試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025屆數學適應性練習一、單選題：1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知是關于x的方程的根，則實數（

）A． B．2 C． D．43．已知兩個不同的平面，和兩條不同的直線，滿足，，則“”是“”的（

）A．充要條件B．充分非必要條件C．必要非充分條件D．既不充分也不必要條件4．已知平面內三點，則向量在上的投影向量為（

）A．B．C． D．5．在各項均為正數的等差數列中，若，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．6．已知四面體的各頂點均在同一球面上，該球的表面積為，若是邊長為3的正三角形，，則該四面體的體積為（

）A． B． C． D．7．研究可得：已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點逆時針方向旋轉角得到點.若二次方程的圖象是由平面直角坐標系下某標準橢圓繞原點逆時針旋轉所得的斜橢圓，則該斜橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8．若曲線與圓無交點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．在等邊中，，點O在邊上，且．過點O的直線分別交射線，于不同的兩點M，N，，．則以下選項正確的是（

）A． B．C． D．的最小值是10．在棱長為1的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則（

）A．點到直線的距離是； B．直線到直線的距離是；C．點到平面的距離是； D．直線到平面的距離是．11．某區四所高中各自組建了排球隊分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”進行單循環比賽即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽最后按各隊的積分排列名次，積分規則為每隊勝一場得分，平一場得分，負一場得分若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為且每場比賽結果相互獨立，則在比賽結束時（

）A．甲隊積分為分的概率為B．不可能出現恰有三支球隊積分相同的情況C．甲隊勝2場且乙隊勝2場的概率為D．甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為三、填空題12．已知角終邊上一點，則；13．已知雙曲線：的左?右焦點分別為，，一條漸近線為，過點且與平行的直線交雙曲線C于點M，若，則漸近線的方程為.14．數列的每一項為0或1，稱此數列為0—1數列．（）表示所有k項0—1數列構成的集合．現從集合中隨機取出兩個元素，，與，，，定義隨機變量，則．四、解答題（13+15+15+17+17）15．2025年春節期間，電影《哪吒之魔童鬧?！废破鹑裼^影熱潮，連續7天票房逆勢攀升，單日最高突破8.6億元，吸引部分家庭攜老扶幼共赴影院，締造中國影史春節檔票房與觀影人次雙冠王的奇跡.某電影院為了解民眾觀影的喜歡程度，隨機采訪了180名觀影人員，得到下表：是否成年人是否喜歡合計不喜歡喜歡未成年人80100成年人2080合計180(1)依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為喜歡電影《哪吒之魔童鬧?！放c是否成年有關？(3)用頻率估計概率，現隨機采訪一名成年人和一名未成年人，設表示這兩人中非常喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》的人數，求的分布列和數學期望.參考公式：0.10.050.012.7063.8416.63516．在中，內角、、所對的邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)若為邊上一點（不包含端點），且滿足，求的取值范圍．17．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，點E是棱PD上的一點，平面AEC．(1)求證：點E是棱PD的中點；(2)若平面ABCD，，PC與平面ABCD所成角的正切值為，求二面角的正切值．18．在平面直角坐標系中，點為直線上的動點，過作的垂線，該垂線與線段的垂直平分線交于點，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點的直線與曲線交于兩點，直線與直線分別交于兩點，線段的中點為.（i）求的最大值；（ii）求四邊形面積的最小值.19．已知函數.(1)當時，求證：；(2)若對于恒成立，求的取值范圍；(3)若存在，使得，求證：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025屆數學適應性練習》參考答案題號1234567891011答案ACBDBCADABDABDACD8．D【詳解】圓的標準方程為，將曲線和圓同時向左平移個單位后，題設條件轉化為曲線與圓無交點，即方程無解，則，若，則顯然方程無解；若，即時，有，則在上無解，令，則，令得；令得，則在上單調遞增，在上單調遞減，故，且當時，，當時，，則，即，則實數的取值范圍為.11．ACD【詳解】對于選項A：若甲隊積分為9分，則甲勝乙、丙、丁，所以甲隊積分為9分的概率為，故A正確；對于選項B：四支球隊共6場比賽，例如甲勝乙、丙、丁，而乙、丙、丁之間平，則甲得9分，乙、丙、丁各得2分，故B錯誤；對于選項C：每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，甲隊勝2場且甲勝乙隊2場，甲隊勝2場且甲敗給乙隊或甲隊勝2場且甲與乙隊平，則甲隊勝2場且乙隊勝2場的概率為，故C正確；對于選項D：甲隊在輸了一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與甲比賽，甲輸，，例如是丙甲，若甲與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則甲只得4分，這時，丙乙、丙丁兩場比賽中丙只能輸，否則丙的分數不小于4分，不合題意，在丙輸的情況下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意；若甲全贏（概率是）時，甲得6分，其他3人分數最高為5分，這時丙乙，丙丁兩場比賽中丙不能贏否則丙的分數不小于6分，只有全平或全輸，①若丙一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率；②若丙兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結論如何均符合題意；③若兩場丙都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是；綜上概率為，故D正確．12．/0.513．14．【詳解】集合中共有個元素，任取兩個元素，即數列，，與，，，有4種可能情況：，，，，即或1．當，此時或者；當，此時，或，，由集合中元素的互異性，數列，，與，，對應項不可能完全相同，所以，，中至少有1個1，至多有3個1，所以最小值為1，最大值為3，即的所有可能取值為1，2，3．，即，，中有1個1，有2個0，對應的情況共有種，所以，同理，，，所以．15．（1）零假設：喜歡電影《哪吒之魔童鬧?！放c是否成年無關根據表中數據得：.根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據證明喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》與是否成年有關；（3）由題可知，隨機采訪一位未成年人，則該未成年人喜歡電影《哪吒之魔童鬧海》的概率為，隨機采訪一位成年人，則該成年人喜歡電影《哪吒之魔童鬧?！返母怕蕿榈目赡苋≈禐?，，，，所以X的分布列為012.16．，則，因為、，則，所以，，可得，故.（2）解：由可得，所以，，所以，，故，在中，，，由正弦定理可得，所以，，因為，則，所以，.所以，的取值范圍是.17．【詳解】（1）連接BD，BD與AC交于，點F，連接EF，四邊形ABCD為矩形，為BD的中點，平面AEC，平面PBD經過PB且與平面AEC交于EF，，又點F是BD的中點，點E是棱PD的中點.（2）方法一：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，，則就是PC與平面ABCD所成的角，故，解得．四邊形ABCD為矩形，，又，PA與AD是平面PAD內的兩相交直線，平面PAD，如圖，平面PAD內作，垂足為G，連接GC，則，是二面角的平面角．在直角三角形PAD中，，點E是PD的中點，，且平面PAD，平面PAD，，故，二面角的平面角的正切值為．方法二：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，，則就是PC與平面ABCD所成的角，又四邊形ABCD為矩形，，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設是平面AEC的一個法向量，二面角的大小為，由，可得，則，故解得，所以，又是平面AED的一個法向量，且為銳角，故，則，即，二面角的平面角的正切值為．18．【詳解】（1）連接，則，則根據拋物線的定義，點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線．則點的軌跡的方程為．（2）（i）依題意直線的斜率不為，設直線的方程為，，，，聯立，整理得，則，所以，，設，則，則，直線的方程為，同理：直線的方程為，令得，，，因為，所以，，所以，，所以軸，軸，所以，取線段的中點為，則直線為線段的垂直平分線，所以，，所以，所以求最大，即最大，因為，所以當時，取得最大值，此時取最大值，即的最大值為；（ii）因為，所以四邊形的面積，又，所以，所以當時，此時四邊形的面積取得最小值.19．【詳解】（1）由，得.要證，只需證.令，則.當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，所以，故，因此.（2）令，則①當時，由，得，因此，滿足題意.②當時，，得，因此，則在上單調遞增.若，則，則在上單調遞增