第三章

概率的進一步認識3.1用樹狀圖或表格求概率第1課時

用樹狀圖或表格求隨機事件的概率情景導入1．拋擲一枚質地均勻的硬幣，硬幣落下后，會出現幾種情況？分別是什么？每一種結果出現的可能性相同嗎？2．小明、小凡和小穎都想去看周末電影，但只有一張電影票.三人決定一起做游戲，誰獲勝誰就去看電影.游戲規則如下：小明小穎小凡連續拋擲兩枚均勻的硬幣，如果兩枚正面朝上，則小明獲勝；如果兩枚反面朝上，則小穎獲勝；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，則小凡獲勝.你認為這個游戲公平嗎？探究1實踐探究將課前的試驗數據匯總表進行分析，根據匯總過程及結果有什么發現？試驗次數2004006008001000兩枚正面朝上的次數兩枚正面朝上的頻率兩枚反面朝上的次數兩枚反面朝上的頻率一枚正面朝上、一枚反面朝上的次數一枚正面朝上、一枚反面朝上的頻率通過實驗數據,你認為該游戲公平嗎？從上面的試驗中我們發現，試驗次數較大時，試驗頻率基本穩定，而且在一般情況下，“一枚正面朝上.一枚反面朝上”發生的概率大于其他兩個事件發生的概率.所以，這個游戲不公平，它對小凡比較有利.

問題在這個問題情境中，小明、小穎和小凡獲得電影票的概率究竟是多大？請同學們思考如下問題：(1)擲第一枚硬幣可能出現哪些結果？它們發生的可能性是否一樣？(2)擲第二枚硬幣可能出現哪些結果？它們發生的可能性是否一樣？(3)在第一枚硬幣正面朝上的情況下，第二枚硬幣可能出現哪些結果？它們發生的可能性是否一樣？如果第一枚硬幣反面朝上呢？探究2由于硬幣是均勻的，因此拋擲第一枚硬幣出現“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同．無論拋擲第一枚硬幣出現怎樣的結果，拋擲第二枚硬幣時出現“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的．所以，拋擲兩枚均勻的硬幣，出現的(正，正)(正，反)(反，正)(反，反)四種情況是等可能的．我們可以用樹狀圖或表格表示所有可能出現的結果:開始正正第一枚硬幣反（正，正）（正，反）反正反（反，正）（反，反）第二枚硬幣所有可能出現的結果此圖類似于樹的形狀,所以稱為“樹形圖”.用列表法列舉所有可能出現的結果:

正反正反第二枚硬幣第一枚硬幣(正，正)(正，反)(反，正)(反，反)其中，小明獲勝的結果有一種：(正，正)．所以小明獲勝的概率是

；小穎獲勝的結果有一種：(反，反)．所以小穎獲勝的概率也是

；小凡獲勝的結果有兩種：(正，反)(反，正)．所以小凡獲勝的概率是.因此，這個游戲對三人是不公平的．歸納總結

利用樹狀圖或表格，我們可以不重復、不遺漏地列出所有可能性相同的結果，從而比較方便地求出某些事件發生的概率.應用舉例

小穎有兩件上衣，分別為紅色和白色，有兩條褲子，分別為黑色和白色，她隨機拿出一件上衣和一件褲子穿上，恰好是白色上衣和白色褲子的概率是多少？例1方法指導：可以用畫樹狀圖或列表法把所有情況列舉出來．解：解法1：畫樹狀圖如圖所示：總共有4種可能的結果，每種結果出現的可能性相同.其中恰好是白色上衣和白色褲子的結果有1種，所以其概率是

.

上衣：褲子：開始紅色白色黑色白色黑色白色褲子上衣黑色白色紅色(紅色，黑色)(紅色，白色)白色(白色，黑色)(白色，白色)解法2：列表如下：總共有4種可能的結果，每種結果出現的可能性相同．其中，恰好是白色上衣和白色褲子的結果有1種，所以其概率是.

在A、B兩個盒子都裝入寫有數字0、1的兩張卡片，分別從每個盒子里任取1張卡片，兩張卡片上的數字之積為0的概率是多少？例2解法1：畫樹狀圖如下：總共有4種可能的結果，每種結果出現的可能性相同，其中，兩張卡片的數字之積為0的結果有3種，所以兩張卡片上的數字之積為0的概率為.

0101解法2：列表如下：AB0001總共有4種可能的結果，每種結果出現的可能性相同.其中，兩張卡片上的數字之積為0的結果有3種.所以兩張卡片上的數字之積為0的概率為.

把大小和形狀一模一樣的6張卡片分成兩組，每組3張，分別標上數字1，2，3.將這兩組卡片分別放入兩個盒子中攪勻，再從中各隨機抽取一張，試求取出的兩張卡片數字之和為偶數的概率(要求用樹狀圖或列表法求解)．練一練解：畫樹狀圖：由上圖可知，所有等可能結果共有9種，其中兩張卡片數字之和為偶數的結果有5種.∴P(和為偶數)＝第一組第二組開始123123123123列表如下：

123

123第1組第2組由上圖可知，所有等可能結果共有9種，其中兩張卡片數字之和為偶數的結果有5種.∴P(和為偶數)＝(1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)(2，3)(3，1)(3，2)(3，3)列舉法關鍵常用方法直接列舉法列表法畫樹狀圖法兩個試驗因素或分兩步進行的試驗.列表；確定m、n值代入概率公式計算.在于正確列舉出試驗結果的各種可能性.確保試驗中每種結果出現的可能性大小相等.基本步驟適用對象前提條件課堂小結隨堂練習

C

D

C4.如圖，A，B兩名同學隨機在①②③④四個座位中選擇一個入坐，則A，B兩名同學面對面坐的概率為______.

5.文房四寶，即筆、墨、紙、硯是我國傳統文化中的文書工具.某禮品店將傳統與現代相結合，推出文房四寶盲盒，盲盒的外觀和質量均相同，且內含對應文房四寶之一的卡片，若從一套文房四寶盲盒(共四個盲盒，其中筆、墨、紙、硯各一個)中隨機選擇兩個，則恰好選中內含筆和紙的盲盒的概率是____.

6.二十四節氣是中國古代一種用來指導農事的補充歷法，在國際氣象界被譽為“中國的第五大發明”，并位列聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄.小明和小亮對二十四節氣非常感興趣，在課間玩游戲時，準備了四張完全相同的不透明卡片，卡片正面分別寫上“A.驚蟄”“B.夏至”“C.白露”“D.霜降”四個節氣，兩人商量將卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，并講述所抽卡片上的節氣的由來與習俗.(1)小明從四張卡片中隨機抽取一張卡片，抽到“A.驚蟄”的概率是_____；

6.二十四節氣是中國古代一種用來指導農事的補充歷法，在國際氣象界被譽為“中國的第五大發明”，并位列聯合國教科文組織人類非物質文化遺產代表作名錄.小明和小亮對二十四節氣非常感興趣，在課間玩游戲時，準備了四張完全相同的不透明卡片，卡片正面分別寫上“A.驚蟄”“B.夏至”“C.白露”“D.霜降”四個節氣，兩人商量將卡片背面朝上洗勻后，從中隨機抽取一張，并講述所抽卡片上的節氣的由來與習俗.(2)小明先從四張卡片中隨機抽取一張，小亮再從剩下的卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人都沒有抽到“B.夏至”的概率.

A[變式]

在第7題中，若改為“記下顏色后不放回”，其他條件不變，則兩次都摸出白球的概率是______.

D9.【新情境·跨學科】在如圖所示的電路圖中，當隨機閉合S1，S2，S3，S4中的兩個開關時，能夠讓燈泡發光的概率為______.

10.有同型號的A，B兩把鎖和同型號的a，b，c三把鑰匙，其中a鑰匙只能打開A鎖，b鑰匙只能打開B鎖，c鑰匙不能打開這兩把鎖.(1)從三把鑰匙中隨機取出一把，取出c鑰匙的概率為______；(2)從兩把鎖中隨機取出一把，從三把鑰匙中隨機取出一把，求取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的概率.

11.一個不透明的袋子中裝有四個小球，上面分別標有數字－2，－1，0，1.這些小球除數字不同外其他完全相同.(1)從袋子中隨機摸出一個小球，摸出的小球上所標數字為正數的概率是______.

11.一個不透明的袋子中裝有四個小球，上面分別標有數字－2，－1，0，1.這些小球除數字不同外其他完全相同.(2)小聰先從袋子中隨機摸出一個小球，記下數字作為平面直角坐標系內點M的橫坐標，然后放回并攪勻；接著小明從袋子中隨機摸出一個小球，記下數字作為點M的縱坐標.如圖，已知四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(－2，0)，B(0，－2)，C(1，0)，D(0，1)，請用畫樹狀圖或列表的方法，求點M落在四邊形ABCD內(含邊界)的概率.解：列表如下：

小明小聰