第5頁/共27頁2025年山西省初中學業水平考試數學第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1.下列各數中比小的數是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了有理數的大小比較，根據正數大于負數；兩個負數，絕對值大的反而小進行比較即可判斷求解，掌握有理數的大小比較方法是解題的關鍵．【詳解】解：∵正數大于負數，∴比小的數在，，中，∵兩個負數，絕對值大的數反而更小，又∵，∴，∴比小的數是，故選：．2.科技創新型企業的不斷涌現，促進了我國新質生產力的快速發展．以下四個科技創新型企業的品牌圖標中，為中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形，把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，據此判斷即可求解，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【詳解】、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；故選：．3.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查合并同類項、同底數冪的乘法、完全平方公式、積的乘方等運算法則，根據相應法則，逐一進行計算判斷即可．【詳解】A．中的和不是同類項，無法合并，故錯誤．B．，正確．C．應展開為，選項漏掉，故錯誤．D．，選項中結果為，計算錯誤．故選：B．4.如圖，小誼將兩根長度不等的木條的中點連在一起，記中點為，即．測得兩點之間的距離后，利用全等三角形的性質，可得花瓶內壁上兩點之間的距離．圖中與全等的依據是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．【詳解】在與，∵，∴，∴與全等依據是，故選：．5.不等式組的解集是（）A. B. C. D.無解【答案】C【解析】【分析】本題考查求不等式組的解集，分別求出兩個不等式的解集，再確定它們解集的公共部分即為不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得：；解不等式，得：，∴不等式組的解集為：；故選C．6.如圖，在平行四邊形中，點是對角線中點，點是邊的中點，連接．下列兩條線段的數量關系中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了三角形中位線的性質，平行四邊形的性質，由三角形中位線的性質得，進而由平行四邊形的性質得，即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵點是對角線的中點，點是邊的中點，∴是的中位線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，故選：．7.下表記錄了某市連續五天的日最高氣溫和日最低氣溫．比較這五天的日最高氣溫與日最低氣溫的波動情況，下列說法正確的是（）日期氣溫2月2日2月3日2月4日2月5日2月6日最高1261098最低102A.日最高氣溫的波動大 B.日最低氣溫的波動大C.一樣大 D.無法比較【答案】A【解析】【分析】本題考查的是方差的計算與含義，比較兩組數據的波動情況，需計算它們的方差或極差，根據方差越大，波動越大判斷即可.【詳解】解：最高氣溫數據：12，6，10，9，8∴平均數：各數據與平均數的差的平方：，，，，，∴方差：∵最低氣溫數據：1，，，0，2∴平均數：各數據與平均數的差的平方：，，，，，∴方差：，∴最高氣溫方差為4，最低氣溫方差為2，因此日最高氣溫的波動更大，選項A正確；故選：A8.如圖，為的直徑，點是上位于異側的兩點，連接．若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，連接，由為的直徑可得，進而由得，再根據圓周角定理即可求解，掌握圓周角定理是解題的關鍵．【詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，故選：．9.氫氣是一種綠色清潔能源，可通過電解水獲得．實踐小組通過實驗發現，在電解水的過程中，生成物氫氣的質量與分解的水的質量滿足我們學過的某種函數關系．下表是一組實驗數據，根據表中數據，與之間的函數關系式為（）水的質量氫氣的質量A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了求函數關系式，由表格數據可得是的正比例函數，進而即可求解，由表格數據判斷出函數關系是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴與成正比例，即是的正比例函數，∴，故選：．10.如圖，在中，，分別以點為圓心、的長為半徑畫弧，與的延長線分別交于點．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質，扇形的面積，由等腰直角三角形的性質得，，進而由解答即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故選：．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】本題考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特點是解題的關鍵；由平方差公式分解即可．【詳解】解：；故答案為：．12.近年來，我省依托鄉村e鎮建設，打造農村電商新產業，提高了農民收入．某農戶通過網上銷售傳統手工藝品布老虎，利潤由原來的每個20元增加到80元．該農戶通過網上售出a個布老虎，則他的利潤增加了________元（用含a的代數式表示）．【答案】【解析】【分析】本題考查了列代數式，正確理解題意是關鍵；求出售出一個布老虎增加的利潤，即可求出售出a個布老虎增加的利潤．【詳解】解：售出一個布老虎增加的利潤為（元），則售出a個布老虎增加的利潤為．故答案為：．13.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，將線段繞點逆時針旋轉，則點對應點的坐標為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質，解直角三角形的相關計算，將線段繞點逆時針旋轉得到，過作軸于點，則，，，然后通過，，即可求解，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，將線段繞點逆時針旋轉得到，過作軸于點，則，∵點的坐標為，∴，由題意得，，，∴，，∴點對應點的坐標為，故答案為：．14.如圖是創新小組設計的一款小程序的界面示意圖，程序規則為：每點擊一次按鈕，“”就從一個格子向左或向右隨機移動到相鄰的一個格子．當“”位于格子A時，小明連續點擊兩次按鈕，“”回到格子A的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了畫樹狀圖或列表法求概率；根據題意畫出樹狀圖，求出所有可能的結果數及事件發生的可能結果數，利用概率公式即可求解．【詳解】解：畫出樹狀圖如下：由圖知，所有可能的結果數為4，其中回到回到格子A的可能結果數為2，則回到格子A的概率為；故答案為：．15.如圖，在四邊形中，，，，，點在邊上，，連接，且．點在的延長線上，連接若，則線段的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，矩形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，延長交延長線于點，過作于點，則，由三線合一性質可得，然后證明四邊形是矩形，所以，，又，則可證，所以，求出，然后通過平行線的性質和等角對等邊可得，設，則，，最后通過勾股定理求出的值即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，延長交延長線于點，過作于點，則，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，由勾股定理得：，∴，解得：，即，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（1）計算：（2）解方程組：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了含乘方的有理數的混合運算，解二元一次方程組等知識，正確進行運算是解題的關鍵；（1）依次計算絕對值、乘方與括號，最后計算加減即可；（2）利用加減消元法，兩式相加消去未知數y，求得未知數x的值，再求出y的值即可．【詳解】解：（1）原式；（2）解：①+②，得，．將代入②，得，．所以原方程組的解是．17.如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x軸，y軸交于點A，B，與反比例函數的圖象交于點C．已知點A的坐標為，點C的坐標為，點D在反比例函數的圖像上，縱坐標為2．（1）求反比例函數的表達式，并直接寫出點B的坐標；（2）連接，請直接寫出四邊形的面積．【答案】（1），（2）10【解析】【分析】（1）把點C的坐標代入反比例函數解析式中，求得k的值，即可求得反比例函數解析式；由A、C的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式，令，求出y的值，即可得點B的坐標；（2）點D在反比例函數的圖像上，縱坐標為2，則可求得點D的橫坐標，利用四邊形的面積等于面積的和即可求解．【小問1詳解】解：∵點C的坐標為，且在反比例函數的圖像上，∴，即，∴反比例函數的解析式為；設直線的解析式為，把A、C兩點坐標分別代入得：，解得：，即直線的解析式為；上式中，令，，∴點B的坐標為；【小問2詳解】解：∵點D在反比例函數的圖像上，縱坐標為2，∴，解得：；由題意知，，∴．【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，待定系數法求函數解析式，反比例函數的圖像與性質，割補法求四邊形面積等知識，掌握反比例函數的圖像與性質是關鍵．18.近年來，交通工具的多樣化和普及化，為家長接送孩子帶來便利的同時，也在一定程度上造成了放學時段校門口的交通擁堵．為了解具體情況，某校愛心社團中午放學后在校門口隨機選取300名接送孩子的家長，針對接送孩子的方式和時段進行了問卷調查（調查問卷如圖），所有問卷全部收回且有效，并將調查結果繪制成了如下所示的扇形統計圖和條形統計圖（不完整）．請認真閱讀上述信息，回答下列問題：（1）扇形統計圖中“公共交通”所在扇形的圓心角度數為_________；本次調查的家長中騎電動自行車接送孩子的有__________人，并補全條形統計圖；（2）若該校共有1500名家長中午放學后接送孩子，請估計用私家車接送孩子的家長人數；（3）假如你是愛心社團的成員，請根據上述統計圖中的信息，寫出一個造成放學后校門口交通擁堵的原因，并給家長提出一條緩解擁堵的建議．【答案】（1）36；135；見解析（2）450人（3）見解析【解析】【分析】本題主要考查了扇形統計圖，條形統計圖，用樣本估計總體等等，正確讀懂統計圖是解題的關鍵．（1）用360度乘以“公共交通”的人數占比可求出對應的圓心角度數；用300乘以“騎電動自行車”的人數占比可求出對應的人數，再求出時間段騎電動車的人數并補全統計圖即可；（2）用1500乘以樣本中用私家車接送孩子的家長人數占比即可得到答案；（3）電動車和私家車接送孩子的人數占比多，容易造成擁堵；時間段電動車和私家車接送孩子的人數比較多，容易造成擁堵；建議可從換接送方式和換接送時間段兩個方面闡述．【小問1詳解】解：，∴扇形統計圖中“公共交通”所在扇形的圓心角度數為；人，∴本次調查的家長中騎電動自行車接送孩子的有135人；∴時間段騎電動車的人數為人，補全統計圖如下所示：【小問2詳解】解；人，答：估計用私家車接送孩子的家長人數為450人；【小問3詳解】解：由扇形統計圖可知用電動車和私家車接送孩子的人數占比為，容易造成放學后校門口交通擁擠；由條形統計圖可知，在時間段內，接送孩子的電動車和私家車比較多，容易造成放學后校門口交通擁擠；建議家長在條件允許的情況下選用公共交通方式接送孩子或者使用電動車或私家車接送孩子時避開時間段．19.我國自主研發的型快速換軌車，采用先進的自動化技術、能精準高效地完成更換鐵路鋼軌的任務．一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌的公里數是一個工作隊人工更換鋼軌的2倍，它更換116公里鋼軌比一個工作隊人工更換80公里鋼軌所用時間少22小時．求一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌多少公里．【答案】一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌2公里【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用，正確理解題意，找到等量關系并列出分式方程是解題的關鍵，注意要檢驗；設一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌x公里；根據等量關系：快速換軌車更換116公里鋼軌比一個工作隊人工更換80公里鋼軌所用時間少22小時，列出分式方程，求解并檢驗即可．【詳解】解：設一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌x公里．根據題意得：．解得：．經檢驗，是原方程的根，且符合題意．答：一輛該型號快速換軌車每小時更換鋼軌2公里．20.項目學習項目背景：“源池泉涌”為我省某景區的一個景點，主體設計包括外欄墻與內欄墻，外欄墻高于內欄墻，兩欄中間為步道，內欄墻內為泉池，池內泉水清澈見底．從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內欄墻呈圓形．綜合實踐小組的同學圍繞“景物的測量與計算”開展項目學習活動，形成了如下活動報告．項目主題景物的測量與計算驅動問題如何測量內欄墻圍成泉池的直徑活動內容利用視圖、三角函數等有關知識進行測量與計算活動過程方案說明圖為該景，點俯視圖的示意圖，點，是正八邊形中一組平行邊的中點，為圓的直徑圖中點在同一條直線上．圖為測量方案示意圖，直徑所在水平直線與外欄墻分別交于，點，，外欄墻與均與水平地面垂直，且．，均表示步道的寬，．圖中各點都在同一豎直平面內．數據測量在點處測得，點和點的俯角分別為，，米．圖中墻的厚度均忽略不計計算……交流展示……請根據上述數據，計算內欄墻圍成泉池的直徑的長（結果精確到米．參考數據：，，，，，）．【答案】內欄墻圍成泉池的直徑的長約為米．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題，由題意得，四邊形為矩形，則，，所以，，設米，則米，米，然后通過，，列出方程，解出方程即可，掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：由題意得，，四邊形為矩形，∴，，∴，，設米，則米，米，在中，，，，∴，在中，，，∴，∴，解得，∴（米），答：內欄墻圍成泉池的直徑的長約為米．21.閱讀與思考下面是小宣同學數學筆記中的部分內容，請認真閱讀并完成相應的任務．雙關聯線段概念理解】如果兩條線段所在直線形成的夾角中有一個角是，且這兩條線段相等，則稱其中一條線段是另一條線段的雙關聯線段，也稱這兩條線段互為雙關聯線段．例如，下列各圖中的線段與所在直線形成的夾角中有一個角是，若，則下列各圖中的線段都是相應線段的雙關聯線段．【問題解決】問題1：如圖，在矩形中，，若對角線與互為雙關聯線段，則________．問題2：如圖，在等邊中，點D，E分別在邊的延長線上，且，連接．求證：線段是線段的雙關聯線段．證明：延長交于點F．是等邊三角形，．，（依據）．，，；…任務：（1）問題1中的________，問題2中的依據是________________；（2）補全問題2的證明過程；（3）如圖，點C在線段上，請在圖3中作線段的雙關聯線段．（要求：①尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法；②作出一條即可）．【答案】（1），等角的補角相等；（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）設的交點為O，利用矩形的性質及已知可證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質及矩形性質即可求解．利用等角的補角相等即可完成問題2的依據．（2）利用三角形外角的性質及等邊三角形的性質即可，從而問題完成；（3）作一個等邊三角形即可完成．【小問1詳解】解：設的交點為O，如圖；∵四邊形是矩形，∴；∵對角線與互為雙關聯線段，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；故答案為：；問題2中的依據是：等角的補角相等；故答案為：等角的補角相等；【小問2詳解】解：是的外角，．是的外角，．，．即線段與線段所在直線形成的夾角中有一個角是．，線段與線段是雙關聯線段．【小問3詳解】解：答案不唯一，例如：作法一：作法二：如圖，線段即為所求．【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，尺規作圖等知識，掌握這些知識是解題的關鍵．22.綜合與實踐問題情境：青蛙騰空階段的運動路線可看作拋物線．我國某科研團隊根據青蛙的生物特征和運動機理設計出了仿青蛙機器人，其起跳后的運動路線與實際情況中青蛙騰空階段的運動路線相吻合．實驗數據：仿青蛙機器人從水平地面起跳，并落在水平地面上，其運動路線的最高點距地面，起跳點與落地點的距離為．數學建模：如圖，將仿青蛙機器人的運動路線抽象為拋物線，其頂點為N，對稱軸為直線l，仿青蛙機器人在水平地面上的起跳點為O，落地點為M．以O為原點，所在直線為x軸，過點O與所在水平地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標系．（1）請直接寫出頂點N的坐標，并求該拋物線的函數表達式；問題解決：已知仿青蛙機器人起跳后的運動路線形狀保持不變，即拋物線的形狀不變．（2）如圖1，若仿青蛙機器人從點O正上方的點P處起跳，落地點為Q，點P的坐標為，點Q在x軸的正半軸上．求起跳點P與落地點Q的水平距離的長；（3）實驗表明：仿青蛙機器人在躍過障礙物時，與障礙物上表面的每個點在豎直方向上的距離不少于，才能安全通過．如圖，水平地面上有一個障礙物，其縱切面為四邊形，其中，．仿青蛙機器人從距離左側處的地面起跳，發現不能安全通過該障礙物．若團隊人員在起跳處放置一個平臺，仿青蛙機器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物．請直接寫出該平臺的高度（平臺的大小忽略不計，障礙物的縱切面與仿青蛙機器人的運動路線在同一豎直平面內）．【答案】（1），；（2）起跳點P與落地點Q的水平距離的長為；（3）【解析】【分析】本題考查二次函數實際應用，讀懂題意，正確的列出函數關系式，是解題的關鍵：（1）根據起跳點與落地點的距離為，得到對稱軸為直線，根據運動路線的最高點距地面，得到頂點縱坐標為，寫出頂點坐標，列出頂點式，把代入，求出函數解析式即可；（2）根據拋物線的形狀不變，利用平移思想，寫出新的函數解析式，令，求出的值，進而求出的長即可；（3）設該平臺的高度為，根據題意，得到新的拋物線的解析式為：，根據仿青蛙機器人從平臺上起跳，則剛好安全通過該障礙物，得到拋物線過點，代入求解即可；【詳解】解：（1）由題意，得：拋物線的對稱軸為直線，頂點縱坐標為，∴頂點坐標為，設拋物線的函數解析式為：，∵圖象過原點，∴，解：，∴；（2）∵拋物線的形狀不變，點，故第二次的函數圖象可以看作由（1）的拋物線向上平移75個單位長度，得到的，∴新的拋物線的解析式為：，當時，，解得：，（舍去）；故起跳點P與落地點Q的水平距離的長為；（3）設該平臺的高度為，由題意，設新的函數解析式為：，∵，仿青蛙機器