第1講：函數的基本性質（單調性、最值和奇偶性）高頻考點突破【考點梳理】考點一：函數的有關概念函數的定義設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數函數的記法y＝f(x)，x∈A定義域x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域值域函數值的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx|x∈A))叫做函數的值域考點二：函數的單調性增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的考點三．函數的最值前提設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值考點四．函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數關于y軸對稱奇函數一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數關于原點對稱【題型歸納】題型一：函數的定義域1．（2022秋·安徽合肥·高一?？计谀┖瘮档亩x域為（

）A．(0,1] B．(0,+∞) C．(1,+∞) D．[1,+∞)【答案】D【分析】根據函數的解析式有意義列出不等式組求解即可.【詳解】要使函數有意義，則，解得，即函數的定義域為.故選：D2．（2023秋·遼寧沈陽·高一統考期末）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據復合函數定義域之間的關系進行求解即可.【詳解】∵函數的定義域為，即，可得，∴函數的定義域為，令，解得，故函數的定義域為.故選：B.3．（2022秋·山東淄博·高一統考期末）函數的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據被開方數不小于零，對數的真數部分大于零列不等式組求解.【詳解】由已知得，解得.所以函數的定義域為.故選：D.題型二：復雜（根式、分式）函數的值域4．（2023秋·山東德州·高一統考期末）函數的值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求出的值域，結合指數函數的性質，即可求出函數的值域.【詳解】令，由，則，所以，所以，又，所以函數的值域為.故選：B5．（2023秋·湖北襄陽·高一統考期末）下列函數中，值域為的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數的定義域、冪函數的性質、以及基本不等式可直接求得選項中各函數的值域進行判斷即可.【詳解】由已知值域為，故A錯誤；時，等號成立，所以的值域是，B錯誤；因為定義域為，，函數值域為，故C正確；，，，所以，故D錯誤.故選：C.6．（2023秋·湖北·高一湖北省黃梅縣第一中學校聯考期末）已知函數的值域為的值域為，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】分別利用和的取值范圍求出參數和，即可求出的值【詳解】在函數中，值域為∴函數的值域為，∴，解得：在中，值域為∴在中，值域為，∵，∴，解得：∴，故選：C題型三：求解析式三大方法7．（2023秋·河北唐山·高一統考期末）已知函數滿足，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】分別令，，然后解方程組可得.【詳解】分別令，，則，解得.故選：A8．（2023秋·遼寧·高一遼河油田第二高級中學?？计谀┮阎魏瘮?，，且.(1)求函數的解析式；(2)求函數在區間上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）函數圖象與軸交點確定值，函數和函數相等，對應系數相等確定、值.（2）根據區間上的單調性求出最值，即可得到區間上的值域.【詳解】（1）解：因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，即．（2）解：因為，所以是開口向上，對稱軸為的拋物線．因為在遞減，在遞增，所以，因為，，所以，所以在上的值域為．9．（2023秋·吉林松原·高一校考期末）已知函數.(1)求函數的解析式；(2)判斷的奇偶性；【答案】(1)(2)為奇函數，證明見解析【分析】（1）利用換元法，可得函數的表達式；（2）根據奇函數定義判斷可得答案．【詳解】（1）令，則，因為，所以，所以，由得，且，所以；（2）因為，定義域關于原點對稱，，所以為奇函數.題型四：分段函數10．（2023秋·甘肅白銀·高一統考期末）已知函數，則（

）A． B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根據的范圍代入分段函數的解析式利用對數運算求值.【詳解】因為，所以，故選：A11．（2023秋·廣西河池·高一統考期末）已知函數,若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出的圖象，得到，問題轉化為，換元后進行求解，得到答案.【詳解】作出的圖象，如圖所示：

由，可得，則，令，則，故．故選：D．12．（2022秋·江西撫州·高一統考期末）已知函數，則不等式的解集為（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】根據已知得出函數在定義域上單調遞減，即可根據單調性解不等式得出答案.【詳解】函數中，在上單調遞減，在上單調遞減，且，則函數在定義域上單調遞減，，，解得：，即不等式的解集為.故選：D.題型五：根據函數的單調性求參數范圍13．（2022秋·四川廣安·高一統考期末）已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數單調性即可求出實數a的取值范圍.【詳解】由題意，，在中，函數單調遞增，∴，解得：，故選：C.14．（2022·全國·高一期末）已知函數，若對任意的，且恒成立，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】不妨設，令，由題分析可得函數在上單調遞減，討論和時，要使在上單調遞減時需要滿足的條件，即可求出答案.【詳解】不妨設，則，根據題意，可得恒成立，即恒成立.令，則恒成立，所以函數在上單調遞減.當時，在上單調遞減，符合題意；當時，要使在上單調遞減，則解得.綜上所述，實數a的取值范圍是.故選：D.15．（2022秋·陜西西安·高一長安一中?？计谀┮阎瘮凳巧系脑龊瘮担瑒t實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據分段函數是上的增函數，則每一段都為增函數，且右側的函數值不小于左側的函數值求解.【詳解】函數是上的增函數，所以，解得，所以實數的取值范圍是故選：A.題型六：函數不等式恒成立問題16．（2022秋·江西景德鎮·高一景德鎮一中?？计谀┮阎坏仁綄θ我馍虾愠闪ⅲ瑒t實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形給定的不等式，構造函數，結合指數函數的單調性及基本不等式求解作答.【詳解】，，令，，當且僅當，即時取等號，因此當時，取得最小值4，則，所以實數m的取值范圍是.故選：C17．（2023秋·遼寧本溪·高一?？计谀┤舨坏仁剑?，且）在內恒成立，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析出時，不成立，當時，畫出，的圖象，數形結合得到實數a的取值范圍.【詳解】若，此時，，而，故無解；若，此時，，而，令，，畫出兩函數圖象，如下：故要想在內恒成立，則要，解得：.故選：B.18．（2019秋·山西長治·高一山西省長治市第二中學校?？计谀┒x在上的函數滿足，且當時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可知，當時，為減函數，再由偶函數的性質將，可化為，進而可得，化簡得，從而得，可求出的范圍，從而可得其最大值【詳解】因為在上的函數滿足，所以為偶函數，因為當時，，所以在上為減函數，因為，為偶函數，所以，所以，兩邊平方化簡得，，因為對任意的，不等式恒成立，所以，解得，所以實數的最大值為，故選：C【點睛】關鍵點點睛：此題考查偶函數性質的應用，解題的關鍵是利用偶函數的性質將對任意的，不等式恒成立，轉化為，從而可得結果.題型七：利用奇偶性求函數的解析式19．（2022秋·上海閔行·高一?？计谀┰O函數是R上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，結合函數的奇偶性分析可得函數的解析式，結合不等式和二次函數的性質以及函數圖象的遞減區間，分析可得答案.【詳解】根據題意，設，則，所以，因為是定義在上的奇函數，所以，所以，即時，，此時函數在上單調遞減，在單調遞增；當時，，此時函數在上單調遞增，在單調遞減；所以函數在上單調遞減，若，即，又由，且，必有時，，解得：，所以不等式的解集為.故選：.【點睛】方法點睛：本題考查利用函數單調性和奇偶性求解函數不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調性的作用如下：（1）奇偶性：統一不等式兩側符號，同時根據奇偶函數的對稱性確定對稱區間的單調性；（2）單調性：將函數值的大小關系轉化為自變量之間的大小關系.20．（2022秋·浙江紹興·高一統考期末）若分別為定義在上的奇函數和偶函數，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】由奇偶性的定義求得與的表達式，然后求函數值．【詳解】（1），則，又分別為定義在上的奇函數和偶函數，∴（2），（1）（2）兩式相加除以2得，相減除以2得，∴，，∴，故選：D．21．（2023秋·河南許昌·高一校考期末）已知函數是奇函數，是偶函數，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數的奇偶性可得出關于、的等式組，由此可解得函數的解析式.【詳解】因為是奇函數，是偶函數，所以，．所以，，即，因此，.故選：D.題型八：抽象函數的奇偶性問題22．（2022秋·重慶合川·高一重慶市合川中學?？计谀┒x在R上的函數f（x）滿足，當時，，則f（x）滿足（

）A．B．是偶函數C．f（x）在[m，n]上有最大值f（m）D．0的解集為【答案】C【分析】先對賦值計算得，再根據定義判斷為奇函數，結合當時，判斷單調遞減，逐一結合選項判斷正誤即可.【詳解】令，則，得，令，則，故為R上的奇函數，故B錯誤；任取，則，則，，故函數f（x）在R上單調遞減，則，故A錯誤；故f（x）在[m，n]單調遞減，有最大值f（m），故C正確；，又函數f（x）在R上單調遞減，故，得，故D錯誤.故選：C.23．（2022秋·浙江紹興·高一統考期末）已知函數，，，有，其中，，則下列說法一定正確的是（

）A． B．是奇函數C．是偶函數 D．存在非負實數T，使得【答案】D【分析】利用特殊函數可判斷ABC的正確，利用賦值法可證明為周期函數，從而可得正確的選項.【詳解】取，則，，因此成立，此時，，故為偶函數，故A錯誤，B錯誤.取，則，，因此成立，此時為奇函數，故C錯誤.令，則，令，則，若，令，則，且，而，故.所以，令，則，令，則，整理得到：，而，故，此時令，則，故或.若，則，故為偶函數，故即，所以為周期函數且周期為.若，則，故為奇函數，故即，故所以為周期函數且周期為.若，則，此時，故或.若，令，則，令，則，所以.令，則，令，則，故即，故為周期函數且周期為.若，令，則，令，則，所以.令，則，令，則，故即，故為周期函數且周期為.綜上，為周期函數，故D正確.故選：D.【點睛】思路點睛：抽象函數的性質問題，可以根據抽象函數的運算性質尋找具體的函數來輔助考慮，此處需要對基本初等函數的性質非常熟悉.另外，在研究抽象函數的性質時，注意通過合理賦值來研究抽象函數的對稱性、周期性.24．（2019秋·山西長治·高一山西省長治市第二中學校校考期末）設奇函數f(x)在(0，+∞)上為單調遞減函數，且f(2)=0，則不等式≤0的解集為（

）A．(-∞，-2]∪(0，2] B．[-2，0)∪[2，+∞)C．(-∞，-2]∪[2，+∞) D．[-2，0)∪(0，2]【答案】D【分析】由給定條件可得函數f(x)在(0，2)上的函數值為正，在(2，+∞)上的函數值為負，利用奇函數的性質化簡不等式，解出不等式即得.【詳解】因函數f(x)在(0，+∞)上為單調遞減函數，且f(2)=0，即函數f(x)在(0，2)上的函數值為正，在(2，+∞)上的函數值為負，又f(x)是奇函數，于是得，因此，當x>0時，，則有0<x≤2，當x<0時，f(x)≤0，由奇函數的性質得-2≤x<0，綜上，不等式≤0的解集為[-2，0)∪(0，2].故選：D題型九:利用函數的奇偶性與單調性解不等式25．（2022秋·江西撫州·高一統考期末）已知是定義域為的偶函數，則（

）．A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根據偶函數的性質列方程求出，代入計算即可.【詳解】由是定義域為的偶函數得，解得，.故選：B.26．（2023秋·遼寧丹東·高一統考期末）若偶函數在上單調遞增，且，則不等式解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據偶函數的性質，結合分類討論思想進行求解即可.【詳解】因為是偶函數，所以由，當時，由，因為在上單調遞增，所以，或，而，所以；當時，由，因為在上單調遞增，所以或，而，所以，故選：A27．（2023秋·上海徐匯·高一統考期末）已知函數是R上的奇函數，且是上的嚴格減函數，若，則滿足不等式的x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將等價于和，根據奇函數以及單調性即可求解.【詳解】由是R上的奇函數，且是上的嚴格減函數，若可知：且在也嚴格單調遞減，故當和時，，當和時，，故等價于和，解得，故選：B題型十：函數性質的綜合性問題28．（2022春·安徽滁州·高一統考期末）已知函數．(1)用定義法證明在上單調遞增；(2)不等式在時恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用定義法證明即可；（2）利用函數的單調性，轉化為恒成立，然后分離參數,將恒成立問題轉化為最值問題即可.【詳解】（1），設，則，，，即所以在上單調遞增（2）在上單調遞增，等價于：，即在時恒成立，，在時，在時恒成立，即：，或，故答案為：29．（2023秋·重慶長壽·高一統考期末）已知函數為奇函數.(1)求實數的值，判斷函數的單調性并用定義證明；(2)求關于的不等式的解集.【答案】(1),在上是增函數，證明見解析(2)或.【分析】（1）根據題意，利用，求得的值，結合函數單調性的定義和判定方法，以及指數函數的性質，即可求解；（2）求得，把不等式轉化為，結合對數函數的性質，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：因為的定義域是且是奇函數，可得，可得，函數在上是增函數，證明如下：任取，且，則，因為為增函數，且，所以，所以，所以，即，所以在上是增函數.（2）解：由（1）知在上是增函數，且，則不等式，即為，可得，即，解得或，所以不等式的解集為或.30．（2023秋·安徽滁州·高一安徽省定遠縣第三中學校聯考期末）已知函數，其中且．(1)求的值并寫出函數的解析式；(2)判斷并證明函數的奇偶性；(3)已知在定義域上是單調遞減函數，求使的的取值范圍．【答案】(1)，(2)奇函數，證明見解析(3)【分析】（1）由求解即可；（2）由函數奇偶性的定義判斷并證明即可；（3）由，結合函數單調性求解即可.【詳解】（1）由已知，，∴，解得（舍）或，∴．（2）為奇函數，證明如下：∵，∴由即，解得，∴的定義域為，，都有，且，即，∴函數是定義在上的奇函數．（3）∵在定義域上單調遞減，，∴解得，又∵的定義域為，∴的取值范圍是．【強化精練】一、單選題31．（2023秋·云南紅河·高一統考期末）下列函數中，既是奇函數又是在區間上單調遞增的函數為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據冪函數與二次函數的奇偶性與單調性一一判定即可.【詳解】對于A選項，是定義在上的減函數，不合題意.對于B選項，是偶函數，不合題意.對于C選項，是非奇非偶函數，不合題意.對于D選項，因為，故為奇函數，顯然，在單調遞增，符合題意.故選：D.32．（2022春·安徽滁州·高一統考期末）已知定義在上的奇函數滿足，當時，，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據題意，分析可得，變形可得，即是周期為8的周期函數，結合函數的解析式可得答案．【詳解】因為函數是定義在上的奇函數，則，若函數滿足，則有，則有，可得，則函數是周期為8的周期函數，所以，因為，所以，因為當時，，所以，即.故選：A.33．（2023春·江西贛州·高一校聯考期末）已知定義在上的函數滿足，且當時，，則（

）A．2 B．0 C．1 D．【答案】D【分析】通過對已知條件的轉化，得出函數是周期函數.利用函數周期性轉化求值即可.【詳解】因為，所以，且，則，又可得，，故，所以函數是周期的周期函數，．故選：D．34．（2022秋·甘肅蘭州·高一統考期末）設為定義在上的偶函數，且在上為增函數，則的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據函數為偶函數，將自變量轉化到同一個單調區間，再根據函數的單調性比較大小即可.【詳解】因為為定義在上的偶函數，所以，又因為在上為增函數，，所以，即.故選：B.35．（2023秋·江蘇宿遷·高一統考期末）已知，分別是定義在上的偶函數和奇函數，且滿足．若恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先利用方程組法求出、的解析式，再判斷的單調性，則問題轉化為恒成立，參變分離求出，即可得解.【詳解】因為，分別是定義在上的偶函數和奇函數，所以，，因為，①所以，所以，②①②得，，因為在定義域上單調遞增，在定義域上單調遞減，所以在上單調遞增，又，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因為，，所以（當且僅當，即時取等號），所以（當且僅當時，取等號），所以，所以的取值范圍為.故選：B．36．（2022秋·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學?？计谀┮阎瘮凳桥己瘮担敃r，恒成立，設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意先求出函數在上為單調增函數且關于直線對稱，然后利用函數的單調性和對稱性即可求解.【詳解】∵當時，恒成立，∴當時，，即，∴函數在上為單調增函數，∵函數是偶函數，即，∴函數的圖象關于直線對稱，∴，又函數在上為單調增函數，∴，即，∴，故選：B.二、多選題37．（2023秋·江西南昌·高一統考期末）已知，若“，使得”是假命題，則下列說法正確的是（

）A．是R上的非奇非偶函數，最大值為1B．是R上的奇函數，無最值C．是R上的奇函數，m有最小值1D．是R上的偶函數，m有最小值【答案】BC【分析】先求得函數的定義域，結合函數的解析式可得與的關系，即可判斷奇偶性，將函數的解析式變形，求得函數的值域，從而得到的取值.【詳解】由題意，函數的定義域為R，關于原點對稱，又由所以函數為定義域上的奇函數.“，使得”是假命題，所以，使得恒成立.則只需.根據題意，函數，變形可得，即函數的值域為.所以，即m有最小值1.故選：BC.38．（2023秋·江蘇宿遷·高一統考期末）已知是定義在上的函數，且對于任意實數恒有．當時，．則（

）A．為奇函數B．在上的解析式為C．的值域為D．【答案】ABD【分析】根據題意，分析可得區間上，的解析式，再分析函數的周期性，可得的圖象關于原點對稱，由此分析選項是否正確，即可得答案．【詳解】根據題意，時，，因為時，，所以，又由，則，即，，若，則，，若，則，，故在區間上，所以關于原點對稱，又由，則，即函數是周期為的周期函數，故的圖象關于原點對稱，由此分析選項：對于A，的圖象關于原點對稱，為奇函數，故A正確；對于B，當時，則，則，函數是周期為的周期函數，則，故B正確；對于C，在區間上，，則，，所以，故的值域一定不是，故C錯誤；對于D，因為時，，所以，，又，則，則有，，故，所以，故D正確；故選：ABD．39．（2023秋·四川瀘州·高一統考期末）已知函數在上單調遞增，且是偶函數，奇函數在上的圖象與函數的圖象重合，則下列結論中正確的有（

）A．B．函數的圖象關于y軸對稱C．函數在上是增函數D．若，則【答案】ACD【分析】根據函數的奇偶性、對稱性和單調性的綜合性質，逐個選項判斷即可．【詳解】對于B選項，因為是偶函數，所以，所以函數關于直線對稱，且在上單調遞增，故B錯誤；對于A選項，由上知，在上單調遞增，所以，即有，故A正確；對于C選項，因為奇函數在上的圖象與函數的圖象重合，在上單調遞增，即在上單調遞增，由奇函數性質知，在上單調遞增，故C正確；對于D選項，由得，又在上單調遞增，在上單調遞增，所以，，所以，故D正確．故選：ACD．40．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一統考期末）已知函數下列敘述正確的是（

）A．B．的零點有3個C．的解集為或D．若a，b，c互不相等，且，則的取值范圍是【答案】ACD【分析】根據分段函數值、零點、不等式、圖象等知識確定正確答案.【詳解】A選項，，A選項正確.B選項，當時，方程的，無實數根；當時，由解得，所以的零點有個，B選項錯誤.C選項，當時，由得，解得；當時，由得，所以的解集為或，C選項正確.D選項，畫出的圖象如下圖所示，不妨設，則，，由解得，所以，所以，D選項正確.故選：ACD三、解答題(共0分41．（2023秋·廣西玉林·高一統考期末）已知．(1)若的解集為或，求的值；(2)若對任意，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知，是方程的根，從而可得，求解即可；（2）由題意可知，而，利用基本不等式求得最小值，從而可求解.【詳解】（1），若的解集為或，則，是方程的根，即，解得：．（2）若對任意，恒成立，即若對任意，，由已知得，，，當且僅當時取等號，所以，，，即的取值范圍為.42．（2023秋·廣西河池·高一統考期末）已知函數是定義在上的奇函數，且.(1)求實數，的值；(2)判斷函數的單調性（不用證明），并解不等式；(3)若對恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)在上單調遞增，或.(3)【分析】（1）根據，得到關于方程組，解出值并檢驗即可；（2）利用定義法證明其單調性，再根據奇偶性和單調性化簡得，解出即可；（3）設，將題意轉化為對恒成立，設新函數，，利用基本不等式即可求出其最小值，即可得到的范圍.【詳解】（1）由題意得，則①，又因為，則②，聯立①②解得，此時，，且定義域為，關于原點對稱，故此時為奇函數.（2），設，，因為，所以，所以，，故，即，則在上單調遞增，，即，即，根據在上單調遞增，則，解得或.故解集為或.（3）由題意知對恒成立，設，則，即為對，即對恒成立，設，當且僅當，即等號成立，此時.故，故.43．（2023秋·四川瀘州·高一統考期末）已知函數．(1)用定義證明在定義域上是減函數；(2)若函數在上有零點，求實數a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先求函數的定義域，再根據減函數的定義證明即可；（2）由（1）知，函數在定義域為上的減函數，從而為減函數，故只需滿足，解不等式組即