高中數學人教A版（2019）必修第一冊第四章綜合檢測卷（培優B卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察所求結構知把放到對數的真數部分作指數即可求解．【詳解】解：，故選：C．2．已知函數f（x）＝（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點P，若定點P在冪函數g（x）的圖象上，則冪函數g（x）的圖象是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據指數函數的性質求出點P坐標，得出g（x）的解析式，從而得出g（x）的圖象．【詳解】解：f（x）＝恒過點P（16，4），設冪函數g（x）＝xα，則16α＝4，∴α，∴g（x），故選：A．【點睛】本題考查了指數函數的性質，冪函數的性質，屬于基礎題．3．函數的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，排除BC，當時，，當時，，A不滿足，排除，得到答案.【詳解】，排除BC；當時，，當時，，A不滿足，排除.故選：D4．已知，若，，則p是q的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據不等式的解法和指數函數的額性質，分別求得集合，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，解得或，即命題為真命題時，構成集合或，又由，根據指數函數的圖象與性質，可得，即命題為真命題時，構成集合所以是的既不充分也不必要條件.故選：D.5．已知，則以下結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據指對互化，表示，再結合對數函數的單調性，和中間值比較大小，即可判斷選項.【詳解】，由，即，故，可得，即綜上：.故選：D.6．若函數的圖象與x軸有公共點，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】與有公共點，轉化為與有公共點，結合函數圖象，可得結果.【詳解】與有公共點，即與有公共點，圖象如圖：

可知故選：B7．下列區間中，函數f（x）=|ln（2-x）|在其上為增函數的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數定義域為當時，是減函數；當時，是增函數；故選D8．已知函數，，的零點分別為，則的大小關系為A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得是函數與交點的橫坐標，是函數與圖象交點的橫坐標，是函數與圖象交點的橫坐標，然后在同一坐標系畫出，的圖象，利用圖象求解【詳解】因為函數，，的零點分別為，所以是函數與交點的橫坐標，是函數與圖象交點的橫坐標，是函數與圖象交點的橫坐標，在同一坐標系內畫出函數，的圖象如下圖所示：曲線與的交點的橫坐標依次為，由圖可知，,故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知實數滿足，下列選項中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據指數冪的運算依次討論各選項即可得答案.【詳解】解：，故選項A正確；，故選項B錯誤；，故選項C正確；,,故選項D錯誤．故選：AC．10．已知函數，若（互不相等），則的值可以是（

）A．-2 B． C． D．-1【答案】BC【分析】作出圖象，由數形結合可得的范圍，由對數運算可得，即可判斷結果.【詳解】圖象如圖所示，令，則有，則有.又，∴，故.故選：BC11．已知，，且滿足，，則的可能取值為（

）A． B．3 C． D．9【答案】BD【分析】根據指對互化得和對數的運算性質得，代入得到關于的方程，解出即可.【詳解】，則由可得,，即，解得或，或.故選：BD.12．已知：函數，若直線與函數的圖象有三個交點，，，且，則下列命題中正確的是（

）A．函數有兩個零點0和2 B．C．方程有6個不同的根 D．當時，方程有兩個不相等的實根【答案】ABD【分析】令，求出函數的零點可判斷A；作出函數的大致圖象，由圖結合題意可得，即有，結合對數運算化簡即可判斷B；方程根的問題轉化為圖象交點的問題，結合圖形可判斷C，D.【詳解】由題意，令，當時，，解得；當時，，解得，則函數有兩個零點0和2，故A正確；作出函數的大致圖象，如圖，由圖結合題意可知，，由，可得，即，故B正確；由可得或，由圖可知，函數的圖象與直線及共有4個交點，則方程有4個不同的根，故C錯誤；當時，當時，令，解得，且由圖象可得當時，與只有一個交點。綜上，直線與函數的圖象有兩個交點，則方程有兩個不相等的實根，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，則____________（用含a，b的代數式表示）.【答案】【分析】利用換底公式結合對數運算得到答案.【詳解】.故答案為：14．函數的單調遞增區間是______．【答案】【分析】利用二次函數和指數函數的單調性判斷指數復合函數的單調性即可.【詳解】由，即上遞增，上遞減，又在定義域上遞增，所以上遞增，上遞減，故遞增區間為.故答案為：15．一次函數的圖象經過函數的定點，則的最小值為___________.【答案】8【分析】求出函數過的定點，可得，將變為，結合基本不等式即可求得答案.【詳解】對于函數，令，則該函數圖象過定點，將代入，得，故，當且僅當且，即時取等號，故答案為：816．若函數在內有一個零點，則實數的取值范圍是______.【答案】【分析】考慮，，三種情況，分別計算得到答案.【詳解】當時，易知不成立當時，為二次函數，開口向上，對稱軸為，函數在內有一個零點，則當時，為二次函數，開口向下，對稱軸為函數在內有一個零點，則，解得綜上所述：或故答案為【點睛】本題考查了函數的零點問題，分類討論是一個常規的方法，需要靈活掌握.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知點在指數函數的圖像上(1)求，的值；(2)判定函數在上的單調性并證明．【答案】(1)，.(2)單調遞增，證明見解析.【分析】（1）根據指數函數的性質，可得，代入點進行計算可得；（2）根據指數函數的單調性，可判斷函數的單調性，利用定義法可證明的單調性.【詳解】（1）由已知得，為指數函數，，解得，故點在指數函數的圖像上，得，解得，，得到.（2），因為為單調增函數，且也為單調遞增函數，故在上為單調遞增函數，證明如下：設，且，有，得，故在上為單調遞增函數.18．已知函數且點在函數的圖象上.(1)求函數的解析式，并在平面直角坐標系中畫出函數的圖象；(2)求不等式的解集.【答案】(1)，圖像見解析；(2)【分析】（1）將代入求得，即可得函數的解析式，再根據一次函數和對數函數的圖象畫函數圖像即可；（2）不等式等價于或，解之即可.【詳解】（1）∵點在函數的圖象上，∴，解得，∴，函數的圖象如圖所示，；（2）不等式等價于或，解得或，∴原不等式的解集為.19．已知函數.(1)求函數的定義域；(2)判斷函數的奇偶性；(3)求使成立的的集合.【答案】(1)；(2)偶函數；(3)或【分析】（1）利用對數函數的概念可得定義域；（2）利用奇偶性的概念即可；（3）利用對數函數的單調性分類討論即可.【詳解】（1）由條件可得：，要滿足式子有意義，則，函數的定義域為.（2）令，由（1）知其定義域為，關于原點對稱.則，，函數是偶函數.（3）由（2）得：，若，則，則，，或，若，則，則，無解，若成立，則或，即集合為或.20．設（1）試判斷函數零點的個數；（2）若滿足，求m的值；（3）若m=1時，上存在使成立，求的取值范圍．【答案】（1）①當時有唯一零點②當時必有兩個零點；（2）；（3）【詳解】試題分析：（1）函數的性質問題以及函數零點問題是高考的高頻考點，函數零點的幾種等價形式：函數有零點函數在軸有交點方程有根函數與有交點．；（2）考查函數圖像的對稱性，若函數滿足，則該函數的圖像關于直線對稱；（3）對于存在性問題，大于最小值，小于最大值即可試題解析：（1）①當時，為一次函數，有唯一零點②當時，由故必有兩個零點（2）由條件可得的圖像關于直線對稱，∴，解得：（3）依題原命題等價于有解，即有解∴∵在上遞減∴故考點：函數的零點，對稱性問題及存在性問題21．已知是奇函數．(1)求實數a的值；(2)判斷函數的單調性，并用定義證明之；(3)解關于t的不等式．【答案】(1)1；(2)函數在上是增函數，證明見解析；(3)。【分析】（1）由即可得解；（2）由定義證明單調性即可；（3）根據函數的奇偶性和單調性進行證明即可.【詳解】（1）解：由題知，由得：，所以，解得．所以，實數a的值為1．（2）由（1）知：．因為函數在上是增函數；又因為函數在上也是增函數，值域為．所以，函數在上是增函數．證明如下：在上任取，且，所以，由可知，所以，，所以，即．所以，是上的增函數．（3）解：由（1）（2）知，函數是上的增函數，且為奇函數，所以，，所以，，即，解得，所以，關于t的不等式的解集為.22．已知函數(1)討論函數的定義域；(2)當時，解關于x的不等式：(3)當時，不等式對任意實數恒成立，求實數m的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）0＜x＜1（3）m＜﹣log23【分析】（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1下面分類討論：當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0即可求得f（x）的定義域（2）根據函數的單調性解答即可；（3）令g（x）＝f（x）﹣log2（1+2x）＝log2（1在[1，3]上是單調增函數，只需求出最小值即可．【詳解】解：（1）由ax﹣1＞0，得ax＞1．當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0．所以f（x）的定義域是當a＞1時，x∈（0，+∞）；當0＜a＜1時，x∈（﹣∞，0）．（2）當a＞1時，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則，所以11．因為a＞1，所以loga（1）＜loga（1），