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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市嘉定區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、填空題.1.設(shè)全集,集合,集合,則______.【答案】.【解析】由題意有,而,∴.2.已知方程的兩個(gè)根為、,則的值為______.【答案】3【解析】因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根為、,由韋達(dá)定理得,,,所以.3.不等式的解集是______.【答案】【解析】不等式等價(jià)于,即,解得,即原不等式的解集為.4.已知,化簡:______.【答案】【解析】原式.5.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù),所以其定義域?yàn)?6.科學(xué)家以里氏震級(jí)來度量地震的強(qiáng)度,設(shè)為地震時(shí)所散發(fā)出來的相對(duì)能量程度,里氏震級(jí)度量定義為,則7級(jí)地震和6級(jí)地震的相對(duì)能量比值是______.(結(jié)果精確到個(gè)位)【答案】32【解析】設(shè)7級(jí)時(shí)能量為,6級(jí)時(shí)能量為,則,兩式相減得,所以,所以,注意到,所以.7.已知關(guān)于的方程至少有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí),方程為,解得;當(dāng)時(shí),方程至少有一個(gè)實(shí)根,則,解得,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.8.若,則的最小值是______.【答案】2【解析】因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以的最小值是2.9.若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】函數(shù)的圖象過點(diǎn),至少向下平移個(gè)單位才能使圖象不過第二象限,則,即,所以實(shí)數(shù)取值范圍為.10.函數(shù)的零點(diǎn)是______.【答案】6【解析】令,即,則,,解得或(舍去),所以函數(shù)的零點(diǎn)為6.11.已知函數(shù)偶函數(shù),是奇函數(shù),且,則______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx是偶函數(shù),y=g所以f-x=fx因?yàn)棰伲裕储冢瑒t①②兩式相加可得,即.12.已知?jiǎng)t方程的解集是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí),,若,,此方程恒成立,故;若,,因?yàn)椋苑匠淘跁r(shí)無解;當(dāng)時(shí),,,即,解得,所以方程的解集是.二、單項(xiàng)選擇題.13.下列函數(shù)中,與函數(shù)相同的是().A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A,因?yàn)槎x域?yàn)椋c函數(shù),不是相同函數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,定義域?yàn)镽,且,與函數(shù)相同,故B正確;對(duì)于C,函數(shù),,與函數(shù),的定義域不同,不是相同函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,函數(shù),,與函數(shù),的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,不是相同函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:B.14.已知,,則().A. B. C. D.【答案】A【解析】由,則,又,.故選:A.15.若:,:,則是的().A.充分非必要條件 B.必要非充要條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】由可得,且:,所以是的必要非充要條件.故選:B.16.命題:存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足;命題:存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足.關(guān)于這兩個(gè)命題的真假判斷,正確的是().A.、都是真命題 B.、都是假命題C.真命題,是假命題 D.是假命題,是真命題【答案】C【解析】令,其定義域?yàn)镽,對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足,則存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足,即是真命題;假設(shè)存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足,當(dāng)時(shí),,由,則,則,出現(xiàn)矛盾,所以不存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足,即是假命題.故選:C.三、解答題.17.已知集合,集合.(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)因?yàn)椋瑒t,代入,得,即,解得,因?yàn)椋瑒t,所以,所以若,求實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)當(dāng)時(shí),方程的兩個(gè)根為,當(dāng),即時(shí),集合,因?yàn)椋裕獾茫瑒t;當(dāng),即時(shí),集合,滿足;當(dāng),即時(shí),集合,因?yàn)椋裕藭r(shí),綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知.(1)當(dāng)時(shí),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;(2)若在區(qū)間上的最大值比最小值大1,求實(shí)數(shù)的值.解:(1)單調(diào)遞減,證明:當(dāng)時(shí),,設(shè),則,因?yàn)椋覟樵龊瘮?shù),所以,所以,所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以,即;當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,即,綜上,或.19.某商場的購物優(yōu)惠活動(dòng)如下:一次購物總額不滿元的不予優(yōu)惠;一次購物總額滿元,但不滿元的,減元;一次購物總額滿元,不滿元的,減元;一次購物總額滿元的,按購物總額給予九折優(yōu)惠.設(shè)某位顧客一次購物總額為元(假設(shè)可取上的一切實(shí)數(shù)),所享受到的優(yōu)惠率(即原價(jià)與折扣價(jià)之差占原價(jià)的百分比)記為.(1)試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系,并求該函數(shù)的最大值;(2)若該顧客這次購物所享受到的優(yōu)惠超過九折,且不超過八五折,求的取值范圍.解:(1)由題知,即,所以在上遞減,此時(shí),且在上遞減,此時(shí),綜上,該函數(shù)的最大值為.(2)由(1)知,則令,解得,所以此時(shí);令,解得,綜上,的取值范圍為.20.已知.(1)作出函數(shù)y=fx(2)記,證明函數(shù)y=gx是奇函數(shù),并求y=gx(3)若是函數(shù)y=fx的圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),求線段長度的最小值和線段長度的最小值.解:(1)函數(shù),函數(shù)y=fx的圖象是由的圖象右平移一個(gè)單位長度,再向上平移一個(gè)單位長度得到,則函數(shù)y=fx(2)因?yàn)椋裕桑瑒t定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,所以函數(shù)y=gx令,則,則,所以,因?yàn)椋裕獾没颍磞=gx的值域?yàn)?(3)若是函數(shù)y=fx的圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),設(shè)Px,y在上,則,令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào),即線段長度的最小值為2;,則,令,則,令,則,當(dāng)時(shí),則線段長度求得最小值.21.對(duì)于定義在上的函數(shù)y=fx,設(shè)區(qū)間是的一個(gè)子集,對(duì)于區(qū)間上任意給定的兩個(gè)自變量的值、,如果總有,則稱函數(shù)y=fx在區(qū)間上是“舒緩函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)、在上是否是“舒緩函數(shù)”,并說明理由;(2)若函數(shù)在上是“舒緩函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)已知函數(shù)y=fx,的最大值是、最小值是,在上是“舒緩函數(shù)”,且,求證:.解:(1)令,則,故在上是“舒緩函數(shù)”;令,則,取,則h0-h故在上不是“舒緩函數(shù)”.(2)因函數(shù)在上是“舒緩函數(shù)”,則對(duì),,不妨設(shè),則有,,則,則,時(shí),,即.(3)設(shè),不妨設(shè).若,因在上是“舒緩函數(shù)”,則;若,則.綜上,.上海市嘉定區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、填空題.1.設(shè)全集,集合,集合,則______.【答案】.【解析】由題意有,而,∴.2.已知方程的兩個(gè)根為、,則的值為______.【答案】3【解析】因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根為、,由韋達(dá)定理得,,,所以.3.不等式的解集是______.【答案】【解析】不等式等價(jià)于,即,解得,即原不等式的解集為.4.已知,化簡:______.【答案】【解析】原式.5.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù),所以其定義域?yàn)?6.科學(xué)家以里氏震級(jí)來度量地震的強(qiáng)度,設(shè)為地震時(shí)所散發(fā)出來的相對(duì)能量程度,里氏震級(jí)度量定義為,則7級(jí)地震和6級(jí)地震的相對(duì)能量比值是______.(結(jié)果精確到個(gè)位)【答案】32【解析】設(shè)7級(jí)時(shí)能量為,6級(jí)時(shí)能量為,則,兩式相減得,所以,所以,注意到,所以.7.已知關(guān)于的方程至少有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí),方程為,解得;當(dāng)時(shí),方程至少有一個(gè)實(shí)根,則,解得,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.8.若,則的最小值是______.【答案】2【解析】因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以的最小值是2.9.若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】函數(shù)的圖象過點(diǎn),至少向下平移個(gè)單位才能使圖象不過第二象限,則,即,所以實(shí)數(shù)取值范圍為.10.函數(shù)的零點(diǎn)是______.【答案】6【解析】令,即,則,,解得或(舍去),所以函數(shù)的零點(diǎn)為6.11.已知函數(shù)偶函數(shù),是奇函數(shù),且,則______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=fx是偶函數(shù),y=g所以f-x=fx因?yàn)棰伲裕储冢瑒t①②兩式相加可得,即.12.已知?jiǎng)t方程的解集是______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí),,若,,此方程恒成立,故;若,,因?yàn)椋苑匠淘跁r(shí)無解;當(dāng)時(shí),,,即,解得,所以方程的解集是.二、單項(xiàng)選擇題.13.下列函數(shù)中,與函數(shù)相同的是().A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A,因?yàn)槎x域?yàn)椋c函數(shù),不是相同函數(shù),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,定義域?yàn)镽,且,與函數(shù)相同,故B正確;對(duì)于C,函數(shù),,與函數(shù),的定義域不同,不是相同函數(shù),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,函數(shù),,與函數(shù),的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,不是相同函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:B.14.已知,,則().A. B. C. D.【答案】A【解析】由,則,又,.故選:A.15.若:,:,則是的().A.充分非必要條件 B.必要非充要條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】由可得,且:,所以是的必要非充要條件.故選:B.16.命題:存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足;命題:存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足.關(guān)于這兩個(gè)命題的真假判斷,正確的是().A.、都是真命題 B.、都是假命題C.真命題,是假命題 D.是假命題,是真命題【答案】C【解析】令,其定義域?yàn)镽,對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足,則存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足,即是真命題;假設(shè)存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足,當(dāng)時(shí),,由,則,則,出現(xiàn)矛盾,所以不存在定義域?yàn)镽的函數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),滿足,即是假命題.故選:C.三、解答題.17.已知集合,集合.(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)因?yàn)椋瑒t,代入,得,即,解得,因?yàn)椋瑒t,所以,所以若,求實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)當(dāng)時(shí),方程的兩個(gè)根為,當(dāng),即時(shí),集合,因?yàn)椋裕獾茫瑒t;當(dāng),即時(shí),集合,滿足;當(dāng),即時(shí),集合,因?yàn)椋裕藭r(shí),綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知.(1)當(dāng)時(shí),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;(2)若在區(qū)間上的最大值比最小值大1,求實(shí)數(shù)的值.解:(1)單調(diào)遞減,證明:當(dāng)時(shí),,設(shè),則,因?yàn)椋覟樵龊瘮?shù),所以,所以,所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減.(2)當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以,即;當(dāng)時(shí),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,即,綜上,或.19.某商場的購物優(yōu)惠活動(dòng)如下:一次購物總額不滿元的不予優(yōu)惠;一次購物總額滿元,但不滿元的,減元;一次購物總額滿元,不滿元的,減元;一次購物總額滿元的,按購物總額給予九折優(yōu)惠.設(shè)某位顧客一次購物總額為元(假設(shè)可取上的一切實(shí)數(shù)),所享受到的優(yōu)惠率(即原價(jià)與折扣價(jià)之差占原價(jià)的百分比)記為.(1)試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系,并求該函數(shù)的最大值;(2)若該顧客這次購物所享受到的優(yōu)惠超過九折,且不超過八五折,求的取值范圍.解:(1)由題知,即,所以在上遞減,此時(shí),且在上遞減,此時(shí),綜上,該函數(shù)的最大值為.(2)由(1)知,則令,解得,所以此時(shí);令,解得,綜上,的取值范圍為.20.已知.(1)作出函數(shù)y=fx(2)記,證明函數(shù)y=gx是奇函數(shù),并求y=gx(3)若是函數(shù)y=fx的圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),求線段長度的最小值和線段長度的最小值.解:(1)函數(shù),函數(shù)y=fx的圖象是由的圖象右平移一個(gè)單位長度,再向上平移一個(gè)單位長度得到,則函數(shù)y=fx(2)因?yàn)椋裕桑瑒t定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,所以函數(shù)y=gx令,則,則,所以,因?yàn)椋裕獾没颍磞=gx的值域?yàn)?(3)若是函數(shù)y=fx的圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),設(shè)Px,y在上,則,令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取等號(hào),即線段長度的最小值為2;,則,令,則,令,則,當(dāng)時(shí),則線段長度求得最小值.21.對(duì)于定義在上的函數(shù)y=fx,設(shè)
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