2012成人高考數學試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,2,3\}\)D.\(\{2,3,4\}\)3.不等式\(\vertx-1\vert\lt2\)的解集是（）A.\(\{x\mid-1\ltx\lt3\}\)B.\(\{x\midx\lt-1或x\gt3\}\)C.\(\{x\mid-3\ltx\lt1\}\)D.\(\{x\midx\lt-3或x\gt1\}\)4.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)5.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)等于（）A.\(9\)B.\(8\)C.\(7\)D.\(6\)6.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(m\)的值為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)7.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)8.函數\(y=3\sinx+4\cosx\)的最大值是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(7\)9.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值為（）A.\(3\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(2\)D.\(\frac{1}{2}\)10.過點\((1,2)\)且與直線\(x-y+1=0\)垂直的直線方程是（）A.\(x+y-3=0\)B.\(x-y+3=0\)C.\(x+y+3=0\)D.\(x-y-3=0\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\vertx\vert\)2.下列數列中，是等比數列的有（）A.\(2,4,8,16,\cdots\)B.\(1,1,1,1,\cdots\)C.\(2,0,2,0,\cdots\)D.\(1,-1,1,-1,\cdots\)3.已知直線\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)，則\(l_1\parallell_2\)的條件是（）A.\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.\(A_1C_2-A_2C_1=0\)C.\(B_1C_2-B_2C_1\neq0\)D.\(A_1A_2+B_1B_2=0\)4.下列關于橢圓的說法正確的有（）A.橢圓有兩個焦點B.橢圓的離心率\(e\lt1\)C.橢圓上的點到兩焦點距離之和為定值D.橢圓的標準方程一定是\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)5.已知函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導，則下列說法正確的有（）A.函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處連續B.函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處的導數\(f^\prime(x_0)\)存在C.函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處的切線斜率為\(f^\prime(x_0)\)D.函數\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處一定有極值6.下列三角函數值為正的有（）A.\(\sin120^{\circ}\)B.\(\cos210^{\circ}\)C.\(\tan30^{\circ}\)D.\(\sin(-30^{\circ})\)7.已知\(a\)，\(b\)為實數，且\(a\gtb\)，則下列不等式成立的有（）A.\(a+1\gtb+1\)B.\(a-1\gtb-1\)C.\(2a\gt2b\)D.\(-a\gt-b\)8.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)9.已知圓的方程為\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)，則下列說法正確的有（）A.圓心坐標為\((1,-2)\)B.半徑為\(2\)C.圓心到\(x\)軸的距離為\(2\)D.圓心到\(y\)軸的距離為\(1\)10.下列向量運算正確的有（）A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)B.\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)C.\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)D.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內是單調遞減函數。（）3.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等差數列，則\(2b=a+c\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.函數\(y=\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）6.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）7.拋物線\(x^2=4y\)的準線方程是\(y=-1\)。（）8.函數\(y=e^x\)與\(y=\lnx\)互為反函數。（）9.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+y=1\)，則\(xy\)的最大值是\(\frac{1}{4}\)。（）10.雙曲線\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^3-3x^2+5\)的導數。答案：根據求導公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=3x^2-6x\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)的值。答案：因為\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos^2\alpha=1-(\frac{3}{5})^2=\frac{16}{25}\)。又\(\alpha\)是第二象限角，\(\cos\alpha\lt0\)，故\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)。3.求過點\((2,-1)\)且斜率為\(2\)的直線方程。答案：由直線的點斜式方程\(y-y_1=k(x-x_1)\)（其中\((x_1,y_1)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），可得\(y-(-1)=2(x-2)\)，整理得\(2x-y-5=0\)。4.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求\(a_5\)的值及前\(5\)項和\(S_5\)。答案：\(a_n=a_1+(n-1)d\)，所以\(a_5=1+(5-1)\times2=9\)。\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，\(S_5=\frac{5\times(1+9)}{2}=25\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域、值域和單調性。答案：定義域為\(x\neq1\)。值域為\(y\neq0\)。在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上分別單調遞減。因為在這兩個區間內，隨著\(x\)增大，\(y\)都減小。2.討論橢圓和雙曲線的性質有哪些異同點。答案：相同點：都有兩個焦點。不同點：橢圓上點到兩焦點距離之和為定值，離心率\(e\lt1\)；雙曲線是點到兩焦點距離之差的絕對值為定值，離心率\(e\gt1\)。3.討論如何判斷直線與圓的位置關系。答案：可通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小判斷。若\(d\gtr\)，直線與圓相離；若\(d=r\)，直線與圓相切；若\(d\ltr\)，直線與圓相交。4.討論在實際問題中如何建立函數模型來解決問題。答案：先明確問題中的變量，分析它們之間的關系，根據實際意義確定自變量的取值范圍，進而建立函