高中數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊第三章綜合檢測卷（拔尖C卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．在平面直角坐標系中，橢圓的中心在原點，焦點、在軸上，離心率為，過的直線交橢圓于、兩點，且的周長為，則橢圓的方程為（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義可求得的值，結合橢圓的離心率公式可求得的值，進而可求得的值，結合橢圓的焦點位置可得出橢圓的標準方程.【詳解】由題意可知，的周長為，，又因為橢圓的離心率為，可得，，又因為橢圓的焦點在軸上，因此，橢圓的方程為.故選：D.2．已知雙曲線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】先求得的漸近線方程，根據沒有公共點，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線與雙曲線沒有公共點，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎題.3．已知為拋物線準線上一點，過作圓：的切線，則切線長最短為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據切線長定理，求出點到圓的圓心距離最小值即可作答.【詳解】拋物線準線方程為，圓的圓心，半徑，因此點與圓心距離的最小值為，

令過點向圓所作切線的切點為，于是，，所以切線長最短為.故選：A4．已知橢圓的右頂點為A，P、Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意結合橢圓方程整理得，進而可求離心率.【詳解】由題意可知：，設，則，可得，則，又因為點在橢圓上，則，整理得，可得，即，所以C的離心率.故選：A.

5．過拋物線的焦點的直線交于兩點，若直線過點，且，則拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出直線的方程，聯立拋物線方程，設出坐標，得到兩根之和，兩根之積，根據弦長列出方程，求出答案.【詳解】因為直線過點，所以直線的方程為.由得，.

設，則.因為，整理得，解得，所以拋物線的準線方程是.故選：D.6．已知橢圓：的左右焦點分別為，，為橢圓上一點，且軸，點到直線的距離為2，且，則橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求得，，再由橢圓的定義可得，根據等面積法得點到的距離為，代入可求得，得出橢圓的標準方程.【詳解】因為，所以，解得.又，當時，可得，即有，由橢圓的定義可得，，則點到的距離為.由題意，，得，所以由，得，，所以橢圓的標準方程為.故選：A.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，關鍵在于分析已知條件中所反應的邊角間的關系，并將其關系轉化到橢圓中的中，屬于中檔題.7．已知拋物線的焦點為，準線為，點在上，點在上．若，，則到的距離等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取線段的中點，連接，過點作，垂足為點，分析出為等邊三角形，并求出，從而可求得，即為所求.【詳解】取線段的中點，連接，過點作，垂足為點，則，所以，，所以，，所以，，因為，所以，是邊長為的等邊三角形，則，由拋物線的定義可知，所以，，故，所以，，則，即點到直線的距離為.故選：B.8．已知雙曲線C的離心率為，焦點為，點A在C上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據雙曲線離心率可得，根據雙曲線定義推出，利用余弦定理即可求得答案.【詳解】由題意雙曲線C的離心率為，焦點為F1、F2，點A在C上，故不妨設為左、右焦點，由可知A在雙曲線右支上，則，故，由于雙曲線C的離心率為，則，即，在中，，故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知拋物線C：的焦點為點在上，且弦的中點到直線的距離為5，則（

）A． B．線段的長為定值C．兩點到的準線的距離之和為14 D．的最大值為49【答案】CD【分析】根據拋物線的焦點即可判斷選項A，根據拋物線的定義及性質求線段的長即可判斷選項B，利用拋物線定義即可判斷選項C，利用基本不等式的性質即可判斷選項D.【詳解】由拋物線的焦點為，所以，則，A錯誤；設，，則由弦的中點到直線的距離為5，可得，所以，當過點時，由拋物線的定義可得；當時，，所以的長不是定值，B錯誤；兩點到的準線的距離之和與相等，值為14，C正確；，當且僅當時等號成立，故的最大值為49，D正確．故選：CD．10．設雙曲線，其離心率為，虛軸長為，則（

）A．上任意一點到的距離之差的絕對值為定值B．雙曲線與雙曲線：共漸近線C．上的任意一點（不在軸上）與兩頂點所成的直線的斜率之積為D．過點作直線交于兩點，不可能是弦中點【答案】AB【分析】根據已知條件可以求得雙曲線的方程，根據雙曲線的性質對選項逐一判斷即可.【詳解】雙曲線的離心率為，虛軸長為，所以，解得，所以雙曲線，所以兩焦點坐標分別為，由雙曲線定義知，故A正確；雙曲線的漸近線方程是，雙曲線：的漸近線方程也是，故B正確；上的任意一點（不在軸上）設為，則，即，又兩頂點為，所以斜率之積為，故C錯誤；易知點在雙曲線的右側，此區域內存在一條直線交于兩點，使是弦中點，故D錯誤.故選：AB11．已知橢圓E：的離心率為，左、右焦點分別為，，上頂點為P，若過且傾斜角為的直線l交橢圓E于A，B兩點，的周長為8，則（

）A．直線的斜率為 B．橢圓E的短軸長為4C． D．四邊形的面積為【答案】ACD【分析】對于A：根據離心率可得，進而可得，結合斜率公式運算求解；對于B：根據題意分析可得關于直線l對稱，結合橢圓的定義運算求解；對于C：根據數量積的定義運算求解；對于D：聯立方程，利用韋達定理和弦長公式求面積即可.【詳解】對于選項A：設橢圓的半焦距為，因為，解得，可知，直線的斜率為，故A正確；對于選項B：由選項A可知：，且，則為等邊三角形，由題意可知：，即直線l為的角平分線，則點關于直線l對稱，所以的周長為8，則，可得，所以橢圓E的短軸長為，故B錯誤；對于選項C：因為，所以，故C正確，對于選項D：因為直線l的方程為，橢圓方程為，設，聯立方程，消去x得，則，可得，則，點直線l的距離為，所以四邊形的面積為，故D正確；故選：ACD.

12．已知拋物線的焦點在直線上，直線與拋物線交于點（為坐標原點），則下列說法中正確的是（

）A．B．準線方程為C．以線段為直徑的圓與的準線相切D．直線的斜率之積為定值【答案】ACD【分析】由直線過定點，得到，可判定A正確；根據拋物線的幾何性質，可得判定B錯誤；過點作準線的垂線，根據拋物線的定義得到，可判定C正確；聯立方程組，結合韋達定理，得到，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，由直線，可化為，可得直線過定點，因為拋物線的焦點在直線上，可得，則，所以A正確；對于B中，由拋物線的準線方程為，所以B錯誤；對于C中，過點作準線的垂線，垂足分別為，的中點為點，過點作準線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；對于D中，設，聯立方程組，整理得，可得，則，所以D正確.故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的兩焦點為，點在橢圓上．若的面積最大為12，則橢圓的標準方程為．【答案】【分析】由題意可知當在軸上時的面積最大，從而可求出，再結合可求出，從而可求出橢圓的標準方程.【詳解】如圖，當在軸上時的面積最大，所以，所以．又，所以，所以橢圓的標準方程為．故答案為：

14．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(1，m)到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，則實數a＝.【答案】【分析】由拋物線定義求出，再計算出，根據直線垂直，利用斜率之積為求解.【詳解】根據拋物線的定義得，代入解得p＝8，故，代入M(1，m)，解得m＝±4，不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，則直線AM的斜率為2，由雙曲線知其漸近線由已知得－×2＝－1，解得.故答案為：15．設為雙曲線C：的左、右焦點，過左焦點的直線與在第一象限相交于一點P，若，且直線傾斜角的余弦值為，則的離心率為．【答案】【分析】設直線的傾斜角為α，可得，由P在第一象限內，且，可得，根據余弦定理可得的齊次方程，進而可求出雙曲線的離心率.【詳解】設直線的傾斜角為α，則，由P在第一象限內，且，則，∴，由余弦定理可得，整理得，則，解得或（舍去）.

故答案為：16．已知是橢圓的兩個焦點，過且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于，兩點，若是正三角形，則該橢圓的離心率為．【答案】/【分析】根據是正三角形，且直線與橢圓長軸垂直，得到是正三角形的高，．在△中，設，可得，所以，用勾股定理算出，得到橢圓的長軸，焦距，即可求出橢圓的離心率；【詳解】

是正三角形，，直線與橢圓長軸垂直，是正三角形的高，，△中，設，，，因此，橢圓的長軸，焦距橢圓的離心率為．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知橢圓的離心率為，且過點．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點，求兩點的橫坐標之積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用橢圓經過的點和離心率列方程求解；（2）聯立直線和橢圓，利用韋達定理求解.【詳解】（1）由題意可得，解得故橢圓的方程為．（2）不妨設，

聯立消去，得，易得，則由韋達定理，故．18．已知橢圓的左右焦點分別為，雙曲線與共焦點，點在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程：（2）已知點P在雙曲線上，且，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先求焦點坐標，再利用雙曲線的定義，求雙曲線方程；（2）結合余弦定理和雙曲線的定義，求.【詳解】（1）由橢圓方程可知，，，,，，雙曲線的方程；（2）設點在雙曲線的右支上，并且設，，，變形為，19．已知點M為直線l1：x＝－1上的動點，N(1，0)，過M作直線l1的垂線l，l交MN的中垂線于點P，記點P的軌跡為C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l2：y＝kx＋m(k≠0)與圓E：(x－3)2＋y2＝6相切于點D，與曲線C交于A，B兩點，且D為線段AB的中點，求直線l2的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1），點到定點的距離等于到直線的距離，說明點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，求解拋物線方程即可．（2）設，，，，，，直線斜率為，顯然，由得，，求出D的坐標，再利用與圓切于D求解即可．(1)由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以曲線的方程為．(2)設，，，，，，直線斜率為，顯然，由得，，．所以，，即，．因為直線與圓相切于點，所以；，從而且，整理可得，即．所以，故的方程為或．20．已知雙曲線：與雙曲線的漸近線相同，且經過點.(1)求雙曲線的方程；(2)已知雙曲線的左?右焦點分別為，，直線經過，傾斜角為，與雙曲線交于兩點，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據共漸近線設出雙曲線方程，代入點的坐標即可得解；（2）根據題意求出直線的方程，聯立直線方程與雙曲線方程，消去后由韋達定理得，從而由弦長公式求得弦長，再求出到直線距離后即可求得的面積．【詳解】（1）依題意，設所求雙曲線方程為，代入點得，即，所以雙曲線方程為，即．（2）由（1）得，則，，，又直線傾斜角為，則，故直線的方程為，設，，聯立，消去，得，則，，，由弦長公式得，又點到直線的距離，所以．21．在平面直角坐標系中，已知圓心為C的動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，記C的軌跡為曲線E．(1)求E的方程，并說明E為何種曲線；(2)已知及曲線E上的兩點B和D，直線AB，AD的斜率分別為，，且，求證：直線BD經過定點．【答案】(1)E的方程為，曲線E是拋物線.(2)證明見解析【分析】（1）設圓心，根據動圓過點，且在軸上截得的弦長為4列式可得結果；（2）設直線：，代入得，，再利用斜率公式和推出，從而可得結論成立.【詳解】（1）設圓心，半徑為，因為圓心為C的動圓過點，所以，因為圓心為C的動圓在軸上截得的弦長為4，所以，所以，即，所以曲線E是拋物線.（2）設直線：，聯立，消去并整理得，，即，設，，則，，因為，，所以，所以，將，代入得，即，所以直線：，即，所以直線BD經過定點.

22．已知橢圓，A為右頂點，為原點，為的中點．橢圓上一點在第一象限，已知為正三角形．橢圓上點在第一象限且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)求點的坐標；(3)射線與橢圓交于點，直線與直線交于點．若的面積為，求橢圓的標準方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）寫出，代入橢圓方程，得到，結合，求出離心率；（