)＋eq\f(100,150－x)≥2eq\r(150－x·\f(100,150－x))＝2×10＝20，當(dāng)且僅當(dāng)150－x＝eq\f(100,150－x)，即x＝140時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，Pmax＝－20＋120＝100.所以每套叢書(shū)售價(jià)定為140元時(shí)，單套叢書(shū)的利潤(rùn)最大，最大值為100元．13．一艘輪船在勻速行駛過(guò)程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與速度v的平方成正比，且比例系數(shù)為k，除燃料費(fèi)外其他費(fèi)用為每小時(shí)96元．當(dāng)速度為10海里/小時(shí)時(shí)，每小時(shí)的燃料費(fèi)是6元．若勻速行駛10海里，當(dāng)這艘輪船的速度為海里/小時(shí)時(shí)，總費(fèi)用最小．答案40解析設(shè)每小時(shí)的總費(fèi)用為y元，則y＝kv2＋96，又當(dāng)v＝10時(shí)，k×102＝6，解得k＝0.06，所以每小時(shí)的總費(fèi)用y＝0.06v2＋96，勻速行駛10海里所用的時(shí)間為eq\f(10,v)小時(shí)，故總費(fèi)用為W＝eq\f(10,v)y＝eq\f(10,v)(0.06v2＋96)＝0.6v＋eq\f(960,v)≥2eq\r(0.6v×\f(960,v))＝48，當(dāng)且僅當(dāng)0.6v＝eq\f(960,v)，即v＝40時(shí)等號(hào)成立．故總費(fèi)用最小時(shí)輪船的速度為40海里/小時(shí)．14．商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b(b>a)以及實(shí)數(shù)x(0<x<1)確定實(shí)際銷售價(jià)格c＝a＋x(b－a)．這里，x被稱為樂(lè)觀系數(shù)．經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中項(xiàng)．據(jù)此可得，最佳樂(lè)觀系數(shù)x＝.答案eq\f(\r(5)－1,2)解析由題意得x＝eq\f(c－a,b－a)，(c－a)2＝(b