2025年北京四中中考數(shù)學三模試卷一、選擇題（共8小題，每題2分）1．（2分）下列中國風傳統(tǒng)圖騰的圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）KN95型口罩能過濾空氣中95%的粒徑約為0.00000025m的非油性顆粒，用科學記數(shù)法表示0.00000025是（）A．25×10﹣8 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣6 D．2.5×10﹣73．（2分）如圖，直線AB，CD交于點O，射線OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，則∠BOM等于（）A．38° B．104° C．142° D．144°4．（2分）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）A．a(chǎn)＞﹣4 B．a(chǎn)b＜0 C．a(chǎn)+c＞0 D．|a|＞|d|5．（2分）若關于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．m＜1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣16．（2分）小明計劃到周口市體驗民俗文化，想從“沈丘回族文獅舞”、“傳統(tǒng)戲劇越調(diào)”、“八音樓子”、“泥塑”四種民俗文化中任意選擇兩項，則小明選擇體驗“八音樓子”、“泥塑”的概率為（）A．13 B．14 C．347．（2分）如圖，尺規(guī)作圖：過直線外一點作已知直線的垂線，已知：如圖1，直線l及外一點A，求作l的垂線，使它經(jīng)過點A，小紅的作法如下：①在直線l上任取一點B，連接AB②以A為圓心，AB長為半徑作弧，交直線l于點D；③分別以B，D為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧相交于點C；④作直線AC，直線AC即為所求如圖2，小紅的做題依據(jù)是（）A．四條邊都相等的四邊形是菱形；菱形的對角線互相垂直 B．直徑所對的圓周角是直角 C．直線外一點到這條直線上垂線段最短 D．同圓或等圓中半徑相等8．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AC、BD交于點O，H為AB延長線上的一點，且BH＝BD，連接DH，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，連接BE，給出下面三個結(jié)論：①BE平分∠CBD；②tanH=2③2AB2＝DE?DH；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題（共8小題，每題2分）9．（2分）如果分式2x+1有意義，那么x的取值范圍是10．（2分）分解因式：x2y﹣y3＝．11．（2分）方程1x-212．（2分）在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=4x的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象沒有交點，寫出滿足條件的一個k值13．（2分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，OE∥CD交BC于點E，連接AE交BD于點F，則BFBD=14．（2分）從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路．為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時情況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：公交車用時公交車用時的頻數(shù)線路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合計A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期間，乘坐（填“A”，“B”或“C”）線路上的公交車，從甲地到乙地“用時不超過45分鐘”的可能性最大．15．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接AC，取AC的中點F，連接OF，已知CD=83，OF＝4，則⊙O的半徑長為16．（2分）車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障．已知第一臺至第五臺修復的時間如表：車床代號ABCDE修復時間（分鐘）83111617若每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟損失10元，修復后即可投入生產(chǎn)．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一臺機床，則下列三個修復車床的順序：①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③C→A→E→B→D中，經(jīng)濟損失最少的是（填序號）；（2）如果由兩名修理工同時修復車床，且每臺機床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟損失為元．三.簡答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）17．（5分）計算：8sin60°+|-18．（5分）解不等式組：5x-5＜x+3x＞19．（5分）已知：a﹣b﹣2＝0，求代數(shù)式(120．（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD相交于點O，E為AB的中點，連接OE，過點E作EF⊥BC于點F，過點O作OG⊥BC于點G．（1）求證：四邊形EFGO是矩形；（2）若四邊形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的長．21．（6分）某校的飲水機有溫水、開水兩個按鈕，溫水和開水共用一個出水口．溫水的溫度為30℃，流速為20ml/s；開水的溫度為100℃，流速為15ml/s．某學生先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯210ml溫度為60℃的水（不計熱損失），求該學生分別接溫水和開水的時間．物理常識開水和溫水混合時會發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為：開水的體積×開水降低的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度．22．（5分）在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（0，2）和B（﹣2，5），與過點（0，﹣1）且平行于x軸的直線交于點C．（1）求該函數(shù)的表達式及點C的坐標；（2）當x＜2時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝﹣x+a的值于小于函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值且大于﹣1，直接寫出a的值．23．（5分）某校開展“天文知識競賽”活動，并從全校學生中抽取了若干學生的競賽成績進行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，總分為100分，共分成五個等級：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：50≤x＜60）．并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖．a(chǎn)．抽取學生成績等級人數(shù)統(tǒng)計表等級ABCDE人數(shù)m91042b．抽取學生成績等級扇形統(tǒng)計圖其中扇形圖中C等級區(qū)域所對應的扇形的圓心角的度數(shù)是120°．c．抽取學生中等級C的成績數(shù)據(jù)從小到大排列：70，71，72，73，74，76，76，77，78，79．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）該抽樣的樣本容量為，抽取學生成績的平均數(shù)x是否一定滿足70≤x＜80（2）全校1200名學生中，A等級的人數(shù)可以估計為；（3）將抽取學生中等級為C的10人按分數(shù)分為兩個天文知識學習小組：75分以上的同學組成甲組，75分以下的同學組成乙組．若從甲乙兩組中分別隨機抽取一人代表小組，他們的分數(shù)之差不低于8分的概率是；若有兩位同學成績均為75分，他們分別加入這兩個小組后甲乙兩小組成績的方差分別記為s12，s22，則s12，s24．（6分）如圖，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，與⊙O相交于點P，OA＝5．C是直線l上一點，連接CP并延長，交⊙O于點B，且AB＝AC．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若tan∠ACB=12，求線段25．（5分）脂肪氧化率（單位：g/min）指單位時間內(nèi)人體通過代謝途徑氧化分解脂肪產(chǎn)生能量的速率，我們通常用它來描述運動產(chǎn)生的效果．脂肪氧化率與運動強度（單位%VO2max）密切相關，如表記錄了不同的運動強度所對應的脂肪氧化率的數(shù)據(jù)：運動強度（%VO2max）455055606570758085脂肪氧化率（g/min）0.010.360.520.590.60m0.500.390.22（1）通過觀察表格數(shù)據(jù)可以看出，若設運動強度為x，脂肪氧化率為y，y是x的函數(shù)．在如下建立的平面直角坐標系，已經(jīng)描出表中部分對應點，補全圖形并畫出函數(shù)圖象：（2）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：①m的值約為（精確到小數(shù)點后兩位）；②當脂肪的氧化率維持在0.4及以上時，運動強度x的范圍約為（精確到整數(shù)位）；③研究發(fā)現(xiàn)，初中生的課間跑操的運動強度與速度之間滿足如下函數(shù)關系：則若要使脂肪的氧化率達到最佳的效果，以提高初中生的耐力、強身健體，則跑步的速度應控制在千米/小時左右（精確到整數(shù)位）．26．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上有兩點（x1，y1），（x2，y2），它的對稱軸為直線x＝t．（1）若該拋物線經(jīng)過點（﹣2，0），求t的值；（2）當1＜x1＜2時，①若t＞2，則y10；（填“＞”“＝”或“＜”）②若對于x1+x2＝2，都有y1y2＜0，求t的值．27．（7分）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D為線段AC上一點．在AB邊上截取BE＝2AD，過點E作EF⊥BD交BC于點F，連接FD．（1）如圖1，若BD平分∠ABC，求證：BF=2（2）如圖2，猜想線段DF，EF，BD之間的數(shù)量關系，并證明．28．（8分）A、B是⊙O上的兩個點，點P在⊙O的內(nèi)部．若∠APB為直角，則稱點P為AB關于⊙O的內(nèi)直點，特別地，當圓心O在∠APB邊（含頂點）上時，稱點P為AB關于⊙O的最佳內(nèi)直點．在平面直角坐標系xOy中．（1）⊙O的半徑為5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上兩點．①已知K1（1，0），K2（0，3），K3（﹣2，1），K4（6，﹣3）中，是AB關于⊙O的內(nèi)直點的是；②若直線y＝k（x+4）﹣1（k＞0）上存在2個AB關于⊙O的內(nèi)直點，直接寫出k的取值范圍．（2）點E是以T（t，0）為圓心，4為半徑的圓上一個動點，⊙T與x軸交于點D（點D在點T的右邊），現(xiàn)有點M（1，0），N（0，n），對于線段MN上每一點H，都存在點T，使點H是DE關于⊙T的最佳內(nèi)直點，請直接寫出n的最大值，以及n取得最大值時t的取值范圍．

2025年北京四中中考數(shù)學三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDCDADAD一、選擇題（共8小題，每題2分）1．（2分）下列中國風傳統(tǒng)圖騰的圖案中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義解答即可．【解答】解：A、找不到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，不符合題意；B、找不到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；C、能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，符合題意；D、不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意，故選：C．【點評】本題考查的是中心對稱圖形的概念，解題的關鍵是掌握中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．2．（2分）KN95型口罩能過濾空氣中95%的粒徑約為0.00000025m的非油性顆粒，用科學記數(shù)法表示0.00000025是（）A．25×10﹣8 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣6 D．2.5×10﹣7【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【解答】解：0.00000025＝2.5×10﹣7．故選：D．【點評】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．3．（2分）如圖，直線AB，CD交于點O，射線OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，則∠BOM等于（）A．38° B．104° C．142° D．144°【分析】由對頂角的定義可得∠BOD＝∠AOC＝76°，根據(jù)鄰補角的定義可得∠BOC＝180°﹣∠BOD的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得∠COM=12∠AOC，由∠BOM＝∠BOC【解答】解：∵∠BOD＝∠AOC＝76°，∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣76°＝104°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=1∴∠BOM＝∠BOC+∠COM＝104°+38°＝142°．故選：C．【點評】本題主要考查了對頂角，鄰補角及角平分線的定義，熟練掌握對頂角，鄰補角及角平分線的定義進行求解是解決本題的關鍵．4．（2分）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）A．a(chǎn)＞﹣4 B．a(chǎn)b＜0 C．a(chǎn)+c＞0 D．|a|＞|d|【分析】觀察數(shù)軸，找出a，b，c，d四個數(shù)的大概范圍，再逐一分析四個選項的正誤，即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸，﹣5＜a＜﹣4，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，d＝4，A．由數(shù)軸可知，a＜﹣4，故此選項不符合題意；B．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，故此選項不符合題意；C．∵﹣5＜a＜﹣4，0＜c＜1，∴|a|＞|c|，∴a+c＜0，故此選項不符合題意；D．∵﹣5＜a＜﹣4，d＝4，∴|a|＞|d|，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，絕對值，實數(shù)的大小比較，數(shù)軸的特征．一般來說，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．觀察數(shù)軸，利用所學知識逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．5．（2分）若關于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．m＜1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【分析】利用一元二次方程根的判別式即可解決問題．【解答】解：由題知，因為關于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ＝22﹣4m＞0，解得m＜1．故選：A．【點評】本題主要考查了根的判別式，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．6．（2分）小明計劃到周口市體驗民俗文化，想從“沈丘回族文獅舞”、“傳統(tǒng)戲劇越調(diào)”、“八音樓子”、“泥塑”四種民俗文化中任意選擇兩項，則小明選擇體驗“八音樓子”、“泥塑”的概率為（）A．13 B．14 C．34【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中小明選擇體驗“八音樓子”、“泥塑”的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把“沈丘回族文獅舞”、“傳統(tǒng)戲劇越調(diào)”、“八音樓子”、“泥塑”四種民俗文化分別記為A、B、C、D，畫樹狀圖人：共有12種等可能的結(jié)果，其中小明選擇體驗“八音樓子”、“泥塑”的結(jié)果有2種，∴小明選擇體驗“八音樓子”、“泥塑”的概率為212故選：D．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．（2分）如圖，尺規(guī)作圖：過直線外一點作已知直線的垂線，已知：如圖1，直線l及外一點A，求作l的垂線，使它經(jīng)過點A，小紅的作法如下：①在直線l上任取一點B，連接AB②以A為圓心，AB長為半徑作弧，交直線l于點D；③分別以B，D為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧相交于點C；④作直線AC，直線AC即為所求如圖2，小紅的做題依據(jù)是（）A．四條邊都相等的四邊形是菱形；菱形的對角線互相垂直 B．直徑所對的圓周角是直角 C．直線外一點到這條直線上垂線段最短 D．同圓或等圓中半徑相等【分析】根據(jù)作法和菱形的判定方法可證明四邊形ABCD為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷AC與BD垂直；也可以利用線段垂直平分線定理的逆定理進行判斷．【解答】解：由作法得AB＝AD＝BC＝DC，則四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD．所以小紅的做題依據(jù)是：四條邊都相等的四邊形是菱形；菱形的對角線互相垂直．故選：A．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，解題的關鍵是熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．8．（2分）如圖，在正方形ABCD中，AC、BD交于點O，H為AB延長線上的一點，且BH＝BD，連接DH，分別交AC，BC于點E，F(xiàn)，連接BE，給出下面三個結(jié)論：①BE平分∠CBD；②tanH=2③2AB2＝DE?DH；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】由tanH=DAAH和正方形的性質(zhì)即可判斷由正方形的性質(zhì)可得AC垂直平分BD，∠CDB＝∠CBD，可得DE＝BE，由角的數(shù)量關系可求∠CBE＝∠DBE，即BE平分∠CBD，由此判斷①正確；通過證明△DEB∽△DBH，可得AC2＝DE?DH，由此判斷③正確．【解答】解：設AB＝BC＝CD＝AD＝a，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD∥AB，BD=2a＝BH∵tanH=DA∴tanH=2-1，故∵BD＝BH，∴∠H＝∠BDH，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠H，∴∠CDE＝∠BDE＝∠H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∠CDB＝∠CBD，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠CDE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠DBE，∴BE平分∠CBD，故①正確；∵∠BDE＝∠BDE，∠EDB＝∠H＝∠DBE，∴△DEB∽△DBH，∴DEDB∴DB2＝DE?DH，∴AC2＝2AB2＝DE?DH，故③正確；故正確的有①②③．故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關鍵．二、填空題（共8小題，每題2分）9．（2分）如果分式2x+1有意義，那么x的取值范圍是x≠﹣1【分析】分式有意義的條件是分母不為0．【解答】解：若分式有意義，則x+1≠0，解得：x≠﹣1．故答案為x≠﹣1．【點評】本題考查的是分式有意義的條件：當分母不為0時，分式有意義．10．（2分）分解因式：x2y﹣y3＝y(tǒng)（x+y）（x﹣y）．【分析】先提取公因式y(tǒng)，再利用平方差公式進行二次分解．【解答】解：x2y﹣y3＝y(tǒng)（x2﹣y2）＝y(tǒng)（x+y）（x﹣y）．故答案為：y（x+y）（x﹣y）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進行二次因式分解是解題的關鍵，分解要徹底．11．（2分）方程1x-2x+3=0【分析】根據(jù)分式方程的解法進行解答即可．【解答】解：兩邊都乘以x（x+3），得x+3﹣2x＝0，解得x＝3，經(jīng)檢驗x＝3是原方程的解，所以原方程的解為x＝3，故答案為：x＝3．【點評】本題考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程的增根的定義是正確解答的關鍵．12．（2分）在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=4x的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象沒有交點，寫出滿足條件的一個k值【分析】根據(jù)反比例函數(shù)解析式可知反比例函數(shù)圖象分布在第一三象限，要是與正比例函數(shù)y＝kx的圖象沒有交點，只有k＜0，據(jù)此解答即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=4∴反比例函數(shù)圖象分布在第一三象限，要是與正比例函數(shù)y＝kx的圖象沒有交點，只有k＜0，不妨取k＝﹣1即可．故答案為：﹣1（答案不唯一）．【點評】本題考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，熟練掌握兩個函數(shù)性質(zhì)是關鍵．13．（2分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，OE∥CD交BC于點E，連接AE交BD于點F，則BFBD=1【分析】設OE＝a，證明OE是△BCD的中位線得CD＝AB＝2OE＝2a，再證明△ABF∽△BOF得BF＝2OF，進而得OB＝BF+OF＝3OF，BD＝2OB＝6OF，由此可得BF/BD的值．【解答】解：設OE＝a，∵四邊形ABCD為矩形，對角線AC、BD交于點O，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，∵OE∥CD，∴OE是△BCD的中位線，∴CD＝AB＝2OE＝2a，∵AB∥CD，OE∥CD，∴AB∥OE，∴△ABF∽△BOF，∴BF：OF＝AB：OE＝2a：a＝2，∴BF＝2OF，∴OB＝BF+OF＝3OF，∴BD＝2OB＝6OF，∴BFBD故答案為：13【點評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關鍵．14．（2分）從甲地到乙地有A，B，C三條不同的公交線路．為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時情況，在每條線路上隨機選取了500個班次的公交車，收集了這些班次的公交車用時（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下：公交車用時公交車用時的頻數(shù)線路30≤t≤3535＜t≤4040＜t≤4545＜t≤50合計A59151166124500B5050122278500C4526516723500早高峰期間，乘坐C（填“A”，“B”或“C”）線路上的公交車，從甲地到乙地“用時不超過45分鐘”的可能性最大．【分析】分別計算出用時不超過45分鐘的可能性大小即可得．【解答】解：∵A線路公交車用時不超過45分鐘的可能性為59+151+166500B線路公交車用時不超過45分鐘的可能性為50+50+122500C線路公交車用時不超過45分鐘的可能性為45+265+167500∴C線路上公交車用時不超過45分鐘的可能性最大，故答案為：C．【點評】本題主要考查可能性的大小，解題的關鍵是掌握頻數(shù)估計概率思想的運用．15．（2分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接AC，取AC的中點F，連接OF，已知CD=83，OF＝4，則⊙O的半徑長為8【分析】連接BC，由垂徑定理得CE=12CD=43，再由中位線的性質(zhì)得【解答】解：如圖，連接BC，∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD=83∴CE=1∵F是AC的中點，O是AB的中點，∴BC＝2OF＝8，∴sinB=CE∴∠B＝60°，則∠A＝30°，∴sinA=BC∴AB=BC∴⊙O的半徑長為162故答案為：8．【點評】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)、解直角三角形，垂徑定理及勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題關鍵．16．（2分）車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障．已知第一臺至第五臺修復的時間如表：車床代號ABCDE修復時間（分鐘）83111617若每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟損失10元，修復后即可投入生產(chǎn)．（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一臺機床，則下列三個修復車床的順序：①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③C→A→E→B→D中，經(jīng)濟損失最少的是②（填序號）；（2）如果由兩名修理工同時修復車床，且每臺機床只由一名修理工修理，則最少經(jīng)濟損失為1040元．【分析】（1）要使經(jīng)濟損失最少，就要使總停產(chǎn)的時間最短即可，所以先修復時間短的；（2）因為要先修理時間短的，時間長放在最后，所以兩名修理工最后修理的是17分鐘和31分鐘的，最先修理的是6分鐘和8分鐘的．【解答】（1）要使經(jīng)濟損失最少，就要使總停產(chǎn)的時間最短即可，顯然先修復時間短，讓機器盡快恢復運轉(zhuǎn)，所以按照6、8、11、17、31分鐘順序修復，即按照D→A→C→E→B的順序，故選：②；（2）一名修理工修理6分鐘、11分鐘和17分鐘共需34分鐘，另一名修理工修理8分鐘和31分鐘共需39分鐘，五臺機器總停產(chǎn)時間為：（6×3+11×2+17×1）+（8×2+31×1）＝104（分鐘），104×10＝1040（元）．故答案為：1040．【點評】本題考查了推理與論證，主要結(jié)合有理數(shù)的混合運算，找出方案是解題的關鍵．三.簡答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）17．（5分）計算：8sin60°+|-【分析】先化簡絕對值，負整數(shù)指數(shù)冪，零次冪，特殊角的三角函數(shù)值，然后再算乘法，最后算加減法．【解答】解：8sin60°+|-=8×3=43=73【點評】本題主要考查了實數(shù)的混合運算，掌握運算法則是解題的關鍵．18．（5分）解不等式組：5x-5＜x+3x＞【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．【解答】解：5x-5＜x+3①x＞由①得：x＜2，由②得：x＞﹣1，則不等式組的解集為﹣1＜x＜2．【點評】此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關鍵．19．（5分）已知：a﹣b﹣2＝0，求代數(shù)式(1【分析】先去括號，再合并同類項，得出化簡的結(jié)果，再整體代入求值．【解答】解：(=[a-b=a+b=a-b∵a﹣b﹣2＝0，∴a﹣b＝2，則原式=2【點評】本題考查整式的化簡求值，解題的關鍵是掌握整式的加減運算法則和整體代入的思想．20．（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC、BD相交于點O，E為AB的中點，連接OE，過點E作EF⊥BC于點F，過點O作OG⊥BC于點G．（1）求證：四邊形EFGO是矩形；（2）若四邊形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的長．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，進而證明OE是△ABC的中位線，得OE∥BC，再證明四邊形EFGO是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝OD=12BD＝8，AC⊥BD，進而由勾股定理得OC＝6，再由矩形的性質(zhì)得∠OGF＝90°，則OG⊥BC，然后由三角形面積求出【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∵E為AB的中點，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥BC，∵EF⊥BC，OG⊥BC，∴EF∥OG，∠EFG＝90°，∴四邊形EFGO是平行四邊形，又∵∠EFG＝90°，∴平行四邊形EFGO是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，BD＝16，∴BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝OD=12BD＝8，AC⊥∴∠BOC＝90°，∴OC=B由（1）可知，四邊形EFGO是矩形，∴∠OGF＝90°，∴OG⊥BC，∴S△OBC=12BC?OG=12∴OG=OB?OC即OG的長為4.8．【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．21．（6分）某校的飲水機有溫水、開水兩個按鈕，溫水和開水共用一個出水口．溫水的溫度為30℃，流速為20ml/s；開水的溫度為100℃，流速為15ml/s．某學生先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯210ml溫度為60℃的水（不計熱損失），求該學生分別接溫水和開水的時間．物理常識開水和溫水混合時會發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為：開水的體積×開水降低的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度．【分析】設該學生接溫水的時間為xs，接開水的時間為ys，根據(jù)“該學生先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯210ml溫度為60℃的水（不計熱損失）”，可列出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設該學生接溫水的時間為xs，接開水的時間為ys，根據(jù)題意得：20x+15y=210(100-60)×15y=(60-30)×20x解得：x=6y=6答：該學生接溫水的時間為6s，接開水的時間為6s．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．22．（5分）在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（0，2）和B（﹣2，5），與過點（0，﹣1）且平行于x軸的直線交于點C．（1）求該函數(shù)的表達式及點C的坐標；（2）當x＜2時，對于x的每一個值，函數(shù)y＝﹣x+a的值于小于函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值且大于﹣1，直接寫出a的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點C的縱坐標為﹣1，代入函數(shù)解析式求出點C的橫坐標即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象得出當y＝﹣x+a過點（2，﹣1）時滿足題意，代入（2，﹣1）求出a的值即可．【解答】解：（1）把點A（0，2）和B（﹣2，5）代入y＝kx+b（k≠0）得：b=2-2k+b=5解得k=-3∴該函數(shù)的解析式為y=-32由題意知點C的縱坐標為﹣1，當y=-32解得：x＝2，∴C（2，﹣1）；（2）由（1）知：當x＝2時，y=-32因為當x＜2時，y＝﹣x+a的值于小于函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的值且大于﹣1，所以當y＝﹣x+a過點（2，﹣1）時滿足題意，∴﹣1＝﹣2+a，解得：a＝1．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應用，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用是解題的關鍵．23．（5分）某校開展“天文知識競賽”活動，并從全校學生中抽取了若干學生的競賽成績進行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，總分為100分，共分成五個等級：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：50≤x＜60）．并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖．a(chǎn)．抽取學生成績等級人數(shù)統(tǒng)計表等級ABCDE人數(shù)m91042b．抽取學生成績等級扇形統(tǒng)計圖其中扇形圖中C等級區(qū)域所對應的扇形的圓心角的度數(shù)是120°．c．抽取學生中等級C的成績數(shù)據(jù)從小到大排列：70，71，72，73，74，76，76，77，78，79．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）該抽樣的樣本容量為30，抽取學生成績的平均數(shù)x是否一定滿足70≤x＜80（2）全校1200名學生中，A等級的人數(shù)可以估計為200名；（3）將抽取學生中等級為C的10人按分數(shù)分為兩個天文知識學習小組：75分以上的同學組成甲組，75分以下的同學組成乙組．若從甲乙兩組中分別隨機抽取一人代表小組，他們的分數(shù)之差不低于8分的概率是3512；若有兩位同學成績均為75分，他們分別加入這兩個小組后甲乙兩小組成績的方差分別記為s12，s22，則s12，【分析】（1）由C組頻數(shù)及其圓心角所占比例可得樣本容量，再根據(jù)加權平均數(shù)求解即可；（2）總?cè)藬?shù)乘以樣本中A等級人數(shù)所占比例即可；（3）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可；依據(jù)方差的定義計算即可．【解答】解：（1）該抽樣的樣本容量為10÷120°360°=30，抽取學生成績的平均數(shù)x所以抽取學生成績的平均數(shù)x7可能位于0≤x故答案為：30、否；（2）全校1200名學生中，A等級的人數(shù)可以估計為1200×5故答案為：200名；（3）列表如下：707172737476654327665432777654378876547998765由表知，共有25種等可能結(jié)果，其中他們的分數(shù)之差不低于8分的只有3種結(jié)果，所以他們的分數(shù)之差不低于8分的概率為325甲組數(shù)據(jù)為70、71、72、73、74、75，其平均數(shù)為16方差s12=16×[（70﹣72.5）2+（71﹣72.5）2+（72﹣72.5）2+（73﹣72.5）2+（74﹣72.5）乙組數(shù)據(jù)為75、76、76、77、78、79，其平均數(shù)為16×（75+76+76+77+78+79）方差s22=16×[（75-4616）2+2×（76-4616）2+（77-4616）∵3512∴s1故答案為：120【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖、加權平均數(shù)、用樣本估計總體，能夠讀懂統(tǒng)計圖，掌握用樣本估計總體是解答本題的關鍵．24．（6分）如圖，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，與⊙O相交于點P，OA＝5．C是直線l上一點，連接CP并延長，交⊙O于點B，且AB＝AC．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若tan∠ACB=12，求線段【分析】（1）連接OB，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACB＝∠ABC，∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，由余角的性質(zhì)可求∠ABO＝90°，可得結(jié)論；（2）過點O作OD⊥BP于D，設AP＝x，AC＝2x，由勾股定理可求AP＝2，AC＝4，由勾股定理可求CP的長，通過證明△ACP∽△DOP，可求PD的長，由等腰三角形的性質(zhì)可求BP的長．【解答】證明：（1）連接OB，則OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵OA⊥l，∴∠OAC＝90°，∴∠ACB+∠CPA＝90°，∴∠ABP+∠OBP＝90°，∴∠ABO＝90°，∴OB⊥AB，∴AB是⊙O的切線；（2）如圖，過點O作OD⊥BP于D，∵tan∠ACB=AP∴設AP＝x，AC＝2x，∴AB＝2x，OP＝OB＝5﹣x，∵AO2＝OB2+AB2，∴25＝（5﹣x）2+4x2，∴x＝2，∴AP＝2，AC＝4∴OB＝OP＝3，∴CP=AC2∵∠CAP＝∠ODP＝90°，∠APC＝∠OPD，∴△ACP∽△DOP，∴PDPA∴PD=OP?PA∵OB＝OP，OD⊥BP，∴BP＝2PD=6【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關知識，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造相似三角形是本題關鍵．25．（5分）脂肪氧化率（單位：g/min）指單位時間內(nèi)人體通過代謝途徑氧化分解脂肪產(chǎn)生能量的速率，我們通常用它來描述運動產(chǎn)生的效果．脂肪氧化率與運動強度（單位%VO2max）密切相關，如表記錄了不同的運動強度所對應的脂肪氧化率的數(shù)據(jù)：運動強度（%VO2max）455055606570758085脂肪氧化率（g/min）0.010.360.520.590.60m0.500.390.22（1）通過觀察表格數(shù)據(jù)可以看出，若設運動強度為x，脂肪氧化率為y，y是x的函數(shù)．在如下建立的平面直角坐標系，已經(jīng)描出表中部分對應點，補全圖形并畫出函數(shù)圖象：（2）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：①m的值約為0.56（精確到小數(shù)點后兩位）；②當脂肪的氧化率維持在0.4及以上時，運動強度x的范圍約為52＜x＜78（精確到整數(shù)位）；③研究發(fā)現(xiàn)，初中生的課間跑操的運動強度與速度之間滿足如下函數(shù)關系：則若要使脂肪的氧化率達到最佳的效果，以提高初中生的耐力、強身健體，則跑步的速度應控制在8千米/小時左右（精確到整數(shù)位）．【分析】（1）先逐個描點，再依次連接，即可作答；（2）①根據(jù)（1）的圖象，以及結(jié)合“精確到小數(shù)點后兩位”這個要求，即可作答；②根據(jù)（1）的圖象，以及結(jié)合“精確到整數(shù)位”這個要求，即可作答；③先找出要使脂肪的氧化率達到最佳的效果，即脂肪的氧化率為0.60，此時對應的運動強度為65，則運動強度為65所對的運動速度為8千米/小時左右，即可作答．【解答】解：（1）如圖所示：（2）結(jié)合函數(shù)圖象，①m的值約為0.56，故答案為：0.56；②當脂肪的氧化率維持在0.4及以上時，運動強度x的范圍約為52＜x＜78（精確到整數(shù)位），故答案為：52＜x＜78；③研究發(fā)現(xiàn)，初中生的課間跑操的運動強度與速度之間滿足如下函數(shù)關系：則若要使脂肪的氧化率達到最佳的效果，即脂肪的氧化率為0.60，此時對應的運動強度為65，則觀察上表，運動強度為65所對的運動速度為8千米/小時左右，即跑步的速度應控制在8千米/小時左右．故答案為：8．【點評】本題主要考查了函數(shù)圖象，新定義，近似數(shù)，描點法畫函數(shù)圖象，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．26．（5分）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）上有兩點（x1，y1），（x2，y2），它的對稱軸為直線x＝t．（1）若該拋物線經(jīng)過點（﹣2，0），求t的值；（2）當1＜x1＜2時，①若t＞2，則y1＜0；（填“＞”“＝”或“＜”）②若對于x1+x2＝2，都有y1y2＜0，求t的值．【分析】（1）把點（﹣2，0）代入解析式求得b＝2a，然后利用對稱軸公式即可求得t的值；（2）①根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可得到y(tǒng)1＜0；②由題意可知點（x1，y1），（x2，y2）在x軸的同一側(cè)，根據(jù)1＜x1＜2，0＜x2＜1，畫出圖象即可得到2t＝1，從而可得答案．【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點（﹣2，0），∴0＝4a﹣2b，∴b＝2a，∴t=-b（2）∵a＞0，∴拋物線y＝ax2+bx（a＞0）開口向上，∵x＝0時，y＝0，∴拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過原點，①∵1＜x1＜2，t＞2，∴y1＜0，故答案為：＜；②當x＝0時，y＝0，∵對稱軸直線為x＝t，∴拋物線過（0，0）和（2t，0），∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵x1+x2＝2，∴x1＝2﹣x2，∵1＜x1＜2，∴1＜2﹣x2＜2，∴0＜x2＜1，當t＜0時，如圖：此時（x1，y1），（x2，y2）都在x軸上方，不滿足y1y2＜0；當t＞0時，如圖：∵y1y2＜0恒成立，∴y2＜0，y1＞0，∴2t＝1，解得t=1【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．27．（7分）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D為線段AC上一點．在AB邊上截取BE＝2AD，過點E作EF⊥BD交BC于點F，連接FD．（1）如圖1，若BD平分∠ABC，求證：BF=2（2）如圖2，猜想線段DF，EF，BD之間的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）過點D作DM⊥BC于M，設EF，AD交于O，由角平分線的性質(zhì)可得DM＝AD，設AD＝DM＝a，則BE＝2AD＝2a，證明△DMC是等腰直角三角形，得到CM＝DM＝a，則CD=DM2+CM2=2a，再證明△BOE≌△BOF（ASA（2）作正方形ABHC，取BE中點G，連接HG交BD于T，延長EF交CH于M，可證明△BGH≌△ADB（SAS），得到GH＝BD，∠ABD＝∠BHG，則可證明GH⊥BD，得到GH∥EM，進而證明四邊形GHME是平行四邊形，得到BD＝GH＝EM，HM=EG=12BE=AD，證明△DCF≌△MCF（SAS），得到DF＝MF，則可證明BD＝EF【解答】（1）證明：如圖，過點D作DM⊥BC于M，設EF，AD交于O，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DM⊥BC，∴DM＝AD，∠EBO＝∠FBO，設AD＝DM＝a，則BE＝2AD＝2a，∵∠A＝90°，AC＝AB，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴△DMC是等腰直角三角形，∴CM＝DM＝a，∴CD=D∵EF⊥BD，∠BOE＝∠BOF＝90°，又∵OB＝OB，∴△BOE≌△BOF（ASA），∴BF＝BE＝2a，∴BF=2（2）解：BD＝EF+DF，證明如下：如圖，作正方形ABHC，取BE中點G，連接HG交BD于T，延長EF交CH于M，由正方形的性質(zhì)可得AB＝BH，∠A＝∠ABH＝90°，AB∥CH，∵G是BE中點，BE＝2AD，∴BG＝AD，∴△BGH≌△ADB（SAS），∴GH＝BD，∠ABD＝∠BHG，∵∠BHG+∠BGH＝90°，∴∠ABD+∠BGH＝90°，∴∠BTG＝90°，∴GH⊥BD，∵EF⊥BD，∴GH∥EM，又∵AB∥CH，∴四邊形GHME是平行四邊形，∴BD＝GH＝EM，HM=EG=1∴AC﹣AD＝CH﹣HM，即CD＝CM，∵CF＝CF，∠DCF＝∠MCF＝45°，∴△DCF≌△MCF（SAS），∴DF＝MF，∵EM＝EF+MF，∴BD＝EF+DF．【