2/2作輔助線證明三角形全等-截長補短（培優篇）（專項練習）“截長補短”是處理線段間數量關系的一種重要的解題方法.當題目中出現三條線段間的和差關系時(如a=b+c),常考慮用此法解決.所謂"截",就是將最長的線段a截成兩段,使其中一段等于較短的一條線段b,再利用全等三角形或者等腰三角形的知識證另一段等于線段c;所謂"補",就是將較短的線段6延長,使延長的線段長度為c,相當于將線段b,c拼成一條線段,再證明此線段的長等于a.用截長補短法解決問題的關鍵,是用"截"或"補"的手段去構造線段.一、解答題1．（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數量關系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點D作，垂足為點E，請直接寫出線段、、之間的數量關系．2．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是直線BC上的動點．（1）如圖1，當點E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數為．（2）如圖2，AC＞AB，點P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數（要求：畫圖，寫思路，求出度數）．3．等邊中，點、分別在邊、上，且，連接、交于點．（1）如圖1，求的度數；圖1（2）連接，若，求的值；（3）如圖2，若點為邊的中點，連接，且，則的大小是___________．圖24．如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點．（1）求證：；（2）如圖2，若點是線段上一點，平分交所在直線于點．求證：．（3）如圖3，若點是線段上一點（不與點重合），連接，在下方作邊交所在直線于點．猜想：三條線段之間的數量關系，并證明．5．如圖，是邊長為1的等邊三角形，，，點，分別在，上，且，求的周長．6．如圖所示，平分平分；（1）求與的數量關系，并說明你的理由．（2）若把條件去掉，則（1）中與的數量關系還成立嗎?并說明你的理由．7．如圖所示，已知AC平分∠BAD，，于點E，判斷AB、AD與BE之間有怎樣的等量關系，并證明．8．如圖，在正方形中，點迕射線上，連接，作，且交正方形外角的平分線于點．（1）若點在邊的中點處時，________（填“＞”“＜”或“=”）（2）若點為邊上的任意一點（不含點，），探究此時與的數量關系，并說明理由．（3）若點是邊延長線上的一點，探究此時與的數量關系，并說明理由．9．閱讀材料并完成習題：在數學中，我們會用“截長補短”的方法來構造全等三角形解決問題．請看這個例題：如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若AC=2cm，求四邊形ABCD的面積．解：延長線段CB到E，使得BE=CD，連接AE，我們可以證明△BAE≌△DAC，根據全等三角形的性質得AE=AC=2，∠EAB=∠CAD，則∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABC+S△ABE=S△AEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉化為等腰直角三角形EAC面積．（1）根據上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2．（2）請你用上面學到的方法完成下面的習題．

如圖2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，求五邊形FGHMN的面積．10．把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD，以D為頂點作，交邊AC，BC于點M，N．（1）如圖（1），若，，當繞點D旋轉時，AM，MN，BN三條線段之間有何種數量關系？證明你的結論；（2）如圖（2），當時，AM，MN，BN三條線段之間有何數量關系？證明你的結論；（3）如圖（3），在（2）的條件下，若將M，N分別改在CA，BC的延長線上，完成圖（3），其余條件不變，則AM，MN，BN之間有何數量關系（直接寫出結論，不必證明）．11．已知等腰△ABC中，AB=AC，點D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當點D在線段AB上時，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當點D在線段BA延長線上時，如圖2，當點D在線段AB延長線上時，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數量關系，不需要證明．12．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O．點E是線段DO上一點，連接CE．點F是∠OCE的平分線上一點，且BF⊥CF與CO相交于點M，點G是線段CE上一點，且CO=CG．（1）若OF=4，求FG的長；（2）求證：BF=OG+CF．13．在數學活動課上，數學老師出示了如下題目：如圖①，在四邊形中，是邊的中點，是的平分線，．求證：．小聰同學發現以下兩種方法：方法1：如圖②，延長、交于點．方法2：如圖③，在上取一點，使，連接、．（1）請你任選一種方法寫出這道題的完整的證明過程；（2）如圖④，在四邊形中，是的平分線，是邊的中點，，，求證：．如圖1，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點．（1）求出的度數；（2）判斷與之間的數量關系并說明理由．（提示：在上截取，連接．）（3）如圖2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它條件不變，試判斷線段、與之間的數量關系并說明理由．15．閱讀下面材料，完成(1)-(3)題．數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向AB左側作等邊△ABE，直線CE與直線AD交于點F．請探究線段EF、AF、DF之間的數量關系，并證明．同學們經過思考后，交流了自己的想法：小明：“通過觀察和度量，發現∠DFC的度數可以求出來．”小強：“通過觀察和度量，發現線段DF和CF之間存在某種數量關系．”小偉：“通過做輔助線構造全等三角形，就可以將問題解決．”老師：“若以AB為邊向AB右側作等邊△ABE，其它條件均不改變，請在圖2中補全圖形,探究線段EF、AF、DF三者的數量關系，并證明你的結論．”（1）求∠DFC的度數；（2）在圖1中探究線段EF、AF、DF之間的數量關系，并證明；（3）在圖2中補全圖形，探究線段EF、AF、DF之間的數量關系，并證明．16．數學課上，小白遇到這樣一個問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎上，老師補充：過點作于點交于點，過作交于點，交于點，試探究線段，，之間的數量關系，并說明理由．小白通過研究發現，與有某種數量關系；小明通過研究發現，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步推理，可以得出結論．閱讀上面材料，請回答下面問題：（1）求證；（2）猜想與的數量關系，并證明；（3）探究線段，，之間的數量關系，并證明．17．已知等邊中，點是邊，的垂直平分線的交點，，分別在直線，上且，（1）如圖所示，點，分別在邊，上，求證：；（2）如圖所示，點在邊上，點在的延長線上，求的值.參考答案1．（1）證明見分析；（2）；理由見分析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題；（2）延長到點，使，連接，證明，可得，即（3）連接，過點作于，證明，，進而根據即可得出結論．解：（1）方法1：在上截，連接，如圖．平分，．在和中，，，，．，．．，．方法2：延長到點，使得，連接，如圖．平分，．在和中，，．，．，．，，．（2）、、之間的數量關系為：．（或者：，）．延長到點，使，連接，如圖2所示．由（1）可知，．為等邊三角形．，．，．．，為等邊三角形．，．，，即．在和中，，．，，．（3），，之間的數量關系為：．（或者：，）解：連接，過點作于，如圖3所示．，．．在和中，，，，．在和中，，．，，．【點撥】本題考查了三角形全等的性質與判定，正確的添加輔助線是解題的關鍵．2．（1）；（2），見分析；（3）44°或104°；詳見分析．【分析】（1）根據等邊對等角，可得，，再根據三角形外角的性質求出，由此即可解題；（2）在AC邊上取一點M使AM=AB，構造，根據即可得出答案；（3）畫出圖形，根據點E的位置分四種情況，當點E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，可得，設，則；根據∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，可得，可證（SAS），得出，利用還有，列方程；當點E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，得出，設，則；∠BAC＝24°，根據AD為△ABC的角平分線，得出，證明（SAS），得出，利用三角形內角和列方程，解方程即可．解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD為△ABC的角平分線，即，∴；∴（2）如圖2，在AC邊上取一點M使AM=AB，連接MP，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如圖，點E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設，則；又∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；當點E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；如圖，點E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設，則；又∵∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度數為44°或104°．【點撥】本題主要考查了等腰三角形性質、全等三角形判定和性質，角平分線，三角形外角性質，三角形內角和，解一元一次方程，根據角平分線模型構造全等三角形轉換線段和角的關系是解題關鍵．3．（1）；（2）；（3）【分析】（1）由是等邊三角形，可得出，，再利用，可證，得出，由可求出，最后由補角定義求出.（2）在上取點，使，由可證，再利用，，可證明，進而求出，再用補角的性質得知，在中利用外角的性質可求出，進而證出為等腰三角形，最后可證出即可求解.（3）延長至，使為等邊三角形，延長交于，可得出，進而得出，利用角的和差得出，則證出，進而證出，再利用，證出為等邊三角形，進而證出.解：（1）∵是等邊三角形，∴，，在和中，，，，∴，∴，∴，∴．（2）在上取點，使．由（1）知，又，∴．在和中，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（3）．提示：目測即得答案．詳細理由如下：由（1）知．延長至，使為等邊三角形．延長交于．∵，∴，在和中，,∴，∴．∴，∴．∴，在和中，，∴，∴．∵，，∴，∵∴為等邊三角形，∴∴．【點撥】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質及等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵.4．（1）見分析；（2）見分析；（3）OF=OG+OA，理由見分析【分析】（1）由等邊三角形的可求得∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，理由含30°角的直角三角形的性質可得OC=2OD，進而可證明結論；（2）理由ASA證明△CGB≌△CGF即可證明結論；（3）連接OB，在OF上截取OM=OG，連接GM，可證得△OMG是等邊三角形，進而可利用ASA證明△GMF≌△GOB，得到MF=OB=OA，由OF=OM+MF可說明猜想的正確性．解：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，∴OA=OC，在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴OC=2OD，∴OA=2OD；（2）證明：∵AB=AC=BC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴BG=CG，∴∠GCB=∠GBC，∵CG平分∠BCE，∴∠FCG=∠BCG=∠BCF=15°，∴∠BGC=150°，∵∠BGF=60°，∴∠FGC=360°-∠BGC-∠BGF=150°，∴∠BGC=∠FGC，在△CGB和△CGF中，，∴△CGB≌△CGF（ASA），∴GB=GF；（3）解：OF=OG+OA．理由如下：連接OB，在OF上截取OM=OG，連接GM，∵CA=CB，CE⊥AB，∴AE=BE，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，∵OM=OG，∴△OMG是等邊三角形，∴GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，∵∠BGF=60°，∴∠BGF=∠MGO，∴∠MGF=∠OGB，∵∠GMF=120°，∴∠GMF=∠GOB，在△GMF和△GOB中，，∴△GMF≌△GOB（ASA），∴MF=OB，∴MF=OA，∵OF=OM+MF，∴OF=OG+OA．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定的與性質，含30°角的直角三角形，角平分線的定義等知識的綜合運用，屬于三角形的綜合題，證明相關三角形全等是解題的關鍵．5．2【分析】延長至點，使，連接，證明推出，，進而得到，從而證明，推出EF=CP，由此求出的周長=AB+AC得到答案.解：如圖，延長至點，使，連接．∵是等邊三角形，∴．∵，，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴，．∵，，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴，∴，∴的周長.【點撥】此題考查全等三角形的判定及性質，等邊三角形的性質，等腰三角形等邊對等角的性質，題中輔助線的引出是解題的關鍵.6．（1），見分析；（2）成立，見分析【分析】（1）先寫出數量關系，過作于，然后證明和，便可得結論了．（2）成立,在上截取證明和，便可得到結論．解：理由是：過作于CE為角平分線同理可證成立理由：在上截取CE為角平分線

又又是角平分線7．，證明見分析【分析】在AB上截取EF，使EF=BE，聯結CF．證明，得到，又證明，得到，最后結論可證了．解：在AB上截取EF，使EF=BE，聯結CF．

在和

AC平分∠BAD在和中【點撥】本題考查三角形全等知識的綜合應用，關鍵在于尋找全等的條件，作適當的輔助線加以證明．8．（1）=；（2），見分析；（3），見分析【分析】（1）作輔助線，AH=EC，∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=180°-45°=135°，則△AHE≌△ECF；（2）作輔助線，仍然證明△AME≌△ECF得出結論；（3）做輔助線，仍然證明得出結論．解：（1）證明：取AB的中點H，連接EH；∵ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF；（2）在上取一點，使得，連接∴∴∴∵是正方形外角平分線∴∴∴∵，∴∴∴（3）在的延長線上取一點，使，連接∴∴∵是正方形外角平分線∴∴∵四邊形是正方形∴∴即∴∴∴【點撥】本題是四邊形的綜合題，綜合考查了正方形、全等三角形的性質和判定，解決此類題的思路為：構造兩個三角形全等；熟練掌握正方形的性質是本題的關鍵．9．（1）2；（2）4【分析】（1）根據題意可直接求等腰直角三角形EAC的面積即可；（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，由（1）易證，則有FK=FH，因為HM=GH+MN易證，故可求解．解：（1）由題意知，故答案為2；（2）延長MN到K，使NK=GH，連接FK、FH、FM，如圖所示：FG=FN=HM=GH+MN=2cm，∠G=∠N=90°，∠FNK=∠FGH=90°，，FH=FK，又FM=FM，HM=KM=MN+GH=MN+NK，，MK=FN=2cm，．【點撥】本題主要考查全等三角形的性質與判定，關鍵是根據截長補短法及割補法求面積的運用．10．（1）；證明見分析；（2）；證明見分析；（3）補圖見分析；；證明見分析．【分析】（1）延長CB到E，使BE=AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，證△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；（2）延長CB到E，使BE=AM，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，證△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可；（3）在CB截取BE=AM，連接DE，證△DAM≌△DBE，推出∠BDE=∠MDA，DM=DE，證△MDN≌△EDN，推出MN=NE即可．解：（1）．證明如下：如圖，延長CB到E，使，連接DE．，．，．在和中，，，，．，，，．在和中，，，．，；（2）．證明如下：如圖，延長CB到E，使，連接DE．，．，，．在和中，，，，．，，，，，，．在和中，，，．，；（3）補充完成題圖，如圖所示．．證明如下：如上圖，在CB上截取BE=AM，連接DE．，，，．，．在和中，，，，．，，．在和中，，，．，．【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．11．（1）見詳解；（2）圖2：，圖3：【分析】（1）在線段上截取，連接，，證明，可得到，即可求解．（2）當點在線段延長線上時，在的延長線上截取，連接，，由題意可證，可得，由題意可得，即可證，可得，則可得；當點在線段延長線上時，在線段上截取，連接，，由題意可證，可得，由題意可得，即可證，可得，則可得．解：（1）證明：在線段上截取，連接，∵，∴∴∵∴∵∴，∴∴∵∴∵∴∴∴（2）當點在線段延長線上時，如圖2：在的延長線上截取，連接，∵∴∵∴∵∴∵，，∴∴∴∵，∴又∵，∴∴∵∴當點在線段延長線上時，如圖3：當點在線段延長線上時，在線段上截取，連接，∵，，∴∴∵∴∵∴∵∴，∴，，且∴∴∵∴【點撥】本題主要考查了三角形綜合題，等腰三角形的性質，全等三角形的性質和判定，合理添加輔助線證全等是解題的關鍵．12．（1）4；（2）見分析【分析】（1）根據條件證明△OCF≌△GCF，由全等的性質就可以得出OF=GF而得出結論；（2）在BF上截取BH=CF，連接OH，通過條件可以得出△OBH≌△OCF，可以得出OH=OF，從而得出OG∥FH，OH∥FG，進而可以得出四邊形OHFG是平行四邊形，就可以得出結論．解：（1）∵CF平分∠OCE，∴∠OCF=∠ECF．∵OC=CG，CF=CF，∵在△OCF和△GCF中，∴△OCF≌△GCF（SAS），∴FG=OF=4即FG的長為4．（2）證明：在BF上截取BH=CF，連接OH．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，OB=OC．∴∠BOC=90°，∵BF⊥CF，∴∠BFC=90°．∵∠OBH=90°-∠OMB，∠OCF=90°-∠FMC，且∠OMB=∠FMC，∴∠OBH=∠OCF．∵在△OBH和△OCF中，∴△OBH≌△OCF（SAS）．∴OH=OF，∠BOH=∠COF．∵∠BOH+∠HOM=∠BOC=90°，∴∠COF+∠HOM=90°，即∠HOF=90°．∴∴∠OFC=∠OFH+∠BFC=135°．∵△OCF≌△GCF，∴∠GFC=∠OFC=135°，∴∠OFG=360°-∠GFC-∠OFC=90°．∴，∴∠GOF=∠OFH，∠HOF=∠OFG．∴OG∥FH，OH∥FG，∴四邊形OHFG是平行四邊形．∴OG=FH．∵BF=FH+BH，∴BF=OG+CF．【點撥】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，平行四邊形的判定及性質，平行線的性質與判定，三角形的內角和定理，解答時采用截取法作輔助線是關鍵．13．（1）方法1：證明見分析；方法2：證明見分析；（2）證明見分析．【分析】（1）方法1：先根據角平分線的定義、平行線的性質得出，再根據等腰三角形的性質可得，根據三角形全等的判定定理與性質得出，然后根據線段的和差即可得證；方法2：先根據角平分線的定義得出，再根據三角形全等的判定定理與性質可得，然后根據線段中點的定義、等腰三角形的性質可得，最后根據平行線的性質、平角的定義可得，由等腰三角形的定義可得，由此根據線段的和差即可得證；（2）如圖（見分析），參照方法1構造輔助線，先根據等腰三角形的性質得出平分，從而有，再根據平行線的性質、角的和差得出，，然后根據三角形全等的判定定理與性質即可得證．解：（1）方法1：如圖②，延長、交于點是的平分線是邊的中點在和中，；方法2：如圖③，在上取一點，使，連接、是的平分線在和中，是邊的中點，即，即又；（2）如圖，過點C作，交AE延長線于點G，延長GC交AB于點F，連接EF由方法1可知：是等腰三角形平分，，即在和中，．【點撥】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質、三角形全等的判定定理與性質等知識點，較難的是題（2），參照方法1，通過作輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．14．（1）∠AFC＝120°；（2）FE與FD之間的數量關系為：DF＝EF．理由見分析；（3）AC＝AE+CD．理由見分析．【分析】（1）根據三角形的內角和性質只要求出∠FAC，∠ACF即可解決問題;（2）根據在圖2的

AC上截取CG=CD，證得△CFG≌△CFD

(SAS),得出DF=

GF；再根據ASA證明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根據(2)

的證明方法，在圖3的AC上截取AG=AE，證得△EAF≌△GAF

(SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根據ASA證明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解決問題．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE與FD之間的數量關系為：DF＝EF．理由：如圖2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分線，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）結論：AC＝AE+CD．理由：如圖3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質的運用，全等三角形的判定和性質是證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造全等三角形．15．（1）60°；（2）EF=AF+FC，證明見分析；（3）AF=EF+2DF，證明見分析．【分析】（1）可設∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根據三角形內角和可得2α＋60＋2β＝180°，從而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度數；（2）在EC上截取EG＝CF，連接AG，證明△AEG≌△ACF，然后再證明△AFG為等邊三角形，從而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，證明方法類似（2），先證明△ABG≌△EBF，再證明△BFG為等邊三角形，最后可得出結論．解：（1）∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴可設∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE為等邊三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可設∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，證明如下：∵AB=AC，AD為BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，則∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，連接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG為等邊三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）補全圖形如圖所示，結論：AF=EF+2DF．證明如下：同（1）可設∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE為等邊三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字圖可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，連接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG為等邊三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質等知識，解決問題的關鍵是常用輔助線構造全等三角形，屬于中考常考題型．16．（1）見分析；（2），證明見分析；（3），證明見分析【分析】（1）