高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市嘉定區2024-2025學年高一上學期期末質量調研數學試卷一、填空題.1.設全集，集合，集合，則______．【答案】.【解析】由題意有，而，∴.2.已知方程的兩個根為、，則的值為______.【答案】3【解析】因為方程的兩個根為、，由韋達定理得，，，所以.3.不等式的解集是______.【答案】【解析】不等式等價于，即，解得，即原不等式的解集為.4.已知，化簡：______.【答案】【解析】原式.5.函數的定義域是______.【答案】【解析】因為函數，所以其定義域為.6.科學家以里氏震級來度量地震的強度，設為地震時所散發出來的相對能量程度，里氏震級度量定義為，則7級地震和6級地震的相對能量比值是______.（結果精確到個位）【答案】32【解析】設7級時能量為，6級時能量為，則，兩式相減得，所以，所以，注意到，所以.7.已知關于的方程至少有一個實根，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】當時，方程為，解得；當時，方程至少有一個實根，則，解得，綜上，實數的取值范圍是.8.若，則的最小值是______.【答案】2【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是2.9.若函數的圖象不經過第二象限，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】函數的圖象過點，至少向下平移個單位才能使圖象不過第二象限，則，即，所以實數取值范圍為．10.函數的零點是______.【答案】6【解析】令，即，則，，解得或（舍去），所以函數的零點為6.11.已知函數偶函數，是奇函數，且，則______.【答案】【解析】因為函數y=fx是偶函數，y=g所以f-x=fx因為①，所以，即②，則①②兩式相加可得，即.12.已知則方程的解集是______.【答案】【解析】當時，，若，，此方程恒成立，故；若，，因為，，所以方程在時無解；當時，，，即，解得，所以方程的解集是.二、單項選擇題.13.下列函數中，與函數相同的是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A，因為定義域為，與函數，不是相同函數，故A錯誤；對于B，定義域為R，且，與函數相同，故B正確；對于C，函數，，與函數，的定義域不同，不是相同函數，故C錯誤；對于D，函數，，與函數，的對應關系不同，不是相同函數，故D錯誤.故選：B．14.已知，，則（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，又，.故選：A.15.若：，：，則是的（）.A.充分非必要條件 B.必要非充要條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】由可得，且：，所以是的必要非充要條件.故選：B.16.命題：存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足；命題：存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足.關于這兩個命題的真假判斷，正確的是（）.A.、都是真命題 B.、都是假命題C.真命題，是假命題 D.是假命題，是真命題【答案】C【解析】令，其定義域為R，對任意的實數，滿足，則存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足，即是真命題；假設存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足，當時，，由，則，則，出現矛盾，所以不存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足，即是假命題.故選：C.三、解答題.17.已知集合，集合.（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）因為，則，代入，得，即，解得，因為，則，所以，所以若，求實數的取值范圍為.（2）當時，方程的兩個根為，當，即時，集合，因為，，所以，解得，則；當，即時，集合，滿足；當，即時，集合，因為，，所以，此時，綜上，實數的取值范圍為.18.已知.（1）當時，判斷在區間上的單調性，并證明你的結論；（2）若在區間上的最大值比最小值大1，求實數的值.解：（1）單調遞減，證明：當時，，設，則，因為，且為增函數，所以，所以，所以在區間上的單調遞減.（2）當時，由復合函數的單調性可得在區間上單調遞減，所以，即；當時，由復合函數的單調性可得在區間上單調遞增，所以，即，綜上，或.19.某商場的購物優惠活動如下：一次購物總額不滿元的不予優惠；一次購物總額滿元，但不滿元的，減元；一次購物總額滿元，不滿元的，減元；一次購物總額滿元的，按購物總額給予九折優惠.設某位顧客一次購物總額為元（假設可取上的一切實數），所享受到的優惠率（即原價與折扣價之差占原價的百分比）記為.（1）試寫出關于的函數關系，并求該函數的最大值；（2）若該顧客這次購物所享受到的優惠超過九折，且不超過八五折，求的取值范圍.解：（1）由題知，即，所以在上遞減，此時，且在上遞減，此時，綜上，該函數的最大值為.（2）由（1）知，則令，解得，所以此時；令，解得，綜上，的取值范圍為.20.已知.（1）作出函數y=fx（2）記，證明函數y=gx是奇函數，并求y=gx（3）若是函數y=fx的圖象上任意一點，點，點，求線段長度的最小值和線段長度的最小值.解：（1）函數，函數y=fx的圖象是由的圖象右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到，則函數y=fx（2）因為，所以，由，則定義域為，關于原點對稱，，所以函數y=gx令，則，則，所以，因為，所以，解得或，即y=gx的值域為.（3）若是函數y=fx的圖象上任意一點，點，點，設Px,y在上，則，令，則，當且僅當，即時，取等號，即線段長度的最小值為2；，則，令，則，令，則，當時，則線段長度求得最小值.21.對于定義在上的函數y=fx，設區間是的一個子集，對于區間上任意給定的兩個自變量的值、，如果總有，則稱函數y=fx在區間上是“舒緩函數”.（1）判斷函數、在上是否是“舒緩函數”，并說明理由；（2）若函數在上是“舒緩函數”，求實數的取值范圍；（3）已知函數y=fx，的最大值是、最小值是，在上是“舒緩函數”，且，求證：.解：（1）令，則，故在上是“舒緩函數”；令，則，取，則h0-h故在上不是“舒緩函數”.（2）因函數在上是“舒緩函數”，則對，，不妨設，則有，，則，則，時，，即.（3）設，不妨設.若，因在上是“舒緩函數”，則；若，則.綜上，.上海市嘉定區2024-2025學年高一上學期期末質量調研數學試卷一、填空題.1.設全集，集合，集合，則______．【答案】.【解析】由題意有，而，∴.2.已知方程的兩個根為、，則的值為______.【答案】3【解析】因為方程的兩個根為、，由韋達定理得，，，所以.3.不等式的解集是______.【答案】【解析】不等式等價于，即，解得，即原不等式的解集為.4.已知，化簡：______.【答案】【解析】原式.5.函數的定義域是______.【答案】【解析】因為函數，所以其定義域為.6.科學家以里氏震級來度量地震的強度，設為地震時所散發出來的相對能量程度，里氏震級度量定義為，則7級地震和6級地震的相對能量比值是______.（結果精確到個位）【答案】32【解析】設7級時能量為，6級時能量為，則，兩式相減得，所以，所以，注意到，所以.7.已知關于的方程至少有一個實根，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】當時，方程為，解得；當時，方程至少有一個實根，則，解得，綜上，實數的取值范圍是.8.若，則的最小值是______.【答案】2【解析】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是2.9.若函數的圖象不經過第二象限，則實數的取值范圍是______.【答案】【解析】函數的圖象過點，至少向下平移個單位才能使圖象不過第二象限，則，即，所以實數取值范圍為．10.函數的零點是______.【答案】6【解析】令，即，則，，解得或（舍去），所以函數的零點為6.11.已知函數偶函數，是奇函數，且，則______.【答案】【解析】因為函數y=fx是偶函數，y=g所以f-x=fx因為①，所以，即②，則①②兩式相加可得，即.12.已知則方程的解集是______.【答案】【解析】當時，，若，，此方程恒成立，故；若，，因為，，所以方程在時無解；當時，，，即，解得，所以方程的解集是.二、單項選擇題.13.下列函數中，與函數相同的是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A，因為定義域為，與函數，不是相同函數，故A錯誤；對于B，定義域為R，且，與函數相同，故B正確；對于C，函數，，與函數，的定義域不同，不是相同函數，故C錯誤；對于D，函數，，與函數，的對應關系不同，不是相同函數，故D錯誤.故選：B．14.已知，，則（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，又，.故選：A.15.若：，：，則是的（）.A.充分非必要條件 B.必要非充要條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】由可得，且：，所以是的必要非充要條件.故選：B.16.命題：存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足；命題：存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足.關于這兩個命題的真假判斷，正確的是（）.A.、都是真命題 B.、都是假命題C.真命題，是假命題 D.是假命題，是真命題【答案】C【解析】令，其定義域為R，對任意的實數，滿足，則存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足，即是真命題；假設存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足，當時，，由，則，則，出現矛盾，所以不存在定義域為R的函數，對任意的實數，滿足，即是假命題.故選：C.三、解答題.17.已知集合，集合.（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）因為，則，代入，得，即，解得，因為，則，所以，所以若，求實數的取值范圍為.（2）當時，方程的兩個根為，當，即時，集合，因為，，所以，解得，則；當，即時，集合，滿足；當，即時，集合，因為，，所以，此時，綜上，實數的取值范圍為.18.已知.（1）當時，判斷在區間上的單調性，并證明你的結論；（2）若在區間上的最大值比最小值大1，求實數的值.解：（1）單調遞減，證明：當時，，設，則，因為，且為增函數，所以，所以，所以在區間上的單調遞減.（2）當時，由復合函數的單調性可得在區間上單調遞減，所以，即；當時，由復合函數的單調性可得在區間上單調遞增，所以，即，綜上，或.19.某商場的購物優惠活動如下：一次購物總額不滿元的不予優惠；一次購物總額滿元，但不滿元的，減元；一次購物總額滿元，不滿元的，減元；一次購物總額滿元的，按購物總額給予九折優惠.設某位顧客一次購物總額為元（假設可取上的一切實數），所享受到的優惠率（即原價與折扣價之差占原價的百分比）記為.（1）試寫出關于的函數關系，并求該函數的最大值；（2）若該顧客這次購物所享受到的優惠超過九折，且不超過八五折，求的取值范圍.解：（1）由題知，即，所以在上遞減，此時，且在上遞減，此時，綜上，該函數的最大值為.（2）由（1）知，則令，解得，所以此時；令，解得，綜上，的取值范圍為.20.已知.（1）作出函數y=fx（2）記，證明函數y=gx是奇函數，并求y=gx（3）若是函數y=fx的圖象上任意一點，點，點，求線段長度的最小值和線段長度的最小值.解：（1）函數，函數y=fx的圖象是由的圖象右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到，則函數y=fx（2）因為，所以，由，則定義域為，關于原點對稱，，所以函數y=gx令，則，則，所以，因為，所以，解得或，即y=gx的值域為.（3）若是函數y=fx的圖象上任意一點，點，點，設Px,y在上，則，令，則，當且僅當，即時，取等號，即線段長度的最小值為2；，則，令，則，令，則，當時，則線段長度求得最小值.21.對于定義在上的函數y=fx，設