求極限lim的題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.不存在D.∞2.$\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=$（）A.0B.$\frac{3}{2}$C.1D.∞3.若$\lim_{x\toa}f(x)=A$，則$f(a)$（）A.等于AB.不等于AC.不一定有定義D.以上都不對4.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=$（）A.eB.1C.0D.∞5.當$x\to0$時，$x^2$是比$x$（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小6.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在7.若$\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=A$，則$\lim_{x\to\infty}f(x)$（）A.等于AB.不等于AC.不存在D.以上都不對8.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.eD.∞9.當$x\to\infty$時，$\frac{1}{x}$是（）A.無窮大量B.無窮小量C.有界變量D.無界變量10.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=$（）A.0B.1C.2D.不存在二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限存在的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to0}\sinx$C.$\lim_{x\to\infty}\cosx$D.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}$2.當$x\to0$時，與$x$等價無窮小的有（）A.$\sinx$B.$\tanx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$3.極限運算的法則有（）A.$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)+\lim_{x\toa}g(x)$B.$\lim_{x\toa}[f(x)g(x)]=\lim_{x\toa}f(x)\cdot\lim_{x\toa}g(x)$C.$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\toa}f(x)}{\lim_{x\toa}g(x)}(\lim_{x\toa}g(x)\neq0)$D.$\lim_{x\toa}kf(x)=k\lim_{x\toa}f(x)$（$k$為常數）4.下列說法正確的是（）A.無窮小量乘以有界變量還是無窮小量B.無窮大量乘以無窮大量是無窮大量C.無窮小量與無窮大量互為倒數D.兩個無窮小量的和還是無窮小量5.求極限的方法有（）A.直接代入法B.約去零因子法C.等價無窮小替換法D.洛必達法則6.當$x\to\infty$時，以下極限為0的有（）A.$\frac{1}{x^3}$B.$\frac{\sinx}{x}$C.$\frac{1}{x+1}$D.$\frac{x}{x^2+1}$7.下列極限值為1的是（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$D.$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$8.極限$\lim_{x\toa}f(x)$存在的充要條件是（）A.$\lim_{x\toa^+}f(x)$存在B.$\lim_{x\toa^-}f(x)$存在C.$\lim_{x\toa^+}f(x)=\lim_{x\toa^-}f(x)$D.$f(a)$有定義9.當$x\to0$時，下列哪些是無窮小量（）A.$x^2$B.$1-\cosx$C.$x\sin\frac{1}{x}$D.$\frac{1}{x}$10.關于極限$\lim_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$（$P_n(x)$是$n$次多項式，$Q_m(x)$是$m$次多項式），說法正確的是（）A.當$n\ltm$時，極限為0B.當$n=m$時，極限為最高次項系數之比C.當$n\gtm$時，極限為∞D.以上情況都有可能三、判斷題（每題2分，共10題）1.無窮小量就是0。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，$\lim_{x\toa}g(x)$不存在，則$\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]$不存在。（）3.當$x\to0$時，$x^3$是比$x^2$高階的無窮小。（）4.$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{2x}=e$。（）5.函數在某點有極限則在該點一定連續。（）6.無窮大量與無窮大量的和還是無窮大量。（）7.若$\lim_{x\toa}f(x)=0$，$\lim_{x\toa}g(x)=0$，則$\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}$一定存在。（）8.當$x\to0$時，$\sinx$與$x$是等價無窮小。（）9.極限$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$不存在。（）10.用等價無窮小替換求極限時，可以在加減法中隨意替換。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述等價無窮小替換的條件。答案：在求極限的乘除運算中，當自變量趨于某值時，函數中的無窮小量可用其等價無窮小替換。但在加減法運算中，一般不能隨意替換，只有在替換后不改變原式極限值時才可使用。2.求極限$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$時如何運用等價無窮小替換？答案：當$x\to0$時，$\sin3x$與$3x$是等價無窮小。所以$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}=3$。3.說明直接代入法求極限的適用情況。答案：當函數在自變量趨近的值處有定義，且函數在該點連續時，可將自變量趨近的值直接代入函數表達式求極限。例如對于多項式函數求極限，大多可直接代入。4.簡述洛必達法則使用的前提條件。答案：適用于$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式。即求極限時，分子分母同時趨于0或者同時趨于無窮大，且在某去心鄰域內分子分母都可導，分母導數不為0。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等價無窮小在不同類型極限運算中的應用及注意事項。答案：在乘除極限運算中，等價無窮小替換可簡化計算。但在加減法中要謹慎，需保證替換后不影響極限值。比如$\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}$，若在加減法中隨意用等價無窮小替換會出錯，需用泰勒展開等其他方法求解。2.探討無窮小量與無窮大量之間的關系，并舉例說明。答案：在自變量的同一變化過程中，若$f(x)$為無窮大量，則$\frac{1}{f(x)}$為無窮小量；反之，若$f(x)$為無窮小量（$f(x)\neq0$），則$\frac{1}{f(x)}$為無窮大量。例如當$x\to0$時，$x$是無窮小量，$\frac{1}{x}$是無窮大量。3.結合具體例子說明求極限的多種方法如何綜合運用。答案：如求$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$，可先約去零因子，得到$\lim_{x\to1}(x+1)$，再直接代入$x=1$得極限為2。又如$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x(1+x)}$，先利用等價無窮小$\sinx\simx$（$x\to0$），再直接代入計算得極限為1。4.討論極限在實際數學問題和其他學科領域中的應用。答案：在數學中，極限用于定義導數、定積分等概念。在物理中，可求瞬時速度、加速度等；在經濟領域，可用于分析邊際成本、邊際收益等。例如求物體運動的瞬時速度，就是通過位移函數的極限來確定。答案一、單項選擇題1.B