高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則集合中所含元素的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因為集合，，所以.故選：D.2.命題“所有的素數都不能被2整除”的否定為（）A.所有的素數都能被2整除 B.所有的合數都不能被2整除C.存在一個素數能被2整除 D.存在一個素數不能被2整除【答案】C【解析】命題“所有的素數都不能被2整除”的否定為：存在一個素數能被2整除.故選：C.3.已知，則（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】因為，所以，則，故.故選：B.4.若扇形的圓心角為，弧長為2，則該扇形的面積為（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】由題意知，扇形的半徑為，所以扇形的面積為.故選：C.5.已知函數則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據題意，當時，，所以“”是“”的充分條件，反之，若，即或，解得或，所以“”是“”的不必要條件，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知集合，則下列是從集合到集合的函數的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于選項A：定義域為，不滿足函數的特性：任意性，故A錯誤；對于選項B：值域為，當取集合A中元素0時，集合B中沒有元素與之對應，不滿足任意性；故選項B錯誤；對于選項C：值域為實數集R，當取集合A中元素為負值時，集合B中沒有元素與之對應，故選項C錯誤；對于選項D：滿足函數的定義，故選項D正確.故選：D.7.已知，若恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以恒成立等價于恒成立，又，當且僅當時取等號，故.故選：A.8.已知函數在上的最小值為2，則在上的（）A.最小值為2B.最大值為C.最小值為6D.最大值為【答案】D【解析】，令，∵，即為奇函數，當時，，∴，∴當時，，∴.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則可以為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對于選項A：，故選項A錯誤；對于選項B：，故選項B正確；對于選項C：，故選項C正確；對于選項D：，故選項D錯誤.故選：BC.10.已知函數，則（）A.是奇函數B.當時，C.，使D.在上單調遞增【答案】ABD【解析】A：的定義域為R，且，所以為奇函數，故A正確；B：當時，，故B正確；C：，又在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞增，在上單調遞減.若，則，由，得，即，這與矛盾，所以不存在，故C錯誤；D：因為為R上的奇函數，所以.由選項C知，在上單調遞增.當時，，所以在上單調遞增，故D正確.故選：ABD.11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】根據題意，，，對于A，，A正確；對于B，，因為，所以等號不成立，即，B錯誤；對于C，由，，，則，由，可得，C正確；對于D，由于，，所以，，則，，且，由于為減函數，所以，由于為增函數，所以，所以，即，則，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點，若這兩點中有且只有一點在冪函數的圖象上，則的解析式可以為______．（寫出一個滿足條件的的解析式即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由點，且這兩點中有且只有一點在冪函數的圖象上，可取冪函數，驗證如下：點不在函數圖象上，點在函數圖象上，且函數為冪函數，滿足題意.（答案不唯一）13.已知為第三象限角，且，則的值為______．【答案】【解析】因為為第三象限角，所以，所以，則，又，所以，解得，又，所以.14.已知函數，用表示中的較小者，記為，若函數的最大值小于1，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】當時，函數的草圖如下圖所示：由圖易知，此時函數的最大值為0，滿足函數的最大值小于1，符合題意.時，函數的草圖如下圖所示：由圖易知，此時函數的最大值小于1，符合題意.當時，函數的草圖如下圖所示：由圖易知，此時函數的最大值等于1，不符合題意.當時，函數的草圖如下圖所示：由圖易知，此時函數的最大值等于1，不符合題意.綜上所述，滿足題意的實數的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）當時，集合，即，，所以，故.（2）若，則，又，，所以或，解得：或，故實數取值范圍為.16.已知函數是定義域為的偶函數，且時，．（1）求的解析式；（2）求不等式的解集．解：（1）由題意知，當時，，所以，又，所以，得的解析式為.（2）當時，，又函數在上單調遞減，所以在上單調遞減，由，得，則，解得，即不等式的解集為.17.已知在平面直角坐標系中，銳角的終邊與單位圓交于點，射線繞點按逆時針方向旋轉角后交單位圓于點，點的縱坐標為．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．解：（1）因為銳角的終邊與單位圓交于點，所以，所以，又，將，代入可得.（2）由三角函數定義得，因為，且，又為銳角，故，所以，即，因為，又，所以，所以.故.18.已知某車厘子收購市場在過去的30天內對車厘子的日收購量（單位：百斤）與第天之間的函數關系為①；②；③這三種函數模型中的一個，且部分數據如下表：（1）請確定的解析式，并說明理由；（2）若第天平均每斤車厘子收購價格為（單位：元），且（，且），記過去30天內第天該市場收購車厘子的資金總額為（單位：百元），求的最小值．解：（1）將表格中數據代入關系①中，得到，此方程無解，舍去；將表格中數據代入關系②中，得到，解得，故方程為，經驗證，也符合上式，故函數解析式為；由表格數據知，函數應該先增后減，不滿足③；綜上所述：.（2）因為，，故，當時，，因為，當且僅當時取等號，所以；當時，，在區間上單調遞減，故，因為，所以19.已知函數在區間上有意義，若存在，且，使成立，則稱為上的“可分函數”，為在上的“可分點”．（1）設，證明：定義域為的奇函數一定是上的“可分函數”；（2）若存在，使為函數在上的“可分點”，求實數的取值范圍；（3）若，判斷函數是否為上的“可分函數”？若是，判斷滿足條件的的個數；若不是，說明理由．解：（1）由函數是上奇函數，得，，，當，且時，，因此函數是區間上的“可分函數”，所以定義域為的奇函數一定是上的“可分函數”.（2）由為函數在上的“可分點”，得，即，則，令，由，得且，于是有不等于1的正根，當時，，解得，此時方程另一根為，不符合題意；當時，，符合題意，因此；當且時，而，則，即，解得或，因此，或，或；當時，，而當時，，且時，，有不等于1的正根，符合題意，因此，所以實數的取值范圍是.（3）令，由，得，當時，函數單調遞減，在上單調遞減，則函數在上單調遞增，又單調遞增，因此在上單調遞增，，則存在唯一，使得，即存在唯一，使，所以函數是上的“可分函數”，且滿足條件的只有1個.山東省聊城市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則集合中所含元素的個數為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因為集合，，所以.故選：D.2.命題“所有的素數都不能被2整除”的否定為（）A.所有的素數都能被2整除 B.所有的合數都不能被2整除C.存在一個素數能被2整除 D.存在一個素數不能被2整除【答案】C【解析】命題“所有的素數都不能被2整除”的否定為：存在一個素數能被2整除.故選：C.3.已知，則（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】因為，所以，則，故.故選：B.4.若扇形的圓心角為，弧長為2，則該扇形的面積為（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】由題意知，扇形的半徑為，所以扇形的面積為.故選：C.5.已知函數則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據題意，當時，，所以“”是“”的充分條件，反之，若，即或，解得或，所以“”是“”的不必要條件，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知集合，則下列是從集合到集合的函數的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于選項A：定義域為，不滿足函數的特性：任意性，故A錯誤；對于選項B：值域為，當取集合A中元素0時，集合B中沒有元素與之對應，不滿足任意性；故選項B錯誤；對于選項C：值域為實數集R，當取集合A中元素為負值時，集合B中沒有元素與之對應，故選項C錯誤；對于選項D：滿足函數的定義，故選項D正確.故選：D.7.已知，若恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以恒成立等價于恒成立，又，當且僅當時取等號，故.故選：A.8.已知函數在上的最小值為2，則在上的（）A.最小值為2B.最大值為C.最小值為6D.最大值為【答案】D【解析】，令，∵，即為奇函數，當時，，∴，∴當時，，∴.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則可以為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對于選項A：，故選項A錯誤；對于選項B：，故選項B正確；對于選項C：，故選項C正確；對于選項D：，故選項D錯誤.故選：BC.10.已知函數，則（）A.是奇函數B.當時，C.，使D.在上單調遞增【答案】ABD【解析】A：的定義域為R，且，所以為奇函數，故A正確；B：當時，，故B正確；C：，又在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上單調遞增，在上單調遞減.若，則，由，得，即，這與矛盾，所以不存在，故C錯誤；D：因為為R上的奇函數，所以.由選項C知，在上單調遞增.當時，，所以在上單調遞增，故D正確.故選：ABD.11.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】根據題意，，，對于A，，A正確；對于B，，因為，所以等號不成立，即，B錯誤；對于C，由，，，則，由，可得，C正確；對于D，由于，，所以，，則，，且，由于為減函數，所以，由于為增函數，所以，所以，即，則，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點，若這兩點中有且只有一點在冪函數的圖象上，則的解析式可以為______．（寫出一個滿足條件的的解析式即可）【答案】（答案不唯一）【解析】由點，且這兩點中有且只有一點在冪函數的圖象上，可取冪函數，驗證如下：點不在函數圖象上，點在函數圖象上，且函數為冪函數，滿足題意.（答案不唯一）13.已知為第三象限角，且，則的值為______．【答案】【解析】因為為第三象限角，所以，所以，則，又，所以，解得，又，所以.14.已知函數，用表示中的較小者，記為，若函數的最大值小于1，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】當時，函數的草圖如下圖所示：由圖易知，此時函數的最大值為0，滿足函數的最大值小于1，符合題意.時，函數的草圖如下圖所示：由圖易知，此時函數的最大值小于1，符合題意.當時，函數的草圖如下圖所示：由圖易知，此時函數的最大值等于1，不符合題意.當時，函數的草圖如下圖所示：由圖易知，此時函數的最大值等于1，不符合題意.綜上所述，滿足題意的實數的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1）當時，集合，即，，所以，故.（2）若，則，又，，所以或，解得：或，故實數取值范圍為.16.已知函數是定義域為的偶函數，且時，．（1）求的解析式；（2）求不等式的解集．解：（1）由題意知，當時，，所以，又，所以，得的解析式為.（2）當時，，又函數在上單調遞減，所以在上單調遞減，由，得，則，解得，即不等式的解集為.17.已知在平面直角坐標系中，銳角的終邊與單位圓交于點，射線繞點按逆時針方向旋轉角后交單位圓于點，點的縱坐標為．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．解：（1）因為銳角的終邊與單位圓交于點，所以，所以，又，將，代入可得.（2）由三角函數定義得，因為，且，又為銳角，故，所以，即，因為，又，所以，所以.故.18.已知某車厘子收購市場在過去的30天內對車厘子的日收購量（單位：百斤）與第天之間的函數關系為①；②；③這三種函數模型中的一個，且部分數據如下表：（1）請確定的解析式，并說明理由；（2）若第天平均每斤車厘子收購價格為（單位：元），且（，且），記過去30天內