高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺市2024-2025學年高一上學期期中學業水平診斷數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】根據特稱命題的否定為全稱命題知：命題“，”的否定為“，”故選：B.3.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，則其定義域為.故選：A.4.下列各組函數中是同一個函數的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】C【解析】A：，定義域相同但對應關系不同，故不是同一個函數；B：的定義域為R，的定義域為，定義域不同，故不是同一個函數；C：，定義域均為R，對應關系也相同，故是同一個函數；D：中，所以定義域為，中，其定義域為，所以定義域不同，故不是同一個函數；故選：C.5.已知，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】因為，所以，當且僅當，即時，取到最小值.故選：D.6.已知函數與在同一坐標系下的大致圖象如圖所示，則函數的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】從題圖的圖象可知，函數的圖象分布在第二、四象限，則，一次函數在上單調遞增，且與軸的交點位于正半軸上，則，，所以，二次函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，且，二次函數的圖象與軸的交點位于正半軸上，D選項中的圖象合乎題意.故選：D.7.已知是定義在上的偶函數，，且對，都有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為對，都有，所以在上單調遞增，又是定義在上的偶函數，所以在上單調遞減，又，所以，則不等式可轉換為，所以或，解得或，則不等式的解集為.故選：B8.若集合的三個子集滿足，則稱為集合的一組“親密子集”.已知集合，則的所有“親密子集”的組數為（）A.9 B.12 C.15 D.18【答案】D【解析】〖祥解〗先確定出的子集，然后根據集合中元素個數分類討論，由此可求結果.【詳析】的所有子集有：；（1）若，為單元素集合，為雙元素集合，符合要求的有：，，，，，，共組；（2）若，為單元素集合，為三元素集合，符合要求的有：，，，共組；（3）若，為雙元素集合，為三元素集合，符合要求的有：，，，共組；（4）若為單元素集合，為雙元素集合，為三元素集合，符合要求的有：，，，，，，共組；綜上所述，滿足要求的“親密子集”一共有組.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知均為實數，下列命題正確有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對于選項A：因為，所以，又，所以，所以選項A正確；對于選項B：因為不一定為正數，例如：，但，所以選項B錯誤；對于選項C：因為，易知，根據不等式性質，可知，所以選項C正確；對于選項D：因為，又，所以，所以，所以，所以選項D正確.故選：ACD.10.已知函數，則（）A.在上單調遞減 B.的值域為C.的圖象關于直線對稱 D.的圖象關于點對稱【答案】BD【解析】根據題意可知，易知將奇函數向右平移1個單位，再向上平移2個單位可得，畫出函數的圖象如下圖所示：可得在和1,+∞上是分別單調遞減的，不能用并集表示，即A錯誤；由圖可知，的值域為，即B正確；的圖象不是軸對稱圖形，可知C錯誤；依據奇函數平移規則可得的圖象關于點對稱，即D正確.故選：BD11.已知函數的定義域為，區間，若存在非零常數，使得對任意，，都有，則稱函數是區間上的“衰減函數”.下列說法正確的有（）A.函數是上的“衰減函數”B.若函數是上的“衰減函數”，則的最大值為1C.已知函數為偶函數，且當時，，若是上的“衰減函數”，則的最大值為D.已知函數為奇函數，且當時，，若是上的“衰減函數”，則的最小值為【答案】ACD【解析】選項A，定義域是，，時，，，即，滿足，A正確；選項B，，是上的“衰減函數”，在上是減函數，在上是增函數，，則，，即，，時，恒成立，而，所以，即的最大值是2，B錯；選項C，是偶函數，當時，f(x)=x-a-a(a>0)，作出的大致圖象，如圖，把它向左平移1個單位得的圖象，是上的“衰減函數”，則在區間上的圖象在圖象的下方，原點必須平移到點左側，因此，解得，的最大值是，C正確；選項D，函數為奇函數，且當時，f(x)=x-a-a(a>0)，作出的大致圖象，如圖，把它向左平移1個單位得的圖象，是上的“衰減函數”，則在區間上的圖象在圖象的下方，原點平移到點，該點不能在左側，圖中點所在上的表達式為，在上表達式為,由得，點橫坐標不大于，因此有，解得，即的最小值是，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數為奇函數，則實數的值為________.【答案】0【解析】由題意可得，即，整理可得，即.故答案為：13.若函數的最小值為，則實數的取值范圍為________.【答案】【解析】當時，關于對稱，若最小值為，可知，即可得；又當時，，當且僅當時等號成立；若最小值為可得，即，解得；綜上可知，實數的取值范圍為.故答案為：14.已知函數在上的最大值為5，則的值為________；令，，若用（且）將區間分成4個小區間，且恒成立，則實數的最小值為________.【答案】①.1②.5【解析】易知關于對稱，且開口向上，所以函數在上的最大值為，解得；依題意可得，記當時，可知；若，即；可得；若，可得當時，可知，；若，可得；若，可得；當時，可知,；若，可得；若，可得；當時，可知,；可得；綜上可得，實數的最小值為5.故答案為：1；5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍.解：（1）由得，，所以.當時，，，所以或.（2）令，得，因為，解得，所以，因為“”是“”的充分不必要條件，所以，所以且等號不同時成立，解得.16.已知函數（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）求函數在區間上的最小值.解：（1）當時，，是單調遞增函數；當時，的對稱軸為，所以在上單調遞增，若函數為上的增函數，只需，解得.（2）當時，函數，對稱軸為，當，即時，函數在上單調遞增，所以；當，即時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以；綜上所述，當時，的最小值為；當時，的最小值為.17.已知某工廠生產一種電子元件，每年需投入固定成本5萬元，當年產量為（單位：萬件）時，需額外投入可變成本（單位：萬元）.根據市場調研，每個元件售價為7元；在年產量不超過8萬件時，；在年產量超過8萬件時，.假設該元件的年銷量等于年產量.（注：年利潤年銷售收入固定成本可變成本）（1）求年利潤關于年產量的函數解析式；（2）當為何值時，年利潤最大？最大年利潤是多少？解：（1）當時，；當時，；所以（2）當時，，當時，單調遞增，當時，單調遞減.所以，；當時，，當且僅當，即時取“”.因為，當該電子元件的年產量為6萬件時，最大年利潤為13萬元.18.若定義在上的函數滿足.（1）求函數的解析式；（2）用定義法證明：在區間上單調遞減；（3）已知函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.利用上述結論，求函數圖象的對稱中心.（注：）（1）解：由，得，聯立消去得：，即，所以函數解析式是.（2）證明：任取且，則由，得，，，，因此，所以函數在區間上單調遞減.（3）設函數圖象的對稱中心為，則函數為奇函數，于是，，而，因此，對任意恒成立，則，且，解得，，所以函數圖象的對稱中心為.19.已知函數的定義域為，且對定義域內任意x，y都有.（1）設，證明：函數為偶函數；（2）若滿足：當時，.（i）求不等式的解集；（ii）若，使得對，都有，求實數的取值范圍.（1）證明：由，得，令，得，所以.令，得，所以令，得，又的定義域關于原點對稱，所以是上的偶函數.（2）解：由（1）知且，，因為，當時，，所以，又，所以，.所以在上單調遞減.（i）因為，所以，即因為為偶函數，在上單調遞減，且，所以，又，解得或.所以，不等式的解集為.（ii）由，得，即，對恒成立，所以.因為在上單調遞減，，所以.所以，使得成立，即成立令，，則或.即，解得或；由，解得或.所以或，即的取值范圍是.山東省煙臺市2024-2025學年高一上學期期中學業水平診斷數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】根據特稱命題的否定為全稱命題知：命題“，”的否定為“，”故選：B.3.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，則其定義域為.故選：A.4.下列各組函數中是同一個函數的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】C【解析】A：，定義域相同但對應關系不同，故不是同一個函數；B：的定義域為R，的定義域為，定義域不同，故不是同一個函數；C：，定義域均為R，對應關系也相同，故是同一個函數；D：中，所以定義域為，中，其定義域為，所以定義域不同，故不是同一個函數；故選：C.5.已知，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】因為，所以，當且僅當，即時，取到最小值.故選：D.6.已知函數與在同一坐標系下的大致圖象如圖所示，則函數的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】從題圖的圖象可知，函數的圖象分布在第二、四象限，則，一次函數在上單調遞增，且與軸的交點位于正半軸上，則，，所以，二次函數的圖象開口向下，對稱軸為直線，且，二次函數的圖象與軸的交點位于正半軸上，D選項中的圖象合乎題意.故選：D.7.已知是定義在上的偶函數，，且對，都有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為對，都有，所以在上單調遞增，又是定義在上的偶函數，所以在上單調遞減，又，所以，則不等式可轉換為，所以或，解得或，則不等式的解集為.故選：B8.若集合的三個子集滿足，則稱為集合的一組“親密子集”.已知集合，則的所有“親密子集”的組數為（）A.9 B.12 C.15 D.18【答案】D【解析】〖祥解〗先確定出的子集，然后根據集合中元素個數分類討論，由此可求結果.【詳析】的所有子集有：；（1）若，為單元素集合，為雙元素集合，符合要求的有：，，，，，，共組；（2）若，為單元素集合，為三元素集合，符合要求的有：，，，共組；（3）若，為雙元素集合，為三元素集合，符合要求的有：，，，共組；（4）若為單元素集合，為雙元素集合，為三元素集合，符合要求的有：，，，，，，共組；綜上所述，滿足要求的“親密子集”一共有組.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知均為實數，下列命題正確有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對于選項A：因為，所以，又，所以，所以選項A正確；對于選項B：因為不一定為正數，例如：，但，所以選項B錯誤；對于選項C：因為，易知，根據不等式性質，可知，所以選項C正確；對于選項D：因為，又，所以，所以，所以，所以選項D正確.故選：ACD.10.已知函數，則（）A.在上單調遞減 B.的值域為C.的圖象關于直線對稱 D.的圖象關于點對稱【答案】BD【解析】根據題意可知，易知將奇函數向右平移1個單位，再向上平移2個單位可得，畫出函數的圖象如下圖所示：可得在和1,+∞上是分別單調遞減的，不能用并集表示，即A錯誤；由圖可知，的值域為，即B正確；的圖象不是軸對稱圖形，可知C錯誤；依據奇函數平移規則可得的圖象關于點對稱，即D正確.故選：BD11.已知函數的定義域為，區間，若存在非零常數，使得對任意，，都有，則稱函數是區間上的“衰減函數”.下列說法正確的有（）A.函數是上的“衰減函數”B.若函數是上的“衰減函數”，則的最大值為1C.已知函數為偶函數，且當時，，若是上的“衰減函數”，則的最大值為D.已知函數為奇函數，且當時，，若是上的“衰減函數”，則的最小值為【答案】ACD【解析】選項A，定義域是，，時，，，即，滿足，A正確；選項B，，是上的“衰減函數”，在上是減函數，在上是增函數，，則，，即，，時，恒成立，而，所以，即的最大值是2，B錯；選項C，是偶函數，當時，f(x)=x-a-a(a>0)，作出的大致圖象，如圖，把它向左平移1個單位得的圖象，是上的“衰減函數”，則在區間上的圖象在圖象的下方，原點必須平移到點左側，因此，解得，的最大值是，C正確；選項D，函數為奇函數，且當時，f(x)=x-a-a(a>0)，作出的大致圖象，如圖，把它向左平移1個單位得的圖象，是上的“衰減函數”，則在區間上的圖象在圖象的下方，原點平移到點，該點不能在左側，圖中點所在上的表達式為，在上表達式為,由得，點橫坐標不大于，因此有，解得，即的最小值是，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數為奇函數，則實數的值為________.【答案】0【解析】由題意可得，即，整理可得，即.故答案為：13.若函數的最小值為，則實數的取值范圍為________.【答案】【解析】當時，關于對稱，若最小值為，可知，即可得；又當時，，當且僅當時等號成立；若最小值為可得，即，解得；綜上可知，實數的取值范圍為.故答案為：14.已知函數在上的最大值為5，則的值為________；令，，若用（且）將區間分成4個小區間，且恒成立，則實數的最小值為________.【答案】①.1②.5【解析】易知關于對稱，且開口向上，所以函數在上的最大值為，解得；依題意可得，記當時，可知；若，即；可得；若，可得當時，可知，；若，可得；若，可得；當時，可知,；若，可得；若，可得；當時，可知,；可得；綜上可得，實數的最小值為5.故答案為：1；5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍.解：（1）由得，，所以.當時，，，所以或.（2）令，得，因為，解得，所以，因為“”是“”的充分不必要條件，所以，所以且等號不同時成立，解得.16.已知函數（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）求函數在區間上的最小值.解：（1）當時，，是單調遞增函數；當時，的對稱軸為，所以在上單調遞增，若函數為上的增函數，只需，解得.（2）當時，函數，對稱軸為，當，即時，函數在上單調遞增，所以；當，即時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以；綜上所述，當時，的最小值為；當時，的最小值為.17.已知某工廠生產一種電子元件，每年需投入固定成本5萬元，當年產量為（單位：萬件）時，需額外投入可變成本（單位：萬元）