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淺析微分中值定理的證明目錄TOC\o"1-3"\h\u12251淺析微分中值定理的證明 [1].證作輔助函數.顯然，，且在上連續，在上可導，由羅爾中值定理可得，存在，使.假設，則由上式可得，但與不能同時為零，所以假設不成立，即.則可把上式改寫為.柯西中值定理的另一種證明方法（區間套法）：證先證當,且時，有.假設，因為在上連續，所以由引理2可得存在，且，使得.因此.同樣的，在上也滿足引理2的條件，再次應用引理2可得，存在，且，使得，因此又有.按照上面的過程，反復應用引理2，最后可以得到閉區間套，滿足，且.由閉區間套定理可得，存在，使得，則由引理1可得，而對，，所以假設不成立，故.再由引理3可得，存在，且，使得，同樣的，存在，且，使得，按照上述過程，反復應用引理3，可以得到閉區間套，滿足，且.由閉區間套定理可得，存在，使得.則由引理1可得.即證.柯西中值定理的幾何意義可以用參數方程的形式來理解，把和這兩個函數寫成以為參量的參量方程于是在平面上有一段連續曲線，兩函數在該曲線上聯系.若曲線的兩端點連續，則在曲線上至少存在一點，該點的切線與兩端點的連線平行.柯西中值定理的幾何意義，它表示了曲線上至少有一點的切線平行于兩端點所在的弦.這一點拉格朗日中值定理也有其表現，但是柯西中值定理除了適用于表示的曲線外，還可以表示參數方程的曲線.由此也可以看出拉氏定理時柯西中值定理的一種特殊形式.1.3.2柯西中值定理的推廣推論3若函數，在有限或無窮區間中任意點處有有限的導數和，對，，，，，都存在，則至少存在一點使.證假設，即.由推論1知，至少存在一點，使得，這與，矛盾，故假設不成立，因此，.構造輔助函數，則在可導，且，，即.由推論1可知，至少存在一點，使得，因為，所以.又因為對，，所以可將上式改寫為.例5設.證明存在，使得.證令，，則，都在上連續，在內可導.，，則、都不等于，且.由柯西中值定理知，存在，使得，即.例6證明不等式證令則上式轉化為由于上應用柯西中值定理，得于是而當所以即分析：由以上兩個例子可以看出，在利用柯西中值定理進行解題時，關鍵步驟是要對題目的結果進行整理變形，并在此變形完成基礎上找

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